KöMaL, C ангилал, 2018 оны 9-р сар, 12-р анги

KöMaL, C ангилал, 2018 оны 9-р сар   

Бодлогын тоо: 7    Хугацаа: мин


1. $N=863\underbrace{99\ldots9}_{2018}$ тоог $32$-д хуваахад гарах үлдэгдлийг ол.

(5 оноо)

Зөвхөн 1-10-р ангийн сурагчид бодно.


2. $ABCD$ тэгш өнцөгтийн $AD$ талын урт $1$-тэй тэнцүү. $\angle BAD$ өнцгийн биссектрис ба $AC$ диагоналын дундаж перпендикуляр $CD$ тал дээр огтлолцдог бол $CD$ талын уртыг ол.

(5 оноо)

Зөвхөн 1-10-р ангийн сурагчид бодно.


3. Зурагт өгөгдсөн дүрс 15 ширхэг нэгж кубээс тогтоно. Зөвхөн зурагт заасан чиглэлүүдийн аль нэгээр яваад $A$ оройгоос $B$ оройд хэчнээн ялгаатай замаар хүрэх вэ?


(5 оноо)


4. $a\ge b\ge c$ байх $a$, $b$, $c$ талуудтай, нэгж талбайтай гурвалжны хувьд $b\ge\sqrt2$ болохыг батал.

(5 оноо)


5. $p$, $q$ нь 3-аас их ихэр анхны тоонууд бол тэдгээрийн арифметик дундаж нь 6-д хуваагдах ба үржвэрээс нь 1-ээр их тоо 36-д хуваагдана гэж батал.


6. Дараах адилтгалуудын дарааллыг авч үзье: \begin{gather*} 1+2=3\\ 4+5+6=7+8\\ 9+10+11+12=13+14+15 \end{gather*} $k$-р мөрийн зүй тогтлыг олж олсон зүй тогтлоо батал.

Бодлогыг дэвшүүлсэн Á. Kertész, Miami Beach

(5 оноо)


7. Гурвалжны гурван орой дээр төвтэй 1, 2, 3 радиустай 3 дугуй зурав. Эдгээр гурван дугуй нь хос хосоороо гадаад шүргэлцдэг дугуйнуудаар хучигдаагүй үлдсан гурвалжны хэсгийн талбай хэдтэй тэнцүү вэ?

(5 оноо)