ММО-06, 10-р анги

Монголын Математикийн 6-р олимпиад, 1970 он.   

Бодлогын тоо: 6    Хугацаа: 540 мин


1. Шатрын тэмцээнд 10 тамирчин оролцжээ. Тэд бусадтайгаа зөвхөн нэг нэг өрөг тоглосон ба дүн гарахад ижил оноотой шатарчид байсангүй. Харин эхний хоёр байр эзэлсэн шатарчид нэг ч хожигдоогүй, III байр эзэлсэн шатарчин эхний хоёрын авсан онооны нийлбэрээс 10 оноо дутуу, IV байр эзэлсэн шатарчин сүүлчийн дөрвөн байр эзэлсэн шатарчдын авсан онооны нийлбэртэй тэнцүү оноо авсан бол VI, VII байр эзэлсэн шатарчдын хэн нь хожсон бэ? Сүүлийн 6 шатарчны авсан онооны нийлбэрийг ол.

Заавар Бодолт
Заавар.

Бодолт. $k$-р байр эзэлсэн шатарчныг $A_k$-аар, түүний авсан оноог $x_k$-аар тэмдэглэе. $A_1$, $A_2$ хожигдоогүй тул энэ хоёрын хоорондоо тоглосон өрөг нь тэнцсэн байх ёстой. Иймд $x_1\le 8.5$, $x_2\le 8$. $S_k$-аар сүүрийн $k$-р байр эзэлсэн шатарчдын онооны нийлбэрийг тэмдэглэе. Тэгвэл $S_4\ge C_4^2=6$ тул $x_4\ge 6$, $x_3\ge 6.5$ болно. Хэрэв $x_3>6.5$ эсвэл $x_1+x_2<16.5$ гэвэл $$10=x_1+x_2-x_3<16.5-6.5=10$$ болж зөрчил үүснэ. Иймд $x_3=6.5$, $x_4=6$, $x_1=8.5$, $x_2=8$ болно.

$S_4=x_4=6$ нь $A_7$, $A_8$, $A_9$, $A_{10}$ шатарчид хоорондоо тоглосон оноотой тэнцүү тул эдгээр нь бусад шатарчдадаа бүгдэд нь хожигдсон. Иймд $A_6$ нь $A_7$-г хожсон байх ёстой.

Нийт онооны нийлбэр нь $C_{10}^2=45$ тул сүүлийн 6 байр эзэлсэн шатарчдын онооны нийлбэр нь $$45-(x_1+x_2+x_3+x_4)=45-29=16$$ болно.


2. $\sqrt{2+x-2\sqrt{x+1}}+\sqrt{17+x-8\sqrt{x+1}}=3$ тэгшитгэлийн бүх бодит язгуурыг ол.

Заавар Бодолт
Заавар.

Бодолт. $x\ge 1$ буюу $x\ge-1$ мужид тэгшитгэлийн шийдийг эрэх хэрэгтэй. $$2+x-2\sqrt{x+1}=(\sqrt{x+1}-1)^2$$ $$17+x-8\sqrt{x+1}=(\sqrt{x+1}-4)^2$$ тул өгсөн тэгшитгэл нь $$|\sqrt{x+1}-1|+|\sqrt{x+1}-4|=3$$ тэгшитгэлтэй эквивалент болно.

а) $\sqrt{x+1}-4<\sqrt{x+1}-1< 0$ бол $x<0$ ба $$1-\sqrt{x+1}+4-\sqrt{x+1}=3\Rightarrow \sqrt{x+1}=2\Rightarrow x=3$$ учир шийдгүй.

б) $\sqrt{x+1}-4<0\le \sqrt{x+1}-1$ бол $0\le x<15$ ба $$\sqrt{x+1}-1-\sqrt{x+1}+4=3$$ учир $[0,15[$ гэсэн шийдтэй.

в) $0\le \sqrt{x+1}-4<0<\sqrt{x+1}-1$ бол $15\le x$ ба $$\sqrt{x+1}-1+\sqrt{x+1}-4=3\Rightarrow \sqrt{x+1}=4\Rightarrow x=15$$ байна.

Шийдээ нэгтгэвэл $[0,15]$ болов.


3. $\dfrac{8}{3(\cos^2x+2\cos x+4)}-\dfrac{2}{\cos^2x+4\cos^2\frac{x}{2}}+\dfrac{1}{12\cos^4\frac{x}{2}}=0$ тэгшитгэлийг бод.

Заавар Бодолт
Заавар.

Бодолт. $$3(\cos^2x+2\cos x+4)=3[(\cos x+1)^2+3],$$ $$4\cos^2\dfrac{x}{2}+\cos^2x=(\cos x+1)^2+1,$$ $$12\cos^4\dfrac{x}{2}=3(\cos x+1)^2$$ тул $(\cos x+1)^2=y\ge 0$ орлуулга хийвэл өгсөн тэгшитгэл нь $$\dfrac{(y-1)^2}{y(y+1)(y+3)}=0$$ болно. Эндээс $y=1$ тул $$\cos x+1=\pm1\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$ болно.


4. Олимпиад зохион байгуулах хороо 11 гишүүнтэй бөгөөд олимпиадын материалыг нууцын авдарт хадгалдаг байв. Авдрыг ямар ч 5 гишүүн онгойлгож чадахгүй бөгөөд аль ч 6 гишүүн нь онгойлгодог байхын тулд авдар хэдэн цоожтой байх ёстой ба гишүүн бүрд хэдэн түлхүүр өгвөл зохих вэ?

Заавар Бодолт
Заавар.

Бодолт. 5 гишүүн авъя. Эдэнд ядаж нэг цоожных нь түлхүүр байхгүй байх ёстой ба харин үлдэх 6 гишүүн бүрд байх ёстой. Аль ч 5 гишүүнийг авахад ийм байдал ажиглагдах тул нийт цоожны тоо $C_{11}^5=462$. Цоож бүр 6 түлхүүртэй тул нийт $462\cdot 6=2772$ түлхүүртэй ба нэг гишүүнд $2772:11=252$ түлхүүр бий.


5. $m$ натурал тоо бол $x^2+y^2+2xy-mx-my-m-1=0$ тэгшитгэлийн бүхэл шийдүүдийн дотор $m$ ширхэг натурал тоон шийд байхыг үзүүл.

Заавар Бодолт
Заавар.

Бодолт. Тэгшитгэлийг \begin{align*} x^2+y^2+2xy-mx-my-m-1&=(x+y)^2-1-m(x+y+1)\\ &=(x+y+1)(x+y-1-m)=0 \end{align*} тул $x+y+1=0$ эсвэл $x+y=m+1$ байна. Үүний хоёр дахь тэгшитгэл нь $$(1,m),(2,m-1),\ldots,(m,1)$$ гэсэн $m$ ширхэг натурал шийдтэй.


6. Шулуун дугуй цилиндрийн дээд суурийн $M$ цэгээс доод суурийн $N$ цэг дээр буулгасан $MN$ перпендикулярыг бэхлэв. Дээд суурийн тойргийн дурын цэгийг доод суурийн тойргийн цэгтэй холбогч хэрчмүүдийн дотроос $MN$ хэрчмийг огтлогч бүх хэрчмүүдийн дундаж цэгүүдийн геометр байрыг ол.

Заавар Бодолт
Заавар.

Бодолт. Цилиндрийн дээд суурийн тойрогт $A$ цэг авбал $A$ цэг ба $MN$-ийг дайрсан цор ганц хавтгай орших учир $A$ цэгийг доод суурийн тойргийн цэгүүдтэй холбосон бүх хэрчмээс зөвхөн ганц нь $MN$ хэрчимтэй огтлолцоно. Цилиндр ба $AMN$ хавтгайн огтлол нь $ABB_1A$ тэгш өнцөгт болно.
Одоо цилиндрт түүний байгуулагчдыг хагаслан хуваасан хавтгай татъя. Цилиндр ба хавтгайн огтлолд үүсэх тойргийн төв $O$ цэг бөгөөд $N$ цэгийн уг тойрог дээрх проекц нь $N'$ гэвэл бидний олох геометр байр нь $N^\prime$ цэгийг дайрсан уг тойргийн бүх хөвчид (Жишээлбэл: $A'B'$) тойргийн төв $O$-оос буулгасан перпендикуляруудын суурийн цэгүүд болох бөгөөд энэ нь $N'O$-оор диаметрээ хийсэн тойрог болно.