Заавар.

Бодолт. Цилиндрт бөмбөрцөг багтсан учир $h=2r$ байна. Эндээс $$V=\pi r^2 h=2r^3\pi=1\Rightarrow r^3=\dfrac{1}{2\pi}$$ болно. Иймд конусын тэнхлэг огтлол нь $r$ радиустай тойрог багтаасан адил хажуут гурвалжин байна.

Конусын суурийн радиус $R$, өндөр нь $H$ гэе. Конусын суурийн өнцгийг $\alpha$ гэвэл $$\tg\frac{\alpha}{2}=\dfrac{r}{R},\quad \tg\alpha=\dfrac{H}{R}$$ тул $$R=r\cdot\ctg\dfrac{\alpha}{2},\quad H=R\cdot\tg\alpha=r\cdot\ctg\dfrac{\alpha}{2}\cdot\tg\alpha$$ болно. Иймд $$V(\alpha)=\dfrac{1}{3}R^2H\pi=\dfrac{\pi}{3}r^3\cdot\ctg^3\dfrac{\alpha}{2}\cdot\tg\alpha=\dfrac{1}{6}\cdot\ctg^3\dfrac{\alpha}{2}\cdot\tg\alpha$$ байна. $\tg\alpha=\dfrac{2\cdot\ctg\frac{\alpha}{2}}{\ctg^2\frac{\alpha}{2}-1}$ тул $c=\ctg\dfrac{\alpha}{2}$ гэвэл $$V(c)=\dfrac{c^4}{3(c^2-1)}\Rightarrow V'(c)=\dfrac{4c^3(c^2-1)-c^4\cdot 2c}{3(c^2-1)^2}=\dfrac{2c^5-4c^3}{3(c^2-1)}=0\Rightarrow c^2=2$$ үед хамгийн бага утга авна. Иймд $$V_{\min}=\dfrac{2^2}{3(2-1)}=\dfrac{4}{3}$$ байна.

Заавар.

Бодолт. Өгсөн тэгшитгэлийн шийд нь $x_1$, $x_2$, $x_3$ ба $|x_1|>1972$ гэе. Тэгвэл $|x_1x_2x_3|=|c|\le 1971$ гэдгээс $|x_2x_3|<1$, мөн $|x_1|+|x_2|+|x_3|=|a|<1971$ ба $|x_1|>1972$ гэдгээс $|x_2+x_3|>1$ гэж тус тус гарна. Иймд $$1971=1972-1<|x_1(x_2+x_3)|-|x_1x_2|\le|x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3|\le 1971$$ гэж зөрчилд хүрэв. Иймд $|x_1|\le 1972$ байна.

Заавар.

Бодолт. $F_n=2^{2^n}+1$ гэе. Эхлээд $$\prod_{k=0}^{n-1} F_k=F_n-2$$ болохыг харуулъя. $n=1$ үед $F_0=2^{2^0}+1=3$, $F_1-2=2^{2^1}-1=3$ тул $F_0=F_1-2$ байна. $n$ үед үнэн гээд $n+1$ үед баталъя. \begin{align*} \prod_{k=0}^{n} F_k&=\Big(\prod_{k=0}^{n-1} F_k\Big) F_n=(F_n-2)F_n\\ &=(2^{2^n}-1)(2^{2^n}+1)=2^{2^{n+1}}-1=F_{n+1}-2 \end{align*} болж батлагдав. Иймд $m < n$ гэвэл $$(F_m,F_n)=(F_m,-2)=1$$ болж батлагдав.

Заавар.

Бодолт. $\tg2\alpha=\dfrac{2\tg\alpha}{1-\tg^2\alpha}$ томьёо ашиглан бодъё. $\tg150^\circ=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ тул $$-\dfrac{1}{\sqrt3}=\dfrac{2\tg75^\circ}{1-\tg^275^\circ}\Leftrightarrow \tg^275^\circ-2\sqrt3\tg75^\circ-1=0$$ болно. Эндээс $\tg75^\circ>0$ болохыг тооцвол $$\tg75^\circ=\dfrac{2\sqrt{3}+\sqrt{(-2\sqrt3)^2-4\cdot 1\cdot(-1)}}{2}=2+\sqrt3$$ болов. Давхар өнцгийн томьёог дахин ашиглавал $$2+\sqrt3=\dfrac{2\tg37^\circ30'}{1-\tg^237^\circ30'}\Leftrightarrow (2+\sqrt3)\tg^237^\circ30'+2\tg37^\circ30'-(2+\sqrt3)=0$$ болох тул \begin{align*} \tg37^\circ30'&=\dfrac{-2+\sqrt{2^2-4\cdot(2+\sqrt3)(-2-\sqrt3)}}{4+2\sqrt3}\\ &=\dfrac{-2+\sqrt{32+16\sqrt3}}{4+2\sqrt3}=\dfrac{-1+\sqrt{2}\cdot\sqrt{4+2\sqrt3}}{2+\sqrt3}\\ &=\dfrac{-1+\sqrt2\cdot(1+\sqrt3)}{2+\sqrt3}=(-1+\sqrt2+\sqrt6)(2-\sqrt3)\\ &=-2+\sqrt3+2\sqrt2-\sqrt6+2\sqrt6-3\sqrt2\\ &=\sqrt6+\sqrt3-\sqrt2-2 \end{align*} болов.

Заавар.

Бодолт. $(x-y)(x+y)=k=k_1\cdot k_2$ гэж бичье. $x-y=k_1$, $x+y=k_2$ тул $$x=\dfrac{k_1+k_2}{2},~y=\dfrac{k_2-k_1}{2}$$ болно. Эндээс $k_1$ ба $k_2$ нь эсвэл хоёул тэгш бүхэл тоонууд, эсвэл сондгой хоёул бүхэл тоонууд гэж гарах болно. Иймд $k=4n$, $n\in\mathbb Z$, эсвэл $k=2n+1$, $n\in\mathbb Z$ хэлбэртэй бүхэл тоо болно.

Заавар.

Бодолт. Аливаа цифрүүдийг цор ганц аргаар үл буурах эрэмбээр жагсааж болно. Иймд бидний олох тоо $$C_{(9)}^1+C_{(9)}^2+C_{(9)}^3+C_{(9)}^4+C_{(9)}^5+C_{(9)}^6=C_{(10)}^6-1=C_{10+6-1}^6-1=5004$$ байна.