Бүсийн олимпиад 2018, Бага ангийн багш
Бодлогын тоо: 4 Хугацаа: 150 мин
1. Дараалж бичигдсэн 3 цифрээр үүсэх бүх тоо нь анхны тоо байдаг хамгийн их натурал тоог ол.
Заавар Бодолт
Заавар. Хэдэн ч оронтой ийм тоо бичиж болохыг харуул.
Бодолт. $113$, $131$, $311$ тоонууд нь анхны тоонууд тул
$$113113113\ldots$$
тооны дараалсан 3 цифрээр бичигдэх тоо бүр анхны тоо байна. Иймд ийм хамгийн их тоо оршин байхгүй.
2. Зузаан нимгэн хоёр төрлийн ном байжээ. Номын тавиур дээр 9 зузаан ном багтана, харин 10 зузаан ном багтахгүй. Мөн ийм тавиур дээр 15 нимгэн ном багтана, харин 16 нимгэн ном багтахгүй. Энэ тавиур дээр 5 нимгэн ном тавьжээ. Нэмж хамгийн олондоо хэдэн зузаан ном тавьж болох вэ?
3. Дөрвөлжин шугамтай цаасан дээр зурагдсан $20\times 18$ хэмжээтэй тэгш өнцөгтийн 4 булангийн нүдийг тайрч хаяжээ. Үүсэх дүрсэд багтах шугамын дагуу талуудтай тэгш өнцөгтийн тоог ол.
Заавар Бодолт
Заавар.
Бодолт. Булангийн нүднүүдийг байгаа гэж үзээд тэгш өнцөгтүүдийг тоолбол $C_{20}^2\cdot C_{18}^2=29070$ тэгш өнцөгт байна. Үүнээс ядаж нэг булангийн нүд агуулсан тэгш өнцөгтүүдийг хасахад бидний олох тэгш өнцөгтийн тоо гарах юм. Булангийн нүднүүдийг $A(1,1)$, $B(1,18)$, $C(20,1)$, $D(20,18)$ гэе. Эдгээрээс зөвхөн нэг орой агуулсан тэгш өнцөгт $4\times19\times 17=1292$ ширхэг байна. Яг хоёрыг нь агуулсан $A$ ба $B$, $C$ ба $D$-г агуулсан тус бүр $19$; $A$ ба $C$, $B$ ба $D$-г агуулсан тус бүр $17$ тэгш өнцөгт тул нийт $2\cdot 19+2\cdot 17=72$ ширхэг байна. Яг 3 орой агуулсан тэгш өнцөгт байхгүй, $4$ оройг бүгдийг нь агуулдаг $1$ тэгш өнцөгт байгаа тул бидний олох тоо
$$29070-1292-72-1=27705$$
юм.
4. Дотроо $0$, $1$, $2$, $3$, $4$ ширхэг будагдсан нүд агуулдаг $2\times 2$ хэмжээтэй квадратын тоонууд хоорондоо тэнцүү байхаар $11\times 11$ хэмжээтэй хүснэгтийн зарим нүднүүдийг будаж болох уу?
