Бүсийн олимпиад 2018, 5-р анги
Бодлогын тоо: 4 Хугацаа: 120 мин
1. $\overline{\text{БАГШ}}=\overline{\text{БИ}}\times\overline{\text{БИШ}}$ үсэгт тааврыг бод.
Заавар Бодолт
Заавар.
Бодолт. $\text{Б}>1$ бол
$$(\text{Б}+1)\cdot 1000<\text{Б}\cdot 10\cdot \text{Б}\cdot 100<\overline{\text{БИ}}\times\overline{\text{БИШ}}$$
болох тул $\text{Б}=1$ байх ёстой. Түүнчлэн сүүлийн цифрийг тооцвол $\text{И}=1$ эсвэл $\text{Ш}=0$ байх ёстой тул $\text{Ш}=0$ юм. $\text{И}$-ийн оронд 2-оос 9 цифрүүдийг орлуулж бодвол:
\begin{gather*}
12\times 120=1440\\
13\times 130=1690\\
14\times 140=1960\\
15\times 150=2250\\
\dots\dots\dots
\end{gather*}
тул $\text{А}=6$, $\text{Г}=9$ эсвэл $\text{А}=9$, $\text{Г}=6$ гэсэн хоёр шийдтэй болох нь харагдаж байна. Иймд
$$1690=13\times 130,\quad 1960=14\times 140$$
гэсэн хоёр шийд олдов.
2. Бат $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, $9$ цифрүүдийг нэг, нэг удаа ашиглан хоёр оронтой $1$ ширхэг, нэг оронтой $7$ ширхэг тоо зохиожээ. Нэг хэсэгт байгаа тоонуудын үржвэр нь нөгөө хэсэгт байгаа тоонуудын үржвэрээс $\dfrac32$ дахин их байхаар түүний зохиосон тоонуудыг $2$ хэсэгт хувааж болно. Батын зохиосон 2 оронтой тоог ол.
Заавар Бодолт
Заавар.
Бодолт. 5 цифр 2 оронтой тооны эхний цифр байна. Үгүй бол нэг хэсгийн үржвэр нь 5-д нөгөө нь 5-д хуваагдахгүй тул нэг нь нөгөөгөөсөө $\dfrac32$ дахин их байх боломжгүй. 7-д хуваагдах цифр зөвхөн ганц байгаа тул 7-ийн цифр энэ тоонд орох эсвэл шинээр үүсэх тоо нь 7-д хуваагддаг тоо байх ёстой. 7 ордог гэвэл хоёр оронтой тоо нь 57 болох тул энэ хэсэг нь 19-д хуваагдана. Гэтэл нөгөө хэсэгт нь 19-д хуваагдах тоо байхгүй тул нэг хэсэг нь нөгөөгөөсөө $\dfrac32$ дахин их байх боломжгүй. $\overline{5x}$ хэлбэрийн 7-д хуваагддаг тоо зөвхөн $56$ байх боломжтой.
Тоонуудаа $\{2,7,8,9\}$, $\{1,3,4,56\}$ гэж хуваахад бодлогын нөхцөлийг хангах тул Батын зохиосон хоёр оронтой тоо нь $56$ байжээ.
3. Цас орж, хүүхдүүд тус бүр $1$ кг, $2$ кг, $\ldots$, $98$ кг, $99$ кг жинтэй $99$ ширхэг цасан бөмбөг хийжээ. Нэг цасан хүнийг жин нь $1:2:4$ гэсэн харьцаатай гурван бөмбөгөөр хийдэг (зураг) бол хүүхдүүд хамгийн олондоо хэдэн цасан хүн хийж чадах вэ?
Заавар Бодолт
Заавар.
Бодолт. $a:2a:4a$ харьцаатай цасан хүний хувьд $a$ тооны хамгийн их сондгой хуваагч нь $b$ бол энэ цасан хүнийг $b$ төрлийн цасан хүн гэе. $1$ төрлийн цасан хүн хамгийн олондоо хоёр байна. Учир $1,2,4,6,8,16,32,64$ кг жинтэй бөмбөлгүүдээр хамгийн олондоо 2 ширхэг цасан хүн хийх боломжтой. Жишээ нь $1:2:4$, $8:16:32$. $b=3$ үед $3,6,12,24,48,96$ кг жинтэй бөмбөлгүүдээр хамгийн олондоо мөн л 2 ширхэг цасан хүн хий боломжтой. Түүнчлэн $b\ge 25$ байх боломжгүй учир нь $4b\ge 100$ болно. Бусад $b$ тооны хувьд 2 цасан хүн хийх боломжгүй бөгөөд $b:2b:4b$ гэсэн дор хаяж нэг ширхэг цасан хүн хийж чадах юм. Иймд хамгийн олондоо $b=1$, $b=3$ тус бүр 2, $b=5,7,\dots,23$ үед тус бүр 1 цасан хүн буюу нийт $14$ цасан хүн хийх боломжтой.
4. Ерөнхий талтай хөрш $2$ нүдэнд бичигдсэн цифрүүдийн нийлбэр бүгд анхны тоо гарч байхаар $3\times3$ хэмжээтэй хүснэгтийн нүднүүдэд $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, $9$ цифрүүдийг бичиж болох уу?
Заавар Бодолт
Заавар.
Бодолт. Голын нүдэнд байх тоог авч үзье. Хэрвээ энэ тоо тэгш тоо бол захын найман нүдэн дотор зэрэгцээ хоёр сондгой тоо байна. Энэ хоёр тооны нийлбэр 2-оос их тэгш тоо тул анхны тоо байж чадахгүй. Иймд голын нүдэнд сондгой тоо, түүний хөрш нүднүүдэд нь тэгш тоонууд байх ёстой. Энэ тохиолдолд голын тооны хөршүүд нь 2, 4, 6, 8 гэсэн тоонууд байна. Эдгээрээс 4, 6, 8-ийг 3-т хуваахад 1, 0, 2 үлдэгдлүүд өгөх тул эдгээр тоонуудыг аль нэгийг голын тоон дээр нэмэхэд 3-д хуваагдах тоо гарч анхны тоо байж чадахгүйд хүрч байна. Иймд бодлогын нөхцөлд тохирохоор бичих боломжгүй.