Заавар. $9999$-д хуваагдах тоо нь $99$ ба $101$-д зэрэг хуваагддаг тоо байна.

Бодолт. Олох тоогоо $\overline{abcdefgh}$ гэвэл $99$ ба $101$-д хуваагдах тооны шинжээр $$\left\{\begin{array}{c} \overline{ab}+\overline{cd}+\overline{ef}+\overline{gh}\equiv 0\pmod{99}\\ -\overline{ab}+\overline{cd}-\overline{ef}+\overline{gh}\equiv 0\pmod{101} \end{array}\right.$$ $\overline{abcd}$-ийн боломжит хамгийн бага утга нь $1023$ байна. Хэрвээ энэ тохиолдолд тохирох $e$, $f$, $g$, $h$ цифрүүд олдож байвал энэ тоо хамгийн бага байх нь ойлгомжтой юм. $\overline{abcd}=1023$ байх үед тохирох цифрүүд олдохыг харуулъя. $x=\overline{ef}$, $y=\overline{gh}$ гэвэл $$\left\{\begin{array}{c} 10+23+x+y\equiv 0\pmod{99}\\ -10+23-x+y\equiv 0\pmod{101} \end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c} x+y\equiv 66\pmod{99}\\ -x+y\equiv 88\pmod{101} \end{array}\right.$$ болно. $x+y\le 200$ ба $-100\le -x+y\le 100$ тул $x+y=66\lor 165$, $-x+y=-13\lor 88$ байна. Нийлбэр ба ялгаврын тэгш, сондгой ижил тул $$\left\{\begin{array}{c} x+y=66\\ -x+y=88 \end{array}\right.\lor\left\{\begin{array}{c} x+y=165\\ -x+y=-13 \end{array}\right.$$ байх боломжтой. Эхний тэгшитгэлээс $x=11$, $y=77$ болох ба цифр давтагдах тул шийд болохгүй. Хоёр дахь тэгшитгэлээс $x=89$, $y=76$ болно. Иймд $9999$-д хуваагддаг, цифрүүд нь ялгаатай хамгийн бага 8 оронтой тоо нь $10238976$ юм.

Заавар. Пифагорын теорем ашиглан хоёр катетаар Диофант тэгшитгэл зохиож бод.

Бодолт. Т. Базарын бодолт.

Тэгш өнцөгт гурвалжны урт катетыг $a$, богино катетыг $b$ гэе. Тэгвэл пифагорын теорем ёсоор гипотенуз нь $c=\sqrt{a^2+b^2}$ байна. Өгсөн нөхцөлөөр $$\sqrt{a^2+b^2}+a+b=\dfrac{ab}{2}$$ болно. $\sqrt{a^2+b^2}=\dfrac{ab}{2}-(a+b)$ ба 2 талыг квадрат зэрэгт дэвшүүлвэл $$a^2+b^2=\dfrac{a^2b^2}{4}-ab(a+b)+(a+b)^2=\dfrac{a^2b^2}{4}-ab(a+b)+a^2+b^2+2ab$$ ба эндээс $\dfrac{ab}{4}-a-b+2=0$ болно. Цаашлаад $ab-4a-4b+8=0$ болох ба $(a-4)(b-4)=8$ болно. Эндээс $\begin{cases} a-4=8 \\ b-4=1 \end{cases} $ эсвэл $\begin{cases} a-4=4 \\ b-4=2 \end{cases} $ боломжтой. Иймд $(a=12, b=5,c=13)$ эсвэл $(a=8,b=6,c=10)$ гэсэн боломжтой.

Заавар. 4 оронтой тоонуудыг $(10000-a)$, $(10000-b)$, $(10000-c)$ гэвэл $abc$ гэвэл тоо ямар 4 оронтой тоогоор төгсөх вэ?

Бодолт. $$(10000-a)(10000-b)(10000-c)\equiv -abc\equiv 2018\pmod{10000}$$ тул $$abc\equiv 10000-2018\equiv 7982\pmod{10000}$$ байна. Гурван тооны нийлбэр $30000-a-b-c$ хамгийн их байхын тулд $a+b+c$ нийлбэр хамгийн бага байх нь ойлгомжтой. $abc=7982$ байх ялгаатай гурван тоо нь $a=2$, $b=13$, $c=307$ ба энэ үед $a+b+c=322$ байна. $abc=17982=2\cdot 3^5\cdot 37$ бол $a=18$, $b=27$, $c=37$ үед $a+b+c=18+27+37=82$ нь хамгийн бага байна. $a\cdot b\cdot c\ge 27982$ үед $\dfrac{a+b+c}{3}\ge \sqrt[3]{abc}\ge\sqrt[3]{27982}>30$ тул $a+b+c>90$ болно. Иймд $9982$, $9973$, $9963$ тоонуудын хувьд $$9982\cdot 9973\cdot 9963=991821492018$$ ба нийлбэр нь хамгийн их буюу $9982+9973+9963=29918$ байна.

Заавар. Дунд ангийн багшийн бодлого үз.

Бодолт.