Эхлэл, 10-р анги
Бодлогын тоо: 4 Хугацаа: 150 мин
1. Хэрэв $p>3$ байх анхны тоо бол ямар нэгэн натурал $n$ тооны хувьд $p^n$ тоог хоёр натурал тооны кубуудын нийлбэрт тавьж болох уу?
2. Эерэг бодит $a$, $b$, $c$ тоонуудын хувьд
$$\dfrac{a}{a\sqrt2+\sqrt{(a+b)^2+(a+c)^2}}+\dfrac{b}{b\sqrt2+\sqrt{(b+c)^2+(b+a)^2}}+\dfrac{c}{c\sqrt2+\sqrt{(c+a)^2+(c+b)^2}}\le\dfrac{\sqrt2}{2}$$
тэнцэтгэл биш биелэхийг батал.
3. Тойрог дээр байрлах $A_1,A_2,A_3,\ldots,A_{2018}$ дугаартай хайрцагнуудад нэг нэг жимс хийв. Аль ч зэргэлдээ орших 2 хайрцагт өөр төрлийн жимс байхаар 16 төрлийн жимсийг хэчнээн янзаар хайрцагнуудад хийж болох вэ?
4. $AB=AC$ байх адил хажуут $ABC$ гурвалжин өгөгдөв. $ABC$ гурвалжныг багтаасан тойрог болон $AB$, $AC$ талуудыг харгалзан $P$, $Q$ цэгт шүргэх тойрог байгуулав. $PQ$ хэрчмийн дундаж цэг нь $ABC$ гурвалжинд багтсан тойргийн төв болохыг батал.