Бүсийн олимпиад 2018, 2-р анги
Бодлогын тоо: 3 Хугацаа: 90 мин
1. Хүүхэлдэйн кино 20 минут үргэлжилдэг байв. Бат киног эхнээс нь 10 минут үзээд больжээ. Харин Дорж хожимдож ирээд киноны сүүлийн 15 минутыг үзжээ. Тэр хоёр хэдэн минут хамт кино үзсэн бэ?
Заавар Бодолт
Заавар. Хамт үзсэн хэсгийг $x$ минут гэвэл дангаараа үзсэн хэсгүүд нь хэдэн минут болох вэ?
Бодолт. Хамтдаа $x$ минут үзсэн гэвэл Бат дангаараа $10-x$ минут, Дорж дангаараа $15-x$ минут үзсэн. Иймд
$$x+(10-x)+(15-x)=20$$
болно. Эндээс $x=5$ гэж гарна.
2. Тэгш өнцөгт хүснэгт хэлбэртэй чихрийн цуглуулга (набор) байжээ. Цэцгээ эхний мөрөнд байсан бүх цихрийг авч иджээ. Үлдсэн чихрүүдээс Бат эхний баганад байсан бүх чихрийг авч иджээ. Цэцгээ 10 чихэр, Бат 6 чихэр идсэн бол цуглуулгад хэдэн чихэр үлдсэн бэ?
Заавар Бодолт
Заавар. Цэцгээ 10 чихэр идсэний дараа эхний баганад нийт мөрийн тооноос нэгээр цөөн чихэр үлдэнэ.
Бодолт. Цэцгээ 10 чихэр идсэн тул хүснэгт 10 баганатай. Бат 6 чихэр идсэн нь нийт мөрийн тооноос 1-ээр цөөн тул хүснэгт 7 мөртэй. Цуглуулгад үлдсэн чихэр нь 9 мөр, 6 баганад байрлах тул үлдсэн чихэрийн тоо $9\times 6=54$ байна.
3. Цифрүүд нь өсөх дараалалтай, 9-д хуваагддаг хамгийн их гурван оронтой тоог ол.
Заавар Бодолт
Заавар. 9-д хуваагдах тооны цифрүүдийн нийлбэр 9-д хуваагдах ёстой.
Бодолт. 9-д хуваагддаг 3 оронтой тооны цифрүүдийн нийлбэр 9, 18, 27-ийн аль нэг нь байна. 27 бол бүх цифр ижил 9 байх ёстой бөгөөд цифрүүд нь өсөх дараалалтай тул энэ нь бодлогын нөхцөлийг хангахгүй. 3 ялгаатай цифрийн нийлбэр нь 18 бол хамгийн бага нь $\dfrac{18}{3}=6$ тооноос бага байх ёстой. Иймд эхний цифр нь хамгийн ихдээ 5 байх боломжтой. Эхний цифр 5 байх үед цифрүүдийн нийлбэр нь 18 байдаг, цифрүүд нь өсөх дараалалтай цор ганц тоо нь 567 юм. Иймд энэ тоо бодлогын хариу болно.