Заавар. Траекторын арга ашигла.

Бодолт. $A$ цэгээс аливаа зангилааны цэг хүрэх замын тоо нь түүний зүүн ба доод зангилааны цэгүүд хүрэх замын тоонуудын нийлбэр тул буюу нийт $154$ ялгаатай замаар $A$ цэгээс $B$ цэгт очиж болно.

Заавар. $31<2^5$, $2^4<17$ болохыг ашигла.

Бодолт. $$31^{12}<32^{32}=(2^5)^{32}=2^{160}=(2^4)^{40}=16^{40}<17^{40}$$

Заавар. Болно гэдгийг жишээ гаргаж харуул.

Бодолт. Дараах 6 өнцөгт дүрсийг 1 шулуун зүсэлтээр 4 тэнцүү хэсэгт хувааж болно.

Заавар. 4 оронтой тоонуудыг $(10000-a)$, $(10000-b)$, $(10000-c)$ гэвэл $abc$ гэвэл тоо ямар 4 оронтой тоогоор төгсөх вэ?

Бодолт. $$(10000-a)(10000-b)(10000-c)\equiv -abc\equiv 2018\pmod{10000}$$ тул $$abc\equiv 10000-2018\equiv 7982\pmod{10000}$$ байна. Гурван тооны нийлбэр $30000-a-b-c$ хамгийн их байхын тулд $a+b+c$ нийлбэр хамгийн бага байх нь ойлгомжтой. $abc=7982$ байх ялгаатай гурван тоо нь $a=2$, $b=13$, $c=307$ ба энэ үед $a+b+c=322$ байна. $abc=17982=2\cdot 3^5\cdot 37$ бол $a=18$, $b=27$, $c=37$ үед $a+b+c=18+27+37=82$ нь хамгийн бага байна. $a\cdot b\cdot c\ge 27982$ үед $\dfrac{a+b+c}{3}\ge \sqrt[3]{abc}\ge\sqrt[3]{27982}>30$ тул $a+b+c>90$ болно. Иймд $9982$, $9973$, $9963$ тоонуудын хувьд $$9982\cdot 9973\cdot 9963=991821492018$$ ба нийлбэр нь хамгийн их буюу $9982+9973+9963=29918$ байна.