Заавар.

Бодолт. 5 цифр 2 оронтой тооны эхний цифр байна. Үгүй бол нэг хэсгийн үржвэр нь 5-д нөгөө нь 5-д хуваагдахгүй тул нэг нь нөгөөгөөсөө $\dfrac32$ дахин их байх боломжгүй. 7-д хуваагдах цифр зөвхөн ганц байгаа тул 7-ийн цифр энэ тоонд орох эсвэл шинээр үүсэх тоо нь 7-д хуваагддаг тоо байх ёстой. 7 ордог гэвэл хоёр оронтой тоо нь 57 болох тул энэ хэсэг нь 19-д хуваагдана. Гэтэл нөгөө хэсэгт нь 19-д хуваагдах тоо байхгүй тул нэг хэсэг нь нөгөөгөөсөө $\dfrac32$ дахин их байх боломжгүй. $\overline{5x}$ хэлбэрийн 7-д хуваагддаг тоо зөвхөн $56$ байх боломжтой. Тоонуудаа $\{2,7,8,9\}$, $\{1,3,4,56\}$ гэж хуваахад бодлогын нөхцөлийг хангах тул Батын зохиосон хоёр оронтой тоо нь $56$ байжээ.

Заавар.

Бодолт. $$\overline{\text{БВ}}\cdot\left(1-\dfrac{\overline{\text{AБ}}}{100}\right)=\overline{\text{А}}$$ буюу $$\overline{\text{БВ}}\cdot(100-\overline{\text{АБ}})=\overline{\text{А}}\cdot 100$$ Эндээс $\overline{\text{В}}=0$ бол $$\overline{\text{Б}}\cdot(100-\overline{\text{АБ}})=\overline{\text{А}}\cdot 10$$ болох ба баруун тал нь 10-д хуваагдана гэдгээс $\overline{\text{Б}}=5$ ($\overline{\text{Б}}\neq0$) болж зөрчил үүсч байна. Иймд $\overline{\text{В}}\neq 0$ болно. Түүнчлэн $\overline{\text{Б}}\neq 0$ байх нь ойлгомжтой. Эндээс $\overline{\text{БВ}}$, $100-\overline{\text{АБ}}$ тоонуудын хоёулаа 5-аар төгссөн эсвэл яг нэг нь $25$-д хуваагдана.

1. $\overline{\text{Б}}=\overline{\text{В}}=5$ бол $55\cdot(100-10{\overline{\text{А}}}-5)=\overline{\text{А}}\cdot 100$ болно. Ийм байх $\overline{А}$ цифр олдохгүй.
2. $\overline{\text{БВ}}=25$ бол $25\cdot(100-10{\overline{\text{А}}}-2)=\overline{\text{А}}\cdot 100$ болно. Эндээс $\overline{А}=7$ болно.
3. $\overline{\text{БВ}}=75$ бол $75\cdot(100-10{\overline{\text{А}}}-7)=\overline{\text{А}}\cdot 100$ болно. Гэвч ийм $\overline{А}$ цифр олдохгүй.
4. $100-\overline{\text{АБ}}=25$ бол $\overline{\text{АБ}}=75$ болно. Иймд $\overline{\text{5В}}\cdot 25=2\cdot 100$ ба $\overline{\text{5В}}\neq 8$ тул ийм тоо оршин байхгүй.
5. $100-\overline{\text{АБ}}=75$ бол $\overline{\text{АБ}}=25$ болно. Иймд $\overline{\text{5В}}\cdot 75=7\cdot 100$ болох ба ийм байх боломжгүй.

Иймд бодлогын цор ганц шийд нь $\overline{\text{А}}=7$, $\overline{\text{Б}}=2$, $\overline{\text{В}}=5$ болов.

Заавар.

Бодолт. $a:2a:4a$ харьцаатай цасан хүний хувьд $a$ тооны хамгийн их сондгой хуваагч нь $b$ бол энэ цасан хүнийг $b$ төрлийн цасан хүн гэе. $1$ төрлийн цасан хүн хамгийн олондоо хоёр байна. Учир $1,2,4,6,8,16,32,64$ кг жинтэй бөмбөлгүүдээр хамгийн олондоо 2 ширхэг цасан хүн хийх боломжтой. Жишээ нь $1:2:4$, $8:16:32$. $b=3$ үед $3,6,12,24,48,96$ кг жинтэй бөмбөлгүүдээр хамгийн олондоо мөн л 2 ширхэг цасан хүн хий боломжтой. Түүнчлэн $b\ge 25$ байх боломжгүй учир нь $4b\ge 100$ болно. Бусад $b$ тооны хувьд 2 цасан хүн хийх боломжгүй бөгөөд $b:2b:4b$ гэсэн дор хаяж нэг ширхэг цасан хүн хийж чадах юм. Иймд хамгийн олондоо $b=1$, $b=3$ тус бүр 2, $b=5,7,\dots,23$ үед тус бүр 1 цасан хүн буюу нийт $14$ цасан хүн хийх боломжтой.

Заавар.

Бодолт.