Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Тригонометр тэгшитгэл, тэнцэтгэл биш
$\cos^3\alpha x\pm\sin^3\alpha x, \cos^6\alpha x\pm\sin^6\alpha x$, $\cos^8\alpha x-\sin^8\alpha x$ илэрхийлэл оролцсон тэгшитгэл
$\sin^3x-\cos^3x=\sin^2x-\cos^2x, 0^\circ< x< 60^\circ$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin^3x-\cos^3x+\sin x-\cos x=0$ тэгшитгэлийг бод.
$\dfrac{\sin^3\Big(\dfrac x2\Big)-\cos^3\Big(\dfrac x2\Big)}{2+\sin x}=\dfrac13\cos x$ тэгшитгэлийг бод.
$\cos^6x-\sin^6x=2\cos^22x$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin^6x-\cos^6x=2(\sin^4x+\cos^4x)-1$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin^6x+\cos^6x=\cos2x$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin^6x+\cos^6x=\dfrac{13}{14}(\sin^4x+\cos^4x)$ тэгшитгэлийг бод.
$\cos^6x-\sin^6x=\dfrac{13}8\cos^22x, 270^\circ< x< 320^\circ$ тэгшитгэлийг бод.
$\cos^6x+\sin^6x=\dfrac{15}{8}\cos2x-\dfrac12, 180^\circ< x< 270^\circ$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin^8x-\cos^8x=\dfrac12\cos^22x-\dfrac12\cos2x, 270^\circ< x< 360^\circ$ тэгшитгэлийг бод.
$\cos^8x-\sin^8x=\cos^22x+\dfrac12\cos2x, 180^\circ< x< 270^\circ$ тэгшитгэлийг бод.
$\cos^3x+\sin^3x=\cos2x, -90^\circ< x< 90^\circ$ тэгшитгэлийг бод.
A. $-45^\circ; 0^\circ$
B. $-45^\circ; 45^\circ$
C. $0^\circ; 45^\circ$
D. $30^\circ; 60^\circ$
E. $-30^\circ; 30^\circ$
$\sin^6 x+\cos^6x=a$ тэгшитгэл $a$-ийн ямар утганд шийдтэй байх вэ?
A. $\frac 14\leq a\leq 1;$
B. $a\leq \frac 14;$
C. $a\leq -\frac 14;$
D. $1\leq a;$
$\cos2x=(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)$, $\sin^2x=(1-\cos x)(1+\cos x)$, $\cos^2x=(1-\sin x)(1+\sin x)$ томъёог ашиглан бодох бодлогууд
$\cos2x=\cos x-\sin x$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin x+\cos x=\cos2x$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin2x+\cos2x+\sin x+\cos x+1=0$ тэгшитгэлийн $90^\circ< x< 180^\circ$ муж дахь хамгийн их шийдийг ол.
$4\sin^2x\cos x-1=\cos x$ тэгшитгэлийн $0^\circ< x< 90^\circ$ муж дахь хамгийн бага шийдийг ол.
A. $15^\circ$
B. $30^\circ$
C. $45^\circ$
D. $60^\circ$
E. $75^\circ$
$7\sin\dfrac{x}{2}=4\cos\dfrac{x}{2}\cos\dfrac{x}{4}$ тэгшитгэлийн $0< x<2\pi$ байх шийд нь $x$ бол $\sin\dfrac{x}{4}$ аль нь вэ?
A. $0$
B. $1$
C. $-1$
D. $-\dfrac{1}{4}$
E. $\dfrac{1}{4}$
$\ctg\alpha x\pm\tg\alpha x$, $\tg\alpha x\pm\tg\beta x$, $\ctg^2\alpha x-\tg^2\alpha x$ илэрхийлэл оролцсон тэгшитгэл
$\tg x+\ctg x=\dfrac{4}{\sqrt3}$ тэгшитгэлийг бод.
$\dfrac{\sqrt3}3+2\sin2x=\tg x+\ctg x$ тэгшитгэлийг бод.
$\ctg x-\tg x+2\left(\dfrac1{\tg x+1}+\dfrac1{\tg x-1}\right)=4$ тэгшитгэлийг бод.
$\tg\left(\dfrac{2\pi}3-x\right)+\tg\left(\dfrac\pi3-x\right)=2\sin2x, 2< x< 3$ тэгшитгэлийг бод.
$\tg\left(\dfrac\pi3+x\right)+\tg\left(\dfrac\pi6-x\right)=\dfrac4{\sqrt3}$ тэгшитгэлийн $[0, \pi]$ муж дахь шийдийн тоог ол.
$\ctg^2x-\tg^2x=8\ctg^22x$ тэгшитгэлийг бод.
$\ctg^2x-\tg^2x=16\cos^32x$ тэгшитгэлийг бод.
$0^{\circ}\leq \theta< 360^{\circ}$ бол дараах тэнцэтгэл бишийг бод.
$0^{\circ}\leq \theta< 360^{\circ}$ бол $(2+\sqrt{3})\sin\theta+(1+\sqrt{3})\cos \theta\geq |\sin \theta|$ тэнцэтгэл бишийг бод.
$0^{\circ}\le\theta< 360^{\circ}$, $0^{\circ}< \alpha< \beta< 360^{\circ}$ бол дараах тэнцэтгэл бишийг хангах $\theta$-ийн
утгын мужийг ол.
- $\cos \theta>\theta(\theta+120^{\circ})>\cos (\theta+90^{\circ}).$
- $\cos (\theta+\beta)>\cos (\theta+\alpha)>\cos \theta.$
$\ctg x-\tg x=1.5$ тэгшитгэлийг бод.
A. $x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi n}2$
B. $x=-\dfrac{\pi}{4}+\pi n$
C. $x=\arctg\dfrac34+\pi n$
D. $x=\dfrac12\arctg\dfrac43+\dfrac{\pi n}2$
E. $x=\dfrac12\arctg\dfrac34+\dfrac{\pi n}2$
$\sin x$, $\cos x$-ийг үнэлж бодох бодлогууд
$\sin^4x+\cos^3x=1$ тэгшитгэлийг бод.
$\cos^{1977}\left(\dfrac\pi2-x\right)+\sin^{1995}7x=2$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin2x\sin6x=1$ тэгшитгэлийг бод.
$\cos\pi x+x^2-6x+10=0$ тэгшитгэлийг бод.
$\cos^2x+\sqrt{x-\dfrac\pi2}\sin x+\sqrt{x-\dfrac\pi2}=0$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin^2x+3x^2\cos x+3x^2=0$ тэгшитгэлийг бод.
$\cos x\cdot \cos 3x\cdot \cos 4x=1$ тэгшитгэлийн $\left]-\dfrac{5\pi}{2};-\dfrac{5\pi}{6}\right[$ завсар дахь шийдүүдийн үржвэрийг ол.
A. $3\pi^2$
B. $2\pi^2$
C. $4\pi^2$
D. $\dfrac{3\pi^2}{2}$
E. $-\dfrac{3\pi^2}{2}$
$\cos 4x+\sin\dfrac{3x}{2}=2$ тэгшитгэлийн $\left]-\dfrac{7\pi}{6};\dfrac{19\pi}{6}\right[$ завсар дахь шийдүүдийн үржвэрийг ол.
A. $-3\pi^2;$
B. $-4\pi^2;$
C. $-2\pi^2;$
D. $-\pi^2;$
$\sin x\sin 5x=1$ тэгшитгэлийн шийд аль нь вэ?
A. $\dfrac{\pi}{2}+2\pi k$
B. $\dfrac{\pi}{10}+\dfrac{\pi k}{5}$
C. $-\dfrac{\pi}{10}+\dfrac{\pi k}{5}$
D. $-\dfrac{\pi}{2}+2\pi k$
E. $\dfrac{\pi}{2}+\pi k$
$\sin^{2017}x+\cos^{2017}x=1$ тэгшитгэлийг бод.
A. $\pi k$
B. $\dfrac{\pi k}{2}$
C. $\dfrac{\pi}{2}+2\pi k$
D. $\dfrac{\pi}{4}\pm\dfrac{\pi}{4}+2\pi k$
E. $\pm\dfrac{\pi}{4}+2\pi k$
$1-\sin2x=\cos x-\sin x$ тэгшитгэлийг бод.
A. $x_1=-\dfrac\pi2+2\pi n$
B. $x_1=-\dfrac\pi2+2\pi n$, $x_2=2\pi n$
C. $x_1=-\dfrac\pi2+2\pi n$, $x_2=2\pi n$, $x_3=\dfrac\pi4+\pi n$
D. $x=2\pi n$
E. $\varnothing$
$1-\sin2x=\cos x-\sin x$ тэгшитгэлийг $[0,2\pi]$ завсарт бодоход аль шийд гарах вэ?
A. $\dfrac{3\pi}{2}$
B. $0,\dfrac{3\pi}{2},2\pi$
C. $0,\dfrac{\pi}{4},\dfrac{5\pi}{4},\dfrac{3\pi}{2},2\pi$
D. $0, 2\pi$
E. $\varnothing$
$4\sin^42x-5\cos^34x=9$ тэгшитгэлийн хамгийн бага эерэг шийд
$x=\fbox{ab}^{\circ}$ байна.
$2\sin^33x+5=3\cos^46x$ тэгшитгэлийн хамгийн их сөрөг шийд $x=\fbox{abc}^{\circ}$ байна.
$\sin^4\alpha x\pm\cos^4\alpha x$ хэлбэрийн илэрхийлэл агуулсан тэгшитгэл
$\sin^4x-\cos^4x=\dfrac12, 0^\circ< x< 90^\circ$ тэгшитгэлийг бод.
$\cos^4(\pi-x)=\sin^4x+\dfrac12$ ба< p>< /p>а) $\dfrac\pi2+2\pi k$; б) $\pm\dfrac\pi3+2\pi k$; в) $\pm\dfrac\pi6+\pi k$; г) $(-1)^k\dfrac\pi6+\pi k$; д) тэгшитгэлийн хариу байхгүй.< p>< /p>бол а)--д)-ийн аль нь тэгшитгэлийн шийд болох вэ?
$\sin^4x+\cos^4x=\dfrac58$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin^4x+\dfrac12=\sin2x-\cos^4x$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin2x=\cos^4\dfrac x2-\sin^4\dfrac x2$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin^42x+\cos^42x=\sin2x\cos2x$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin^4x+\cos^3x=\cos^22x+0,25$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin^4\dfrac x2+\cos^4\dfrac x2=1-\dfrac32\cos^2\dfrac x2$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin^4x+\cos^4x=\cos4x-\dfrac94\cos^2\dfrac x2$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin^4\left(x-\dfrac\pi6\right)+\cos\left(\dfrac\pi3-2x\right)=-\cos^4\left(x-\dfrac\pi6\right)+2$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin^4\left(x-\dfrac\pi8\right)+\cos^4\left(\dfrac\pi8-x\right)=\cos\left(2x-\dfrac\pi4\right)+2$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin^4x+\cos^4x=\sin^42x+\cos^42x$ тэгшитгэлийг бод.
$1+\ctg^2\left(\dfrac{3\pi}2+x\right)=\cos^4x-\sin^4x$ тэгшитгэлийн абсолют утга нь $\pi$-ээс хэтрэхгүй байх шийдийн тоог ол.
$\sin2x+\sin^4\dfrac x2=\cos^4\dfrac x2$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin^8x+\cos^8x=1-\dfrac{15}{16}\sin^22x$ тэгшитгэлийг бод.
A. $\dfrac\pi8+\dfrac{\pi n}{2}$
B. $\pi k$; $\dfrac\pi8+\dfrac{\pi n}{2}$
C. $\dfrac{\pi k}{2}$; $\dfrac\pi8+\dfrac{\pi n}{2}$
D. $\dfrac{\pi k}{2}$
E. $\dfrac{\pi k}{2}$; $\dfrac\pi8+\dfrac{\pi n}{4}$
$8\sin ^{8} x+8\cos ^{8} x=-\cos 4x$ тэгшитгэл бод.
A. $\dfrac{3\pi }{4} +\pi k;\dfrac{\pi n}{2} $
B. $\dfrac{\pi }{4} +\pi k;\; \dfrac{\pi n}{2} $
C. $\dfrac{\pi }{2} +\pi k$
D. $\dfrac{3\pi }{4} +\pi k$
E. $\dfrac{\pi }{4} +\dfrac{\pi k}{2} $ энд $k,n\in {\mathbb Z} $
$\sin^4x+\cos^4x=\dfrac 58$ тэгшитгэл $-\dfrac 23< x< 3$ нөхцөлийг хангадаг хэдэн шийдтэй вэ?
A. $1$
B. $2$
C. $3$
D. $4$
E. $5$
$\sin^4 x+\cos^4x=a$ тэгшитгэл $a$-ийн ямар утганд шийдтэй байх вэ?
A. $a\leq \frac 12;$
B. $\frac
12\leq a\leq 1;$
C. $1<a;$
D. $0\leq
a<1;$
$8(\sin^8 x+\cos^8x)+a\cos^22x+3a-7=0$ тэгшитгэл $a$-ийн ямар утганд шийдтэй байх вэ? Шийдийг бич.
A. $a\in \left[-\frac 12;1\right], x=\pm\frac 12\arccos(\sqrt{a^2+40}-a)+\pi k;$
B. $a\in \left[-\frac 14;2\right], x=\pm\frac 14\arccos(\sqrt{a^2+60}-a-7)+\frac{\pi k}{2};$
C. $a\in \left]-\frac 14;2\right], x=(-1)^k\frac 12\arcsin(\sqrt{a^2+20}-6)+\pi k;$
D. $a\in \left[-\frac 12;2\right],
x=(-1)^{k+1}\arcsin(\sqrt{a^2+60}-a-7)+\pi k; (k\in Z)$
$\sin^4 x+\cos^4x+\sin 2x+a=0$ тэгшитгэл $a$-ийн ямар утганд шийдтэй байх вэ? Шийдийг бич.
A. $a\in \left[-1;-\frac 12\right[, x=\pm\frac 12\arccos(a-\sqrt{2a+3})+\pi k;$
B. $a\in \left[-\frac 32;\frac 12\right], x=(-1)^k\frac 12\arcsin(1-\sqrt{2a+3})+\frac{\pi k}{2};$
C. $a\in \left]-\frac 12;\frac 32\right[, x=\pm\frac 14\arccos(1-\sqrt{2a+3})+\frac{\pi k}{2};$
D. $a\in \left[-\frac 32;\frac 52\right[,
x=\frac12(-1)^{k+1}\arcsin\left(\frac
12-\sqrt{2a+3}\right)+\frac{\pi k}{2}; (k\in Z)$
$\sin^8x+\cos^8x=\dfrac{17}{32}$ тэгшитгэл бод.
A. $\dfrac{\pi}{8}+\dfrac{\pi k}{4}$
B. $\dfrac{\pi}{8}+\dfrac{\pi k}{2}$; $\dfrac{\pi}{4}$
C. $\dfrac{\pi}{8}+\dfrac{\pi k}{2}$
D. $\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi k}{2}$
E. $\dfrac{\pi}{8}+\dfrac{\pi k}{2}$; $\dfrac{\pi}{8}$
$\sin^8x+\cos^8x=\dfrac{17}{32}$ тэгшитгэл бод.
Бодолт:
$(\sin^4x)^2+(\cos^4x)^2=\dfrac{17}{32}$ гэдгээс ялгаварын бүтэн квадрат бичвэл $(\cos^4x-\sin^4x)^2+2\sin^4x\cos^4x=\dfrac{17}{32}$ болох ба $\cos^22x+\dfrac{1}{\fbox{a}}\sin^42x=\dfrac{17}{32}$ болно.
Энэ нь $\sin^22x$-ийн хувьд $\fbox{b}(\sin^22x)^2-32\sin^22x+\fbox{cd}=0$ гэсэн квадрат тэгшитгэлд шилжих учир боломжит шийд нь $\sin^22x=\dfrac{\fbox{e}}{\fbox{f}}$.
Иймд $x=\pm\dfrac{\pi}{\fbox{g}}+\dfrac{\pi k}{2},k\in\mathbb Z$ болно.
Бодолт:
$(\sin^4x)^2+(\cos^4x)^2=\dfrac{17}{32}$ гэдгээс ялгаварын бүтэн квадрат бичвэл $(\cos^4x-\sin^4x)^2+2\sin^4x\cos^4x=\dfrac{17}{32}$ болох ба $\cos^22x+\dfrac{1}{\fbox{a}}\sin^42x=\dfrac{17}{32}$ болно.
Энэ нь $\sin^22x$-ийн хувьд $\fbox{b}(\sin^22x)^2-32\sin^22x+\fbox{cd}=0$ гэсэн квадрат тэгшитгэлд шилжих учир боломжит шийд нь $\sin^22x=\dfrac{\fbox{e}}{\fbox{f}}$.
Иймд $x=\pm\dfrac{\pi}{\fbox{g}}+\dfrac{\pi k}{2},k\in\mathbb Z$ болно.
$\dfrac{16}{17}\sin^8x+\dfrac{16}{17}\cos^8x=\dfrac{1}{2}$ тэгшитгэл бод.
Бодолт: $(\sin^4x)^2+(\cos^4x)^2=\dfrac{17}{32}$ гэдгээс ялгаварын бүтэн квадрат бичвэл $(\cos^4x-\sin^4x)^2+2\sin^4x\cos^4x=\dfrac{17}{32}$ болох ба $\cos^22x+\dfrac{1}{\fbox{a}}\sin^42x=\dfrac{17}{32}$ болно. (1 оноо)
Энэ нь $\sin^22x$-ийн хувьд $\fbox{b}(\sin^22x)^2-32\sin^22x+\fbox{cd}=0$ гэсэн (3 оноо) квадрат тэгшитгэлд шилжих учир боломжит шийд нь $\sin^22x=\dfrac{\fbox{e}}{\fbox{f}}$. (2 оноо)
Иймд $x=\pm\dfrac{\pi}{\fbox{g}}+\dfrac{\pi k}{2},k\in\mathbb Z$ болно. (1 оноо)
Бодолт: $(\sin^4x)^2+(\cos^4x)^2=\dfrac{17}{32}$ гэдгээс ялгаварын бүтэн квадрат бичвэл $(\cos^4x-\sin^4x)^2+2\sin^4x\cos^4x=\dfrac{17}{32}$ болох ба $\cos^22x+\dfrac{1}{\fbox{a}}\sin^42x=\dfrac{17}{32}$ болно. (1 оноо)
Энэ нь $\sin^22x$-ийн хувьд $\fbox{b}(\sin^22x)^2-32\sin^22x+\fbox{cd}=0$ гэсэн (3 оноо) квадрат тэгшитгэлд шилжих учир боломжит шийд нь $\sin^22x=\dfrac{\fbox{e}}{\fbox{f}}$. (2 оноо)
Иймд $x=\pm\dfrac{\pi}{\fbox{g}}+\dfrac{\pi k}{2},k\in\mathbb Z$ болно. (1 оноо)
$\sin2x+\sin^4\dfrac x2=\cos^4\dfrac x2$ тэгшитгэлийн $0\le x\le 180^\circ$ байх шийдүүдийг олъё.
Квадратуудын ялгаврын томьёо болон үндсэн адилтгал ашиглан хувиргавал $$\sin 2x=\cos\fbox{a}x$$ тэгшитгэлд шилжих тул $x_1=\fbox{bc}^\circ$, $x_2=\fbox{de}^\circ$ ($x_1 < x_2$), $x_3=\fbox{fgh}^\circ$ гэсэн шийдүүдтэй.
Квадратуудын ялгаврын томьёо болон үндсэн адилтгал ашиглан хувиргавал $$\sin 2x=\cos\fbox{a}x$$ тэгшитгэлд шилжих тул $x_1=\fbox{bc}^\circ$, $x_2=\fbox{de}^\circ$ ($x_1 < x_2$), $x_3=\fbox{fgh}^\circ$ гэсэн шийдүүдтэй.
$\sin\alpha x\pm\sin\beta x=0$, $\sin\alpha x\pm\cos\beta x=0$, $\tg\alpha x\pm \tg\beta x=0$ xэлбэрийн тэгшитгэл
$\cos\left(x-\dfrac\pi6\right)=\cos x$ тэгшитгэлийн $\big[-\pi,\dfrac{7\pi}6\big]$ завсар дахь шийдийн тоог ол.
$\cos\left(\dfrac\pi2-3x\right)-\sin2x=0, 160^\circ< x< 200^\circ$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin3x=\sin(90^\circ-2x), 0^\circ< x< 20^\circ$ тэгшитгэлийг бод.
$\cos2x=\cos2$ тэгшитгэлийг бод.
$\cos5x=\cos(5+x)$ тэгшитгэлийг бод.
$\cos4x=\sin2x$ тэгшитгэлийг бод.
$\cos(x+60^\circ)=\sin(x-30^\circ), 180^\circ< x< 270^\circ$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin x+\cos2x=0$ тэгшитгэлийн $[0, \pi]$ завсар дахь шийдийн тоог ол.
$\cos\left(x+\dfrac\pi6\right)=\sin\left(x-\dfrac\pi6\right)$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin\left(x-\dfrac\pi3\right)=\cos\left(2x-\dfrac{2\pi}3\right)$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin x-\cos\left(\dfrac{\pi}2+3x\right)=0$ тэгшитгэлийг бод.
$1-2\sin^8x=\sin4x$ тэгшитгэлийг бод.
$\dfrac{\sin3x}{\cos\left(x-\dfrac\pi6\right)}=-1$ тэгшитгэлийг бод.
$\dfrac{\cos3x}{\sin\left(x+\dfrac\pi6\right)}=-1$ тэгшитгэлийг бод.
$\tg2x-\ctg3x=0$ тэгшитгэлийг бод.
$\tg3x=\tg(90^\circ-2x), 0^\circ< x< 20^\circ$ тэгшитгэлийг бод.
$\theta$ хурц өнцгийн хувьд
- $\sin 3\theta=\sin 2\theta$-ийг хангах $\theta$-ийг ол.
- $\sin 3\theta=m\sin 2\theta+n\sin \theta$ тэгшитгэл шийдтэй байх $(m, n)$ болон эдгээрээс хамааруулан $\theta$-г ол. Энд $m, n$ нь сөрөг биш бүхэл тоонууд.
Дараах тэгшитгэлүүдийг бод.
- $\sin 2\theta+\cos\theta=0$, $0^{\circ}\leq \theta\leq 360^{\circ};$
- $\sin 2\theta=\sin\theta$, $0^{\circ}\leq \theta\leq 360^{\circ};$
- $\cos^24\theta=\cos^2\theta$, $0^{\circ}\leq \theta\leq 360^{\circ};$
- $\sin 2x+\sin x+2\cos x+1=0$, $0^{\circ}\leq x\leq 180^{\circ}.$
$\cos2x=\sin(x-\pi), -\dfrac\pi2\le x\le\dfrac\pi2$ тэгшитгэлийн шийд аль нь вэ?
A. $-\dfrac\pi6$, $\dfrac{\pi}{3}$
B. $\dfrac\pi2$, $\dfrac{11\pi}6$
C. $\dfrac{\pi}{3}$, $\dfrac\pi6$
D. $-\dfrac\pi6$, $\dfrac\pi2$
E. $-\dfrac\pi6$, $\dfrac\pi6$
$\sin 2x=\sin x$ тэгшитгэлийн $0\le x< 2\pi$ байх бүх шийдүүдийг ол.
A. $0$
B. $0$, $\dfrac{\pi}{3}$
C. $0$, $\dfrac{\pi}{3}$, $\pi$
D. $0$, $\dfrac{\pi}{3}$, $\pi$, $\dfrac{5}{3}\pi$
E. $0$, $\dfrac{\pi}{3}$, $\dfrac{\pi}{2}$, $\pi$, $\dfrac{5}{3}\pi$
$\cos2x+\cos x=0$ тэгшитгэлийн хамгийн бага эерэг шийдийг ол.
A. $\pi$
B. $\dfrac{\pi}{6}$
C. $\dfrac{\pi}{4}$
D. $\dfrac{2\pi}{3}$
E. $\dfrac{\pi}{3}$
$\sin 3x=\sin x$ тэгшитгэлийн хамгийн бага эерэг шийд ба хамгийн их сөрөг шийдийн нийлбэрийг ол.
A. $\pi;$
B. $\frac{\pi}{2};$
C. $-\frac{\pi}{6};$
D. $0;$
$\sin6x=\sin 2x$ тэгшитгэлийн шийд нь $x_1=\dfrac{\pi n}{\fbox{a}}$, $x_2=\dfrac{\pi}{\fbox{b}}+\dfrac{\pi k}{\fbox{c}}$
$1\pm\sin2x=(\sin x\pm\cos x)^2$ томъёог ашиглан бодох бодлогууд
$1+\sin2x=(\cos3x+\sin3x)^2$ тэгшитгэлийг бод.
$1+\cos7x=\left(\sin\dfrac{3x}2-\cos\dfrac{3x}2\right)^2$ тэгшитгэлийг бод.
$(\cos3x+\sin3x)^2=1+\cos2x$ тэгшитгэлийг бод.
$\cos\left(\dfrac{4x+3\pi}{2}\right)+1+\left(\sin\Big(\dfrac{13\pi}2+x\Big)+\cos\Big(\dfrac{7\pi}2+x\Big)\right)^2=0, -\dfrac\pi4\le x\le\dfrac{5\pi}4$ тэгшитгэлийг бод.
$1+\sin2x=\left(\sin\dfrac x2-\cos\dfrac x2\right)^2$ тэгшитгэлийг бод.
$2(\sin x+\cos x)+\sin2x+1=0$ тэгшитгэлийг бод.
$\dfrac{1+2\sin^2(\pi+x)-3\sqrt2\sin x-\cos\left(\dfrac\pi2+2x\right)}{(\sin x-\cos x)^2}=-1$ тэгшитгэлийг бод.
Зуурмаг бэлтгэхэд цемент, элс, ус 3:3:1.2 харьцаатай ордог бол: а. 72 кг б. 180 кг в. 252 кг зуурмаг бэлтгэхэд хэдэн кг цемент орох вэ?
$1-\sin5x=\left(\cos\dfrac{3x}2-\sin\dfrac{3x}2\right)^2$ тэгшитгэл $[0;\pi]$ завсарт хэдэн шийдтэй вэ?
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
E. 6
$1-\sin2x=\cos x-\sin x$ тэгшитгэлийг бод.
A. $x_1=-\dfrac\pi2+2\pi n$
B. $x_1=-\dfrac\pi2+2\pi n$, $x_2=2\pi n$
C. $x_1=-\dfrac\pi2+2\pi n$, $x_2=2\pi n$, $x_3=\dfrac\pi4+\pi n$
D. $x=2\pi n$
E. $\varnothing$
$\sin 2x=(\cos x-\sin x)^2$ тэгшитгэлийг бод.
A. $x=\pm\dfrac{\pi}{6}+2\pi n$
B. $x=(-1)^n\dfrac\pi{6}+\dfrac{\pi n}2$
C. $x=\pm\dfrac{\pi}{12}+\pi n$
D. $x=(-1)^n\dfrac{\pi}{6}+\pi n$
E. $x=(-1)^n\dfrac\pi{12}+\dfrac{\pi n}2$
$\sin2x+\sin 6x=\cos 2x$ тэгшитгэл $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$ завсарт хэдэн шийдтэй вэ?
A. $1$
B. $2$
C. $3$
D. $4$
E. $0$
$\sin2x+5(\sin x+\cos x)+1=0$ тэгшитгэл $\left[-\dfrac{5\pi}{4},\pi\right[$ завсарт хэдэн шийдтэй вэ?
A. $3$
B. $4$
C. $2$
D. $1$
E. $0$
$\sin 2x-4(\sin x-\cos x)+4=0$ тэгшитгэл $\left[-\dfrac{3\pi}{2};\dfrac{2\pi}{3}\right[$ завсарт хэдэн шийдтэй вэ?
A. $2;$
B. $3;$
C. $4;$
D. $1;$
$1+\sin2x=\cos x+\sin x$ тэгшитгэлийг бод.
A. $x_1=\dfrac\pi2+2\pi n$
B. $x_1=\dfrac\pi2+2\pi n$, $x_2=2\pi n$
C. $x_1=\dfrac\pi2+2\pi n$, $x_2=2\pi n$, $x_3=-\dfrac\pi4+\pi n$
D. $x=2\pi n$
E. $\varnothing$
Зэрэг бууруулж бодох тэгшитгэл
$\cos^2x>\dfrac34$ тэнцэтгэл бишийн $0\le x\le 2\pi$ байх шийдийг ол.
$\cos^2x>\dfrac34$ тэнцэтгэл бишийн шийдийн олонлог аль вэ?
A. $\left]-\dfrac{\pi}6+\pi k;\dfrac{\pi}6+\pi k\right[$
B. $\left]-\dfrac{\pi}3+\pi k;\dfrac{\pi}3+\pi k\right[$
C. $\left]\dfrac{\pi}2+\pi k;\pi+\pi k\right[$
D. $\left]\dfrac{\pi}2+\pi k;\pi k+\dfrac76\pi\right[$
E. $\left]\dfrac{\pi}6+\pi k;\pi k+\dfrac76\pi\right[$
$4\sin^3x-3\sin x< \cos 6x$ тэнцэтгэл биш аль тэнцэтгэл биштэй эквивалент вэ?
A. $-1<\sin 3x<\dfrac 12$
B. $-1<\cos 3x<\dfrac 12$
C. $-\dfrac 12<\sin3x<1$
D. $-\dfrac 12<\cos 3x<1$
E. $-\dfrac 13<\sin3x<1$
$\sin^2x<\dfrac{3}{4}$ тэнцэтгэл бишийн шийдийн олонлог аль нь вэ?
A. $\left]-\dfrac{\pi}{6}+\pi k;\dfrac{\pi}{6}+\pi k\right[$
B. $\left]-\dfrac{\pi}{3}+\pi k;\dfrac{\pi}{3}+\pi k\right[$
C. $\left]\dfrac{\pi}{2}+\pi k;\pi+\pi k\right[$
D. $\left]\dfrac{\pi}{2}+\pi k;\pi k+\dfrac{7\pi}{6}\right[$
E. $\left]\dfrac{\pi}{6}+\pi k;\pi k+\dfrac{7\pi}{6}\right[$
$\cos^4x=\dfrac14\cos2x+\dfrac12\cos^2x\cos8x$ тэгшитгэлийг бод.
A. $x=\dfrac{\pi k}4$
B. $x=\dfrac\pi4+\dfrac{\pi k}2$
C. $x=2\pi k$
D. $x=\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k$
E. $\varnothing$
$\cos^4x=\dfrac14\cos2x+\dfrac12\cos^2x\cos8x$ тэгшитгэлийн $x\in[0^\circ;180^\circ]$ байх шийдийг ол.
A. $x=45^\circ$
B. $x=45^\circ$, $x=135^\circ$
C. $x=0^\circ$, $x=180^\circ$
D. $x=135^\circ$
E. $\varnothing$
Квадрат тэгшитгэлд шилждэг тэгшитгэл
$2\cos^2x-3\cos x+1=0$ тэгшитгэлийн хамгийн их сөрөг шийд ба хамгийн бага эерэг шийдийн ялгаврыг ол.
A. $-\dfrac{\pi}{2}$
B. $-\pi$
C. $-\dfrac{2\pi}{3}$
D. $-\dfrac{4\pi}{3}$
E. $-2\pi$
$\log_{\tg x}(\cos 2x-\cos 4x)=0$ тэгшитгэлийг бод.
A. $\dfrac{\pi}{6}+\pi k$
B. $\dfrac{\pi}{3}+2\pi n$
C. $\pm \dfrac{\pi}{3}+2\pi k$
D. $\dfrac{\pi}{2}+\pi k$
E. $\dfrac{\pi}{6}+2\pi k$
$\cos^2x-\sin^2x=\sin x$ тэгшитгэлийн $[-\pi;\pi]$ завсарт орших шийдүүдийн үржвэрийг олоорой.
A. $\dfrac{5\pi^3}{24}$
B. $-\dfrac{5\pi^3}{12}$
C. $-\dfrac{5\pi^3}{72}$
D. $-\dfrac{5\pi^3}{24}$
E. $\dfrac{5\pi^3}{72}$
$\sin x=2\cos^2x-1$ тэгшитгэлийн $[-\pi;\pi]$ завсарт орших шийдүүдийн үржвэрийг олоорой.
A. $-\dfrac{5\pi^3}{72}$
B. $-\dfrac{5\pi^3}{12}$
C. $\dfrac{5\pi^3}{72}$
D. $-\dfrac{5\pi^3}{24}$
E. $\dfrac{5\pi^3}{24}$
$\cos^2x-\sin^2x=\sin x$ тэгшитгэлийн $[-\pi;\pi]$ завсарт орших шийдүүдийн үржвэрийг олоорой.
A. $\dfrac{5\pi^3}{24}$
B. $-\dfrac{5\pi^3}{12}$
C. $\dfrac{5\pi^3}{72}$
D. $-\dfrac{5\pi^3}{24}$
E. $-\dfrac{5\pi^3}{72}$
$\cos4x=\sin 2x$ тэгшитгэлийн $\left[-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}\right]$ завсарт орших шийдүүдийн үржвэрийг олоорой.
A. $\dfrac{5\pi^3}{24}$
B. $-\dfrac{\pi^2}{12}$
C. $-\dfrac{\pi^2}{48}$
D. $-\dfrac{\pi^2}{24}$
E. $-\dfrac{5\pi^3}{72}$
$\cos^2x-\sin^2x=\sin x$ тэгшитгэлийн $[-\pi;\pi]$ завсарт орших шийдүүдийн үржвэрийг олоорой.
A. $\dfrac{5\pi^3}{24}$
B. $-\dfrac{5\pi^3}{12}$
C. $\dfrac{5\pi^3}{72}$
D. $-\dfrac{5\pi^3}{24}$
E. $-\dfrac{5\pi^3}{72}$
$2\cos^2x+3\cos x=-1$ тэгшитгэлийн $0< \alpha_1< \alpha_2< \alpha_3< \dots$ байх шийдүүдийн хувьд $\alpha_6+\alpha_7=a\pi$ ба $a$ бүхэл тоо бол түүнийг ол.
A. 9
B. 8
C. 7
D. 6
E. 5
$f(x)=2\cos^22x+\cos(2x+\pi)-1$ функцийн хувьд
- Үндсэн үед $T=\fbox{a}\pi$ (1 оноо)
- Хамгийн их утга $\fbox{b}$ (2 оноо)
- Хамгийн бага утга $-\dfrac{\fbox{c}}{\fbox{d}}$ (1 оноо)
- $f(x)=0$ тэгшитгэлийн шийд $x=\fbox{e}\pi k$ (1 оноо), $x=\pm\dfrac{\pi}{\fbox{f}}+\pi k,~(k\in\mathbb Z)$ байна. (1 оноо)
$y(x)=|\cos^2x-a|+2\sin x-\dfrac 54$ функцийн хувьд
1) $a=1$ бол $\left\{ % \begin{array}{l} y(x)=0, \\ \cos x< 0 \\ \end{array} % \right.$ системийг бодвол $x=\dfrac{\fbox{b}}{\fbox{a}}\pi+2\pi k (k\in \mathbb Z)$ болно.
2) $y(x)=0$ тэгшитгэлийг шийдтэй байлгах $a$ параметрийн утга нь $|a|\leq \fbox{c,de}$ байна.
1) $a=1$ бол $\left\{ % \begin{array}{l} y(x)=0, \\ \cos x< 0 \\ \end{array} % \right.$ системийг бодвол $x=\dfrac{\fbox{b}}{\fbox{a}}\pi+2\pi k (k\in \mathbb Z)$ болно.
2) $y(x)=0$ тэгшитгэлийг шийдтэй байлгах $a$ параметрийн утга нь $|a|\leq \fbox{c,de}$ байна.
$f(x)=\cos4x+\cos(2x-\pi)$ функцийн хувьд
- Үндсэн үе $T=\fbox{a}\pi$;
- Хамгийн их утга: $\fbox{b}$;
- Хамгийн бага утга: $-\dfrac{\fbox{c}}{\fbox{d}}$;
- $f(x)=0$ тэгшитгэлийн шийд $x=\fbox{e}\pi$, $x=\pm\dfrac{\pi}{\fbox{f}}+\pi k$, $k\in\mathbb Z$ байна.
Нийлбэр, ялгавар өнцгийн синус, косинусын томьёо ашиглан бодох тэгшитгэл
$\cos\dfrac\pi3\sin5x+\sin\dfrac\pi3\cos5x=-\dfrac12$ тэгшитгэлийн хамгийн их сөрөг шийдийг градусаар илэрхийл.
$\cos2x\cdot\cos3x=\cos5x$ тэгшитгэл бод.
A. $x=\frac{\pi k}{3},k\in\mathbb Z$
B. $x=\frac{\pi n}{2}; x=\frac{\pi k}{3},k,n\in\mathbb Z$
C. $x=\frac{\pi n}{2}; x=\frac{\pi k}{5}; x=\frac{\pi m}{3},k,n,m\in\mathbb Z$
D. $x=\frac{\pi k}{5}; x=\frac{\pi n}{3};k,n\in\mathbb Z$
E. $x=\frac{\pi k}{2}; x=\frac{\pi n}{5};k,n\in\mathbb Z$
$\sin3x\cdot\cos5x-\cos3x\cdot\sin5x=0.5$ тэгшитгэлийн хамгийн их сөрөг шийд аль нь вэ?
A. $-75^\circ$
B. $-1^\circ$
C. $-30^\circ$
D. $-15^\circ$
E. $-2^\circ$
$\dfrac{\cos3x}{\sin2x}+\sin x=0$ тэгшитгэлийг бод.
A. $x=\dfrac{\pi n}2$
B. $x=\dfrac\pi8+\dfrac{\pi n}2$
C. $x=\dfrac{\pi n}4$
D. $x=\dfrac\pi4+\dfrac{\pi n}2$
E. Шийдгүй
$\cos x\cos 2x+\sin x\sin 2x=1$ тэгшитгэлийг бод.
A. $x=\pi k$
B. $x=2\pi k$
C. $x=3\pi k$
D. $x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi k$
E. $x=4\pi k$
$\cos x\cos 2x=\cos 3x$ тэгшитгэлийн $]-2\pi;0[$ завсар дахь шийдүүдийн үржвэрийг ол.
A. $-\frac{5\pi^3}{4};$
B. $\frac{3\pi^2}{2};$
C. $\frac{3\pi^2}{4};$
D. $-\frac{3\pi^3}{4};$
$\sin2x\cdot\cos4x-\cos2x\cdot\sin4x=0.5$ тэгшитгэлийн хамгийн их сөрөг шийд аль нь вэ?
A. $-15^\circ$
B. $-1^\circ$
C. $-30^\circ$
D. $-75^\circ$
E. $-1^\circ$
Нийлбэрийг үржвэрт хувиргах томьёо ашиглан бодох тэгшитгэл
$2\cos^2x-1=\sin3x$ тэгшитгэл $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$ завсарт хэдэн шийдтэй вэ?
A. $0$
B. $3$
C. $2$
D. $1$
E. $4$
$\log_{\sin x}(1+\cos 2x+\cos 4x)=0$ тэгшитгэлийг бод.
A. $\dfrac{\pi}{6}+2\pi k, -\dfrac{\pi}{2}+2\pi n$
B. $\dfrac{\pi}{3}+2\pi k, \dfrac{5\pi}{6}+2\pi n$
C. $-\dfrac{\pi}{6}+\pi k$
D. $\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi k$
E. $(-1)^k\dfrac{\pi}{6}+\pi k$
Нэгэн төрлийн тэгшитгэл
$3\cos^2x+\cos x\cdot\sin x=0.6$ тэгшитгэл $\Big[\dfrac{\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2}\Big]$ завсар хэдэн шийдтэй вэ?
A. $8$
B. $6$
C. $4$
D. $3$
E. $2$
$\sin^2x+21\cos^2x=5\sin2x$ тэгшитгэлийн хамгийн бага эерэг шийд аль нь вэ?
A. $\dfrac{\pi}{4}$
B. $\arctg 3$
C. $\dfrac{\pi}{3}$
D. $\dfrac{\pi}{6}$
E. $\arctg 7$
$4\sin^2 x+\sin 2x=1$ тэгшитгэлийг бодъё. Давхар өнцгийн синусын томьёо болон үндсэн адилтгал ашиглавал
$$\fbox{a}\sin^2 x+\fbox{b}\sin x\cos x-\cos^2 x=0$$
болно. $\cos x\neq\fbox{c}$ тул $\cos^2x$ тоонд тэгшитгэлийн 2 талыг хувааж өгвөл
$$\fbox{a}\tg^2x+\fbox{b}\tg x-1=0$$
тэгшитгэлд шилжинэ. Эндээс $\tg x=\fbox{de}$ эсвэл $\tg x=\dfrac{1}{\fbox{f}}$ тул тэгшитгэлийн шийд нь
$$x=\dfrac{3\pi}{\fbox{g}}+\pi k,\quad x=\arctg\dfrac{1}{\fbox{h}}+\pi k$$
$4\cos^2 x+\sin 2x=1$ тэгшитгэлийг бодъё. Давхар өнцгийн синусын томьёо болон үндсэн адилтгал ашиглавал
$$\fbox{a}\cos^2 x+\fbox{b}\sin x\cos x-\sin^2 x=0$$
болно. $\sin x\neq\fbox{c}$ тул $\sin^2x$ тоонд тэгшитгэлийн 2 талыг хувааж өгвөл
$$\fbox{a}\ctg^2x+\fbox{b}\ctg x-1=0$$
байна. Эндээс $\ctg x=\fbox{de}$ эсвэл $\ctg x=\dfrac{1}{\fbox{f}}$ тул тэгшитгэлийн шийд нь
$$x=\dfrac{3\pi}{\fbox{g}}+\pi k,\quad x=\arcctg\dfrac{1}{\fbox{h}}+\pi k$$
Орлуулга хийх
$(\ctg^2x+2)\sin x=\dfrac 52\Leftrightarrow
\left\{ %
\begin{array}{l}
t=\sin x\ne 0 \\
\fbox{a}t^2-\fbox{b}t+2=0 \\
\end{array} %
\right. \Leftrightarrow\\
\Leftrightarrow
\left[ %
\begin{array}{l}
\sin x=\fbox{c}\\
\sin x=\dfrac1{\fbox{d}} \\
\end{array} %
\right. \Leftrightarrow
x=(-1)^k\dfrac{\pi}{\fbox{e}}+\fbox{f}k\pi, k\in \mathbb Z.$
$(\tg^2x+3)\cos x=3\Leftrightarrow
\left\{ %
\begin{array}{l}
t=\cos x\ne 0 \\
\fbox{a}t^2-\fbox{b}t+1=0 \\
\end{array} %
\right. \Leftrightarrow
\left[ %
\begin{array}{l}
\cos x=\fbox{c}\\
\cos x=\dfrac1{\fbox{d}} \\
\end{array} %
\right.
\Leftrightarrow\\
\Leftrightarrow
\left[ %
\begin{array}{l}
x=\fbox{e}k\pi \\
x=\pm\dfrac{\pi}{\fbox{f}}+2n\pi, k,n\in \mathbb Z. \\
\end{array} %
\right.$
Радикалын тэмдэг агуулсан тэгшитгэл
$\sqrt{1+\cos4x}\sin x=2\sin\dfrac\pi4$ тэгшитгэлийг бод.
$\sqrt{1+\cos6x}\sin\dfrac{3x}2=2\sqrt2\cos\dfrac{2\pi}3$ тэгшитгэлийг бод.
$\sqrt{1-\sqrt3\sin x}+\sqrt{10}\cos x=0$ тэгшитгэлийг бод.
$\sqrt{7\sin x-\cos 2x}+2\cos x=0$ тэгшитгэлийг бод.
$\sqrt{10}\cos x-\sqrt{4\cos x-\cos 2x}=0$ тэгшитгэлийг бод.
$\sqrt{4\cos2x-2\sin2x}=2\cos x$ тэгшитгэлийг бод.
$\sqrt{\cos x+\cos3x}=-\sqrt{2}\cos x$ тэгшитгэлийг бод.
$3-4\sin x=\sqrt{2\sin x-1}$ тэгшитгэлийг бод.
$\sqrt{\cos2x}=1+2\sin x$ тэгшитгэлийг бод.
$\sqrt2\sin x=\sqrt{5\cos x-1}$ тэгшитгэлийг бод.
$\sqrt{\sin2x-2\cos2x}=\sqrt2\sin x$ тэгшитгэлийг бод.
$\sqrt{2+\cos2x-2\cos^23x+2\cos6x}=\sqrt2\sin2x, -5\le x\le 0$ тэгшитгэлийг бод.
$\sqrt{6(1-\tg^2x)}=4\sin x$ тэгшитгэлийг бод.
$2\sqrt[4]2\cos\left(\dfrac\pi2+x\right)=\sqrt{1-\tg^2x}$ тэгшитгэлийг бод.
$1+\dfrac1{\sqrt{1+\ctg^2x}}=2\cos^2x$ тэгшитгэлийг бод.
$15\cos 2x\sqrt{1+\tg^2x}=7$ тэгшитгэлийг бод.
$\sqrt{4\cos x+3\sin2x}-2\cos x=1$ тэгшитгэлийг бод.
$\sqrt{2\sin x}=\sqrt3\tg x$ тэгшитгэлийг бод.
$\sqrt{0,5+\cos x\cos 2x}=\sin\left(2x+\dfrac\pi4\right)$ тэгшитгэлийг бод.
$2\cos x+3\sin x=\sqrt{4+13\sin x}$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin x+2\cos x=\sqrt{6\sin 2x+4}$ тэгшитгэлийг бод.
$\sqrt{1-\sin2x}=\sin3x+\cos3x$ тэгшитгэлийн $\big[\dfrac{2\pi}{2},2\pi\big]$ муж дахь шийдийн тоог ол.
$\sqrt{\sin(x+3)-\sin3\cos x}=\sqrt{\cos x}$ тэгшитгэлийг бод.
$\cos x\sqrt{3-\tg x}=\sin x\sqrt{1-\ctg x}$ тэгшитгэлийг бод.
$\sqrt{\ctg 2x-\ctg x}=\dfrac1{\cos x}$ тэгшитгэлийг бод.
$2\sqrt{\sin x+6\cos x}=(\tg x+3)\sqrt{\cos x}$ тэгшитгэлийг бод.
$\sqrt{2\sin^2\dfrac x2-\cos x}=\sin x+\cos x$ тэгшитгэлийг бод.
$\sqrt{2+\sin3x+\sin x}=2\sin\left(x+\dfrac \pi4\right)$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin x+\cos x=\sqrt{1+\tg x}$ тэгшитгэлийг бод.
$\sqrt{0,5-\sin x}-\sqrt{\cos x}=\sqrt{0,5-\cos x-\sin x}$ тэгшитгэлийг бод.
$\sqrt{\tg x+\sin x}+\sqrt{\tg x-\sin x}=\sqrt{3\tg x}, 0\le x\le \pi$ тэгшитгэлийг бод.
$2\sin x=\sqrt{4+\cos 3x}$ тэгшитгэлийг бод.
$\sqrt{8-17\sin x}+2\cos x=0$ тэгшитгэлийг бод.
A. $x=\pi-\arcsin\dfrac14+2\pi n$
B. $x=\pi\pm\arcsin\dfrac14+2\pi n$
C. $x=\pi+\arcsin\dfrac14+2\pi n$
D. $x=\pi-\arcsin\dfrac34+2\pi n$
E. $x=\pi+\arcsin\dfrac34+2\pi n$
$\sqrt{4\cos x-6\sin x}=\sqrt{2-3\tg x}$ тэгшитгэлийг бод.
A. $\arctg \frac{3}{2}+\pi
k, \frac{\pi}{3}+2\pi n;$
B. $(-1)^k\arcsin \frac{3}{\sqrt{13}}+\pi k, \pm\frac{\pi}{3}+2\pi n;$
C. $\pm \arccos\frac{2}{\sqrt{13}}+2\pi k,
-\frac{\pi}{3}+2\pi n;$
D. $\arctg\frac 23+\pi
k, -\frac{\pi}{3}+2\pi n; (k, n\in Z)$
$\sqrt{4\sin x-6\cos x}=\sqrt{2-3\ctg x}$ тэгшитгэлийг бод.
A. $(-1)^k\arcsin
\frac{2}{\sqrt{13}}+\pi k, (-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n;$
B. $\pm\arccos\frac{3}{\sqrt{13}}+2\pi k, \arcctg\frac{3}{2}+2\pi n;$
C. $\arcctg\frac 23+\pi k, \frac{5\pi}{6}+2\pi n;$
D. $\arctg\frac 23+\pi k, \pm \frac{5\pi}{6}+2\pi
n; (k, n\in Z)$
$\sqrt{2\cos 2x-\cos^2x-4\sin^2\dfrac x2\cdot \cos^2\dfrac x2}=\sqrt{\sqrt{3}-1} \Leftrightarrow x=\pm\dfrac{\pi}{\fbox{ab}}+\pi k, (k\in \mathbb Z).$
$2\sin x=\sqrt{4+\cos 3x}\Leftrightarrow
\left\{ %
\begin{array}{l}
\sin x\geq 0 \\
\cos x(4\cos^2x+\fbox{a}\cos x-\fbox{b})=0
\end{array}\right.\Leftrightarrow\\
\Leftrightarrow
\left\{\begin{array}{l}
\sin x\geq 0\\
\left[ %
\begin{array}{l}
\cos x=0 \\
\cos x=\dfrac{1}{\fbox{c}} \\
\end{array} %
\right. \\
\end{array} %
\right.$
$\Leftrightarrow$
$\left\{ %
\begin{array}{l}
\sin x\geq 0 \\
\left[ %
\begin{array}{l}
x=\dfrac{\pi}{\fbox{d}}+\fbox{e}k\pi \\
x=\pm\dfrac{\pi}{\fbox{f}}+\fbox{g}n\pi \\
\end{array} %
\right. \\
\end{array} %
\right.$
$\Leftrightarrow$
$\begin{array}{r}x=\dfrac{\pi}{2}+\fbox{h}k\pi, x=\dfrac{\pi}{\fbox{i}}+2n\pi,\\
k,n\in \mathbb Z.\end{array}$
$2\cos x=\sqrt{4+\sin 3x}\Leftrightarrow
\left\{ %
\begin{array}{l}
\cos x\geq 0 \\
\sin (\fbox{a}\sin^2x-\fbox{b}\sin x-3)=0
\end{array}\right.
\Leftrightarrow\\
\Leftrightarrow
\left\{\begin{array}{l}
\cos x\geq 0\\
\left[ %
\begin{array}{l}
\sin x=0 \\
\sin x=-\dfrac{1}{\fbox{c}} \\
\end{array} %
\right. \\
\end{array} %
\right.$
$\Leftrightarrow$
$\left\{ %
\begin{array}{l}
\cos x\geq 0 \\
\left[ %
\begin{array}{l}
x=\fbox{d}k\pi \\
x=(-1)^n\dfrac{\fbox{f}}{\fbox{e}}\pi+\fbox{g}n\pi \\
\end{array} %
\right. \\
\end{array} %
\right.$
$\Leftrightarrow$\\
$\Leftrightarrow$
$x=\fbox{h}k\pi, x=-\dfrac{\pi}{\fbox{i}}+\fbox{j}n\pi, k,n\in
\mathbb Z.$
$\sqrt{3+2\tg x-\tg^2x}=\dfrac{1+3\tg x}{2}$ тэгшитгэл өгөгдөв.
$$\sqrt{3+2\tg x-\tg^2x}=\dfrac{1+3\tg x}{2}\Leftrightarrow$$
$$3+2\tg x-\tg^2x=\left(\dfrac{1+3\tg x}{2}\right)^2,\ \tg x\ge-\frac{1}{\fbox{a}}$$
Тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг бичвэл:
$x=\dfrac{\pi}{\fbox{b}}+\pi k$ болно.
$\sqrt{1-\cos 2x}=\sqrt{2}\cdot \cos x$ тэгшитгэл өгөгдөв.
$$\sqrt{1-\cos 2x}=\sqrt{2}\cdot \cos x\Leftrightarrow 1-\cos2x=2\cos^2x,\ \cos x\ge\fbox{a}$$
болох бөгөөд шийд нь:
$x=\pm\dfrac{\pi}{\fbox{a}}+\fbox{b}\pi k$ байна.
Синус, косинусын квадрат агуулсан тэгшитгэлүүд
$\sin^22x+\sin^23x+\sin^24x+\sin^25x=2$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin^23x+\sin^2(81\pi-x)=\dfrac32-\sin^22x$ тэгшитгэлийг бод.
$\cos^22x+\cos^26x=1$ тэгшитгэлийн $\big[0,\dfrac\pi2\big]$ муж дахь шийдийн тоог ол.
$6\sin^29x+180^\circ)=\sin^22x+\cos^2x, -20^\circ< x< 250^\circ$ тэгшитгэлийн шийдүүдийн нийлбэр нь < p>< /p>а) $180^\circ$ б) $420^\circ$ в) $360^\circ$ г) $390^\circ$ д) эдгээрийн аль нь ч биш.
$\sin^22x=3\cos^2x-\sin^2(x+\pi), -\pi< x< \pi$ тэгшитгэлийг бод.
$\cos^2(45^\circ+x)=\cos^2(45^\circ-x)+\sqrt5\cos x$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin^2(45^\circ+x)=\sin^2(45^\circ-x)+\sqrt7\cos x$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin^2\left(\dfrac\pi8-\dfrac{3x}2\right)=\sin x+\sin^2\left(\dfrac\pi8-\dfrac x2\right), -135^\circ< x< -45^\circ$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin3x+\sin5x=2(\cos^22x-\sin^23x)$ тэгшитгэлийн $[0^\circ,180^\circ]$ муж дахь шийдийн тоог ол.
$\cos^24x+\sin^22x=1$ тэгшитгэлийг бод.
A. $x=\dfrac{\pi n}7$
B. $x=\dfrac{\pi n}4$
C. $x=\dfrac{\pi n}8$
D. $x=\dfrac{\pi n}6$
E. $x=\pi n$
$\cos^2x+\cos^22x+\cos^23x+\cos^24x=2$ тэгшитгэлийн $\left]\dfrac{\pi}{11};\dfrac{\pi}{3}\right[$ завсар дахь шийдүүдийн үржвэрийг ол.
A. $\frac{3\pi^3}{200};$
B. $\frac{\pi^3}{400};$
C. $\frac{\pi^3}{200};$
D. $\frac{3\pi^3}{400};$
$\sin^2x+\cos^23x+\sin^25x+\cos^27x=2$ тэгшитгэлийн $\left]\dfrac{\pi}{9};\dfrac{\pi}{2}\right[$ завсар дахь шийдүүдийн үржвэрийг ол.
A. $\frac{5\pi^3}{128};$
B. $\frac{5\pi^3}{256};$
C. $\frac{3\pi^3}{256};$
D. $\frac{3\pi^3}{128};$
Тангес ба котангестай тэгшитгэлүүд
$2\sin^2x+\tg^2x=2$ тэгшитгэлийг бод.
$\tg x+\tg2x-\tg3x=0$ тэгшитгэлийн $[0,\pi]$ завсар дахь шийдүүдийн нийлбэрийг ол.
$\sin x+\tg\dfrac x2=0$ тэгшитгэлийг бод.
$\dfrac1{1-\tg^22x}=1-\sin\left(\dfrac{3\pi}2-4x\right), 0< x< \dfrac\pi2$ тэгшитгэлийг бод.
$1+\cos x=\ctg\dfrac x2$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin2x+\tg x-0, 0^\circ< x< 270^\circ$ тэгшитгэлийн хамгийн их шийдийг ол.
$\tg x\tg(x+1)=1$ тэгшитгэлийг бод.
$\tg x-\sin x=2\sin^2\dfrac x2$ тэгшитгэлийг бод.
$\cos3x\tg\dfrac x2=\dfrac{\cos x-1}{\cos\left(x+\dfrac\pi2\right)}$ тэгшитгэлийг бод.
$\dfrac{\sin^2x-2}{\sin^2x-4\cos^2\Big(\dfrac x2\Big)}=\tg^2\dfrac x2$ тэгшитгэлийг бод.
$\dfrac{1-\tg\Big(\dfrac x2\Big)}{1-\ctg\Big(\dfrac x2\Big)}=2\sin\dfrac x2$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin x+2\sin3x+\sin5x=\ctg x\sin3x$ тэгшитгэлийг бод.
$\tg x-\tg3x=\dfrac8{\sin2x}$ тэгшитгэлийг бод.
$\tg x+\tg\left(x-\dfrac\pi4\right)=1$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin2x+3\sin x=\tg\dfrac x2$ тэгшитгэлийг бод.
$(\sin x+\cos x)^2+\cos2x+\tg2x=0, -\dfrac\pi2\le x\le\pi$ тэгшитгэлийг бод.
$\cos 2x+(\sin x+\cos x)^2\tg x=\tg x(\tg x+1), -\dfrac{7\pi}4\le x\le \dfrac\pi4$ тэгшитгэлийг бод.
$\tg x-\ctg2x=\dfrac1{1+\cos 2x}, -0,5\le x\le 1$ тэгшитгэлийг бод.
$\dfrac{\cos2x}{1+\sin2x}=\tg6x$ тэгшитгэлийг бод.
$\tg3x-\tg x=\dfrac{2\tg x}{1-\tg^22x}$ тэгшитгэлийг бод.
$\dfrac{\cos4x+1}{\ctg x-\tg x}=\dfrac12\cos^42x-8\sin^4x\cos^4x$ тэгшитгэлийг бод.
$2\tg\left(\dfrac\pi4-x\right)=3\tg2x+5$ тэгшитгэлийг бод.
$\tg x(1-2\sin x)-2\cos x=-\sqrt3$ тэгшитгэлийг бод.
$\ctg^4x=\cos^22x-1$ тэгшитгэлийг бод.
$\cos x(\tg x+\tg3x)=4\sin3x\sin4x$ тэгшитгэлийг бод.
$\dfrac{\sin^22x-4\sin^2x}{\sin^22x+4\sin^2x-4}=2\tg^2x-1$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin x\tg x+\cos x\dfrac1{\tg x}=\sin x+\cos x, 0^\circ< x< 90^\circ$ тэгшитгэлийг бод.
$\tg^2x=\dfrac{1-\cos x}{1+\cos x}, 0^\circ< x< 150^\circ$ тэгшитгэлийг бод.
$\dfrac{1}{1-\tg2x}+\dfrac{2\cos^2x-1}{\cos2x+\sin2x}=\dfrac{2\sqrt3\tg2x}{1-\tg^22x}$ тэгшитгэлийг бод.
$\dfrac{\sin2x}{1+\cos2x}+\dfrac1{\cos^2x}=9-\ctg2x+\dfrac5{\sin^2x}+\tg^2x$ тэгшитгэлийг бод.
$\ctg x+\sin2x=\ctg3x$ тэгшитгэлийг бод.
$2\ctg x-\dfrac1{\cos x}=\dfrac2{\sin2x}$ тэгшитгэлийг бод.
$y=\dfrac{\sin x+\cos x}{\tg x+\ctg x}$ функцийн тодорхойлогдох мужийг ол.
A. $x\ne \pi k;$
B. $x\ne\dfrac{\pi}{2}k;$
C. $x\ne (2k+1)\pi;$
D. $x\ne 2\pi k (k\in \mathbb Z)$
E. $x\in]-\infty;+\infty[$
$7\tg x+\ctg x=5\sec x$ тэгшитгэлийн $\left[\dfrac{2\pi}{3};\pi\right[$ завсар дахь шийдүүдийн нийлбэрийг ол.
A. $\frac{13\pi}{6};$
B. $\frac{13\pi}{6}-\arcsin\frac 13;$
C. $\pi;$
D. $\frac{11\pi}{6}-\arcsin \frac 13;$
$\tg x+4\ctg x=4\cosec x$ тэгшитгэлийн $\left]\dfrac{3\pi}{2};\dfrac{5\pi}{2}\right[$ завсар дахь шийдүүдийн нийлбэрийг ол.
A. $4\pi-\arccos\dfrac 13$
B. $4\pi+2\arccos \dfrac 13$
C. $6\pi$
D. $2\pi$
E. $4\pi$
$\tg^2x+\dfrac 1{\cos^2x}+3\ctg\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=0$ тэгшитгэл $\left[-\dfrac{3\pi}{2};0\right]$ завсарт хэдэн шийдтэй вэ?
A. $1;$
B. $4;$
C. $3;$
D. $2;$
$\tg 2x\cdot \sin x+\sqrt{3}(\sin x-\sqrt{3}\tg 2x)=3\sqrt{3}$ тэгшитгэл $\left[-\dfrac{\pi}{2},\pi\right]$ завсарт хэдэн шийтэй вэ?
A. $2;$
B. $1;$
C. $3;$
D. $4;$
$\tg^2x-(1+\sqrt{3})\tg x+\sqrt{3}< 0$ тэнцэтгэл бишийг бод.
A. $\dfrac{\pi}{6}+\pi k< x<\dfrac{\pi}{4}+\pi k$
B. $\dfrac{\pi}{4}+\pi k< x< \dfrac{\pi}{3}+\pi k$
C. $-\dfrac{\pi}{3}+\pi k< x< \dfrac{\pi}{6}+\pi k$
D. $-\dfrac{3\pi}{4}+\pi k< x< \dfrac{\pi}{4}+\pi k$
E. $\dfrac{\pi}{8}+\pi k< x< \dfrac{\pi}{6}+\pi k$
$\sqrt3\tg^2x-4\tg x+\sqrt{3}< 0$ тэнцэтгэл бишийг бод.
A. $\dfrac{\pi}{6}+\pi k< x<\dfrac{\pi}{4}+\pi k$
B. $\dfrac{\pi}{4}+\pi k< x< \dfrac{\pi}{3}+\pi k$
C. $-\dfrac{\pi}{3}+\pi k< x< \dfrac{\pi}{6}+\pi k$
D. $-\dfrac{3\pi}{4}+\pi k< x< \dfrac{\pi}{4}+\pi k$
E. $\dfrac{\pi}{6}+\pi k< x< \dfrac{\pi}{3}+\pi k$
$\sqrt3\ctg^2x-4\ctg x+\sqrt{3}< 0$ тэнцэтгэл бишийг бод.
A. $\dfrac{\pi}{12}+\pi k< x<\dfrac{\pi}{8}+\pi k$
B. $\dfrac{\pi}{6}+\pi k< x< \dfrac{\pi}{3}+\pi k$
C. $-\dfrac{\pi}{3}+\pi k< x< \dfrac{\pi}{6}+\pi k$
D. $-\dfrac{3\pi}{4}+\pi k< x< \dfrac{\pi}{4}+\pi k$
E. $\dfrac{\pi}{4}+\pi k< x< \dfrac{\pi}{3}+\pi k$
$y=\sqrt{2\sqrt{3}+3\tg x+\ctg x}$ функцийн тодорхойлогдох мужийг
$[0^{\circ};180^{\circ}[$ интервалтай огтолцуулбал $x\in
\left]\fbox{a}^{\circ};\fbox{bc}^{\circ}\right[\cup\left\{\fbox{def}^{\circ}\right\}$
байна.
$y=\sqrt{2\sqrt{3}-\tg x-3\ctg x}$ функцийн тодорхойлогдох мужийг
$[0^{\circ};180^{\circ}[$ интервалтай огтолцуулбал $x\in
\left\{\fbox{ab}^{\circ}\right\}\bigcup\left]\fbox{cd}^{\circ};\fbox{efg}^{\circ}\right[$
байна.
$y=1+a\tg^2(\pi x)$ функц өгөгдөв.
1) $a=\fbox{a}$ үед хялбарчилбал $\dfrac{1}{\cos^2(\pi x)}$ болно.
2) Хэрэв $a=-1$ бол $y=0$ тэгшитгэлийн хамгийн бага эерэг хоёр шийдийн үржвэр $\dfrac{\fbox{d}}{\fbox{bc}}$-тэй тэнцүү.
1) $a=\fbox{a}$ үед хялбарчилбал $\dfrac{1}{\cos^2(\pi x)}$ болно.
2) Хэрэв $a=-1$ бол $y=0$ тэгшитгэлийн хамгийн бага эерэг хоёр шийдийн үржвэр $\dfrac{\fbox{d}}{\fbox{bc}}$-тэй тэнцүү.
Тригонометрийн давхар функц агуулсан тэгшитгэлүүд
$\tg\left(\dfrac{3\pi}2+\dfrac{\pi\sqrt2}4\sin x\right)=1$ тэгшитгэлийг бод.
$\ctg\left(-\dfrac{3\pi}2+\dfrac{\pi\sqrt3}9\cos x\right)=-\dfrac1{\sqrt3}$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin\left(\dfrac{3\pi}2\cos x\right)=-\dfrac12$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin\left(\dfrac{4\pi}3\sin x\right)=\dfrac12$ тэгшитгэлийг бод.
$\tg(4\sin x)=\sqrt3, \dfrac\pi2< x< \dfrac{3\pi}2$ тэгшитгэлийг бод.
$\cos\left(\dfrac1{\sin x}\right)=\dfrac12$ тэгшитгэлийг бод.
Тригонометрийн урвуу функц агуулсан тэгшитгэлүүд
$2(\arcsin x)^2+\pi^2=2\pi\arcsin x$ тэгшитгэлийг бод.
$4\arcctg\dfrac{3x-1}{x+3}=\pi$ тэгшитгэлийг бод.
$9(\arccos2x)^2-3\pi\arccos2x-2\pi^2=0$ тэгшитгэлийг бод.
$2\arcsin2x=\arccos7x$ тэгшитгэлийг бод.
$\cos\big(\frac{\pi}{4}-\arcsin\big(\frac12\big)\big)$ илэрхийллийн утгыг ол.
A. $\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{8}$
B. $\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$
C. $\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{2}$
D. $\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{8}$
E. $0$
$\arccos(\cos230^\circ)$-ыг градусаар илэрхийл.
A. $100^\circ$
B. $110^\circ$
C. $130^\circ$
D. $160^\circ$
E. $230^\circ$
$\sin\Big(\arccos\dfrac25\Big)=?$
A. $\dfrac25$
B. $\dfrac35$
C. $\dfrac{\sqrt{3}}{5}$
D. $\dfrac{\sqrt{21}}{5}$
E. $-\dfrac{3\sqrt{2}}{5}$
$\cos\Big(\arcsin\dfrac{\sqrt3}{2}\Big)=?$
A. $\dfrac12$
B. $-\dfrac12$
C. $\dfrac32$
D. $\dfrac{\sqrt3}2$
E. $-\dfrac{\sqrt3}2$
$\arctg\dfrac13+\arctg\dfrac12=?$
A. $\dfrac{\pi}{3}$
B. $\dfrac{\pi}{4}$
C. $\dfrac{\pi}{6}$
D. $\dfrac{\pi}{2}$
E. $\dfrac{3\pi}{4}$
$x=\sqrt{\fbox{a}}$ нь $\arccos\dfrac x2=2\arctg (x-1)$ тэгшитгэлийн шийд болно.
$\arccos x-\pi=\arcsin\dfrac{4x}{3}$ тэгшитгэл
$x=-\dfrac{\fbox{b}}{\fbox{a}}$ шийдтэй.
$\arctg 2x+\arctg 3x=\dfrac{3\pi}{4}$ тэгшитгэл $x=\fbox{a}$
шийдтэй.
$2\arccos \left(-\dfrac x2\right) =\arccos(x+3)$ тэгшитгэл
$x=\fbox{ab}$ шийдтэй.
Тригонометрийн хялбар тэгшитгэл
$\sin(35^{\circ}+x)=\dfrac{\sqrt2}{2}$ тэгшитгэлийн $-80^{\circ}< x< 0^\circ$ байх шийдийг ол.
$\sqrt3\tg\Big(3x+\dfrac{\pi}{6}\Big)-3=0$ тэгшитгэлийн хамгийн бага эерэг шийдийг градусаар илэрхийл.
$\tg2x-\sin^27x=\cos^27x$ тэгшитгэл бод.
$\sin^22x=\dfrac34$, $0^{\circ}< x<45^\circ$ тэгшитгэлийг бод.
$1-4\sin^2\Big(5x-\dfrac{\pi}{3}\Big)=0$ тэгшитгэл бод.
$2\cos^2\Big(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac32x\Big)-1=0$ тэгшитгэл бод.
$3\tg^2(\pi x-\dfrac{\pi}{8})=1, \quad
\dfrac32< x< 3$ тэгшитгэл бод.
$0^{\circ}\leq \theta< 360^{\circ}$ байх шийдүүд ба ерөнхий шийдийг ол.
- $\sin\theta=\dfrac 12$
- $\cos\theta=-\dfrac{\sqrt{3}}2$
- $\tg\theta=-\sqrt{3}$
$0^{\circ}\leq \theta< 360^{\circ}$ үед дараах тэгшитгэлийг бод.
- $\sqrt{2}\sin \theta=-1$
- $2\cos\theta=\sqrt{3}$
- $\sqrt{3}\tg \theta=1$
- $\sin \theta=1$
- $\cos \theta=0$
- $\tg \theta=0.$
$0^{\circ}\leq \theta< 360^{\circ}$ бол дараах тэнцэтгэл бишийг бод.
- $2\sin\theta>1$
- $2\cos \theta\geq -\sqrt{3}$
- $\tg \theta\leq -\sqrt{3}$
$\sqrt3\tg\Big(3x+\dfrac{\pi}{4}\Big)=1$ тэгшитгэл бод.
A. $x=\dfrac{\pi}{36}+\dfrac{\pi n}{3}$
B. $x=\dfrac{\pi}{24}+\dfrac{\pi n}{3}$
C. $x=-\dfrac{\pi}{36}+\pi k$
D. $x=-\dfrac{\pi}{24}+\dfrac{\pi n}{3}$
E. $x=-\dfrac{\pi}{36}+\dfrac{\pi n}{3}$
$\sin^22x=\dfrac12$ тэгшитгэл бод.
A. $x=(-1)^k\cdot\dfrac{\pi}8+\dfrac{\pi k}{2},k\in\mathbb Z$
B. $x=(-1)^{k+1}\cdot\dfrac{\pi}8+\dfrac{\pi k}{2},k\in\mathbb Z$
C. $x=\dfrac{\pi}8+\dfrac{\pi k}{2},k\in\mathbb Z$
D. $x=\dfrac{\pi}8+\dfrac{\pi k}{4},k\in\mathbb Z$
E. $x=\dfrac{3\pi}8+\dfrac{\pi k}{2},k\in\mathbb Z$
$\sin^22x=\dfrac34$ тэгшитгэлийн $0^{\circ}\le x$ байх хамгийн бага шийдийг ол.
A. $15^\circ$
B. $30^\circ$
C. $60^\circ$
D. $120^\circ$
E. $150^\circ$
$0^\circ\le \theta< 360^\circ$ үед $\sqrt2\sin\theta=-1$ тэгшитгэлийг бод.
A. $\theta=30^\circ, 330^\circ$
B. $\theta=225^\circ, 315^\circ$
C. $\theta=0^\circ$
D. $\theta=\pm90^\circ$
E. $\theta=45^\circ, 135^\circ$
$\sin5x=\cos35^\circ$ байх бүх $x$ хурц өнцгүүдийн нийлбэрийг ол.
A. $36^\circ$
B. $94^\circ$
C. $108^\circ$
D. $119^\circ$
E. $180^\circ$
$y=\dfrac{\tg x+\ctg x}{1-\cos 2x}$ функцийн тодорхойлогдох мужийг ол.
A. $x\ne \dfrac{\pi k}{8}$
B. $x\ne\dfrac{\pi k}{2}$
C. $x\ne \pi k$
D. $x\ne \dfrac{\pi k}{3}$
E. $x\ne \dfrac{\pi k}{4}$
$\cos x=\dfrac{\sqrt3}{2}$ тэгшитгэл бод.
A. $\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi k$
B. $(-1)^k\dfrac{\pi}{6}+\pi k$
C. $\dfrac{\pi}{3}+\pi k$
D. $(-1)^{k-1}\dfrac{\pi}{3}+\pi k$
E. $\pm\dfrac{\pi}{6}+2\pi k$
$\tg(x-2\pi)=\sqrt{3}$ тэгшитгэл бод.
A. $x=2\pi-\dfrac{\pi}{3}+\pi k$
B. $x=\dfrac{\pi}{3}+\pi k$
C. $x=\dfrac{\pi}{6}+\pi k$
D. $x=2\pi+\dfrac{\pi}{6}+2\pi k$
E. $x=-\dfrac{\pi}{3}+\pi k$
$\cos\alpha=\dfrac14$ бол $\big(\sin\alpha;\sin\big(\alpha-\frac{\pi}{4}\big)\big)$ завсрыг ол.
A. $\bigg(\dfrac{\sqrt{15}}{4};\dfrac{\sqrt2(\sqrt{15}-1)}{8}\bigg)$
B. $\bigg(\dfrac{\sqrt{15}}{2};\dfrac{\sqrt{3}-1}{4}\bigg)$
C. $\bigg(\dfrac{\sqrt{15}}{8};\dfrac{\sqrt2(\sqrt{15}+1)}{4}\bigg)$
D. $\bigg(\dfrac{\sqrt{15}}{16};\dfrac{\sqrt3(\sqrt{6}-1)}{4}\bigg)$
E. $1$
$2\sin(\pi x)=\sqrt{3}$ тэгшитгэлийг бод.
A. $x=\pm\dfrac13+k$
B. $x=(-1)^k\cdot\dfrac16+k$
C. $x=(-1)^k\cdot\dfrac13+k$
D. $x=\pm\dfrac16+k$
E. $x=\pm\dfrac12+k$
Косинус нь $-1$-тэй тэнцүү өнцгүүд аль нь вэ?
A. $-\pi+\pi k$
B. $\pi(2k+1)$
C. $2\pi k$
D. $\dfrac{\pi}{2}+\pi k$
E. $\dfrac{\pi}{2}+\pi k$
$2\cos^2x-\sin x=1$ тэгшитгэлийн хамгийн бага эерэг шийд аль нь вэ?
A. $\dfrac{\pi}{4}$
B. $\dfrac{\pi}{6}$
C. $\dfrac{\pi}{2}$
D. $\dfrac{\pi}{3}$
E. $\dfrac{3\pi}{2}$
$\cos\Big(x-\dfrac{\pi}{3}\Big)=\dfrac{\sqrt3}{2}$ тэгшитгэлийн шийд болох тоо аль нь вэ?
A. $\dfrac{\pi}{6}$
B. $\dfrac{\pi}{3}$
C. $\dfrac{7\pi}{6}$
D. $-\dfrac{\pi}{6}$
E. $\pi$
$\cos x=-\dfrac{\sqrt3}{2}$ тэгшитгэл бод.
A. $\pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k$
B. $(-1)^k\dfrac{5\pi}{6}+\pi k$
C. $\dfrac{2\pi}{3}+\pi k$
D. $(-1)^{k-1}\dfrac{2\pi}{3}+\pi k$
E. $\pm\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k$
$\sin^2(90^\circ+x)+3\sin^2(180^\circ+x)=2$ тэгшитгэлийн $90^\circ\le x\le 180^\circ$ завсарт байх бүх шийдийг ол.
A. $90^\circ$
B. $45^\circ$
C. $180^\circ$
D. $135^\circ$
E. $120^\circ$
$\cos^2(90^\circ+x)+3\cos^2(180^\circ+x)=2$ тэгшитгэлийн $90^\circ\le x\le 180^\circ$ завсарт байх бүх шийдийг ол.
A. $90^\circ$
B. $225^\circ$
C. $150^\circ$
D. $180^\circ$
E. $135^\circ$
$\sin^22x=\dfrac12$ тэгшитгэл бод.
A. $x=(-1)^k\cdot\dfrac{\pi}8+\dfrac{\pi k}{2},k\in\mathbb Z$
B. $x=(-1)^{k+1}\cdot\dfrac{\pi}8+\dfrac{\pi k}{2},k\in\mathbb Z$
C. $x=\dfrac{\pi}8+\dfrac{\pi k}{2},k\in\mathbb Z$
D. $x=\dfrac{\pi}8+\dfrac{\pi k}{4},k\in\mathbb Z$
E. $x=\dfrac{3\pi}8+\dfrac{\pi k}{2},k\in\mathbb Z$
$\cos x=\dfrac{\sqrt3}{2}$ тэгшитгэлийн $180^\circ\le x\le 360^\circ$ байх шийд аль нь вэ?
A. $300^\circ$
B. $210^\circ$
C. $270^\circ$
D. $390^\circ$
E. $330^\circ$
$\sin x=-\dfrac{\sqrt3}{2}$ тэгшитгэлийн $90^\circ\le x\le 270^\circ$ байх шийд аль нь вэ?
A. $240^\circ$
B. $120^\circ$
C. $270^\circ$
D. $180^\circ$
E. $210^\circ$
$ x^2 +2ax+a+2>0 $ тэнцэтгэл биш бүх бодит тоо $ x$ -ийн хувьд үнэн байх тооны утгын мужийг олоорой.
A. $ -2<a<1 $
B. $ a<-2$, $a>1 $
C. $ a<-1$, $ a>2$
D. $ -1<a<2 $
E. $ a>-2$
$3\sin2x - 7\cos^2 x = 1$ тэгшитгэл $[-\pi,\pi]$ завсарт хэдэн шийдтэй вэ?
A. $ 4$
B. $ 2$
C. $ 6$
D. $ 1$
E. $ 0$
$4\sin2x - 14\cos^2 x = 1$ тэгшитгэл $[-\pi,\pi]$ завсарт хэдэн шийдтэй вэ?
A. $ 1$
B. $ 2$
C. $ 6$
D. $ 4$
E. $ 0$
$4\sin2x - 14\cos^2 x = 1$ тэгшитгэл $[-\pi,\pi]$ завсарт хэдэн шийдтэй вэ?
A. $ 1$
B. $ 2$
C. $ 6$
D. $ 4$
E. $ 0$
$f(x)=2\cos^3x-6\sin^2x\cos x+3$ функцийг хялбарчилбал $f(x)=2\cos(\fbox{a}x)+3$ болох тул $f\big(\frac\pi9\big)=\fbox{b}$, $f(x)$-ийн үндсэн үе $T_0=\dfrac{\fbox{c}\pi}{\fbox{d}}$, $f(x)=4$ тэгшитгэлийн хамгийн бага эерэг шийд нь $x=\dfrac{\pi}{\fbox{e}}$ байна.
$f(x)=(\sqrt3\sin x+3\cos x)^2$ байг.
- $f(x)=\fbox{a}\sin(2x+\fbox{bc}^\circ)+\fbox{d}$ болно.
- $f(x)=1$ тэгшитгэлийн $0^\circ\le x<360^\circ$ байх шийдийн тоо $\fbox{e}$ ширхэг байна. Эдгээр шийдээс хамгийн их, багыг нь харгалзан $\alpha$, $\beta$ гэвэл $\alpha+\beta=\fbox{fgh}^\circ$ байна.
Туслах өнцөг оруулах арга
$5\sin x-12\cos x+13\sin 3x=0$ тэгшитгэл бод.
$4\cos x+4\sin x$ илэрхийллийн хамгийн их утгыг ол.
A. $4\sqrt2$
B. $8\sqrt2$
C. $4$
D. $8$
E. $\sqrt2$
$\cos x+\sqrt3\sin x= 2$ тэгшитгэлийг бод.
A. $\dfrac{\pi}{3}+\pi k$
B. $\dfrac{\pi}{4}+\pi k \cup -\dfrac{\pi}{4}+\pi k$
C. $\dfrac{\pi}{4}+2\pi k$
D. $\dfrac{\pi}{4}+\pi k$
E. $-\dfrac{\pi}{3}+\pi k$
$\sin x+\cos x=1$ тэгшитгэлийн $0\le x<2\pi$ нөхцөл хангах шийдүүдийн нийлбэрийг ол.
A. $\dfrac{\pi}{2}$
B. $\dfrac{3\pi}{4}$
C. $\pi$
D. $\dfrac{7\pi}{4}$
E. $2\pi$
$y(x)=|\cos x-a|+\sin x$ функцийн хувьд
1) $a=1$ бол $\left\{ % \begin{array}{l} y(x)=0 \\ \sin x\ne 0 \\ \end{array} % \right.$ системийг бодвол $x=-\fbox{ab}^{\circ}+\fbox{cde}^{\circ}\cdot k (k\in \mathbb Z)$ болно.
2) $a=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ бол дээрх системийн эерэг хамгийн бага 2 шийдийн нийлбэр $\fbox{fgh}^{\circ}$-тэй тэнцүү.
1) $a=1$ бол $\left\{ % \begin{array}{l} y(x)=0 \\ \sin x\ne 0 \\ \end{array} % \right.$ системийг бодвол $x=-\fbox{ab}^{\circ}+\fbox{cde}^{\circ}\cdot k (k\in \mathbb Z)$ болно.
2) $a=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ бол дээрх системийн эерэг хамгийн бага 2 шийдийн нийлбэр $\fbox{fgh}^{\circ}$-тэй тэнцүү.
$f(x)=\cos2\pi x-\sqrt3\sin2\pi x$ функц өгөгджээ.
- $f(x)=\fbox{a}\cos\left(2\pi x+\dfrac{\pi}{\fbox{b}}\right)$ хэлбэрт оруулсан.
- Үндсэн үе нь $\fbox{c}$ байна.
- $f(x)\ge 1$ тэнцэтгэл бишийн шийд $\left[-\dfrac{\fbox{d}}{\fbox{e}}+n;n\right]$ байна. Энд $\forall n\in\mathbb Z$ байна. ($\fbox{e}<6$)
$f(x)=\sqrt3\sin2\pi x+\cos2\pi x$ функц өгөгджээ.
- $f(x)=\fbox{a}\sin\left(2\pi x+\dfrac{\pi}{\fbox{b}}\right)$ хэлбэрт оруулсан.
- Үндсэн үе нь $\fbox{c}$ байна.
- $f(x)\ge 1$ тэнцэтгэл бишийн шийд $\left[\fbox{d}+n;\dfrac{1}{\fbox{e}}+n\right]$ байна. Энд $\forall n\in\mathbb Z$ байна.
- $f(x)$ функцийн $x_0=1$ абсцисстай $M$ цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэл $$y-\fbox{f}=2\sqrt{\fbox{g}}\pi(x-1)$$
Үржвэрийг нийлбэрт хувиргах томьёо ашиглан бодох тэгшитгэл
$\cos6x\cdot\cos7x=\cos8x\cdot\cos9x$ тэгшитгэлийг бодоорой.
Бодолт. Үржвэр тус бүрийг нийлбэрт шилжүүлвэл:
$\dfrac{1}{\fbox{a}}(\cos\fbox{bc}+\cos x)=\dfrac{1}{\fbox{a}}(\cos\fbox{de}x+\cos x)$ буюу $\cos\fbox{bc}x-\cos\fbox{de}x=0$ болно. Энэ ялгаврыг үржвэрт шилжүүлвэл $2\cdot\sin\fbox{fg}x\cdot\sin\fbox{h}x=0$ тул $$\left[\begin{array}{c}\sin\fbox{fg}x=0\\ \sin\fbox{h}x=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{c}x=\dfrac{k\pi}{\fbox{fg}}\\ x=\dfrac{n\pi}{\fbox{h}}\end{array}\right. (k,n\in\mathbb Z)$$
Бодолт. Үржвэр тус бүрийг нийлбэрт шилжүүлвэл:
$\dfrac{1}{\fbox{a}}(\cos\fbox{bc}+\cos x)=\dfrac{1}{\fbox{a}}(\cos\fbox{de}x+\cos x)$ буюу $\cos\fbox{bc}x-\cos\fbox{de}x=0$ болно. Энэ ялгаврыг үржвэрт шилжүүлвэл $2\cdot\sin\fbox{fg}x\cdot\sin\fbox{h}x=0$ тул $$\left[\begin{array}{c}\sin\fbox{fg}x=0\\ \sin\fbox{h}x=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{c}x=\dfrac{k\pi}{\fbox{fg}}\\ x=\dfrac{n\pi}{\fbox{h}}\end{array}\right. (k,n\in\mathbb Z)$$
Үржигдэхүүнд задалж бодох бодлогууд
$\sin2x\sin x-0,5\sin x-\sin 2x=-\dfrac12$ тэгшитгэлийг бод.
$\tg 5x=\sin^2x\tg5x$ тэгшитгэлийг бод.
$\cos\left(\dfrac{2\pi}3-\dfrac x2\right)=5\sin\left(\dfrac x2-\dfrac\pi3\right)$ тэгшитгэлийг бод.
$\left(1-2\cos^2\Big(\dfrac{7\pi}2+x\Big)\right)\cos3x=\cos\left(\dfrac{5\pi}2-x\right)\cos4x+\sin x\cos2x, 0\le x\le\dfrac\pi2$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin^3x-\sin^2x=\sin^2x\cos^2x$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin2x\cos2x-\sin x\cos x=0$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin x+\cos x=\dfrac1{\sin x}$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin x\cos3x-1=\sin x-\cos3x$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin x=2\sin^3x-\cos2x$ тэгшитгэлийг бод.
$2\cos x+\cos2x+1=2\left(\cos^2\dfrac x2+\cos^2\dfrac{3x}2\right)$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin 4x=2\cos^2 x-1$ тэгшитгэлийг бод.
$2\cos x+\sin x=1+\sin 2x$ тэгшитгэлийг бод.
$2\cos^2x-\sin2x+4\sin^2x=2$ тэгшитгэлийг бод.
$6\sin^2(\pi-x)+\dfrac{\sqrt3}2\sin2x+7\cos^2(\pi-x)=6$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin(2x+120^\circ)=\cos(x+15^\circ)-1, 0^\circ< x< 75^\circ$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin4x+\cos^2x=\sin^2x, |x|< 2$ тэгшитгэлийг бод.
$6-10\cos^2x+4\cos2x=\sin2x$ тэгшитгэлийг бод.
$\cos^22x=1+\sin2x\sin4x, -\dfrac{3\pi}2\le x\le \dfrac\pi2$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin\left(\dfrac\pi3+x\right)=\dfrac{\sin\Big(\dfrac{7\pi}3+x\Big)}{\cos\Big(\dfrac\pi3\Big)\cos x}, -\pi< x< 2\pi$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin^3x\cos3x+\cos^3x\sin3x=\sin^3x\sin3x+\cos^3x\cos3x$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin2x+2\sin x=1+\cos x$ тэгшитгэлийн $[-4,-3]$ муж дахь шийдийн тоог ол.
$\cos x\cos\dfrac x2\cos\dfrac{3x}2-\sin x\sin\dfrac x2\dfrac{3x}2=0,5; 0^\circ< x< 40^\circ$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin x93\sin2x\sin^3x=12\sin2x\sin x-16\cos x)+2\sin4x=0$ тэгшитгэлийг бод.
$3\cos4x+2\cos2x(10\cos^4x+3\cos^2x+\sin^2x)+3=0$ тэгшитгэлийг бод.
$2\sin^5x-\sin^3x+3\cos2x=0$ тэгшитгэлийг бод.
$(\cos x-1)(\sin x-\dfrac12\cos2x-1)=\sin^2x$ тэгшитгэлийг бод.
$(2\sin x-1)\left(\cos x+2\sin2x+\dfrac12\right)=3-4\cos^2x$ тэгшитгэлийг бод.
$\dfrac{\sin2x-\dfrac45\cos x+1}{\sin\Big(\dfrac x2\Big)}=5\cos\dfrac x2, \dfrac{5\pi}6\le x\le2\pi$ тэгшитгэлийг бод.
$\ctg x-\tg x=\dfrac{\cos x-\sin x}{\dfrac12\sin2x}$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin6x+2\cos4x=2$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin x+\sin^2x+\sin^3x=\cos x+\cos^2x+\cos^3x$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin^2x+\sqrt6\cos x=3\cos^2x+\sqrt2\sin x$ тэгшитгэлийг бод.
$4(\sin^2x\sin2x-\sqrt3\sin^3x)+\dfrac32\cos2x\sin4x=3\sqrt3\sin x\cos^22x$ тэгшитгэлийг бод.
$\cos^2\left(\dfrac\pi4+5x\right)=\sin^2x\cos9x+\cos^2\left(\dfrac\pi4+4x\right)$ тэгшитгэлийн $\big[0,\dfrac\pi2\big]$ муж дахь шийдийн тоог ол.
$0,5(\sin 3x-\sin x)=\sin2x\cos x-4\sin^3x, -\dfrac\pi3\le x\le \dfrac{3\pi}2$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin14x-\sin12x+8\sin x-\cos13x=4$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin\dfrac{3x}2+2\cos x=2$ тэгшитгэлийг бод.
$2(\sin6x-\sin4x\sin2x)=\cos6x+\cos2x$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin2x+\sin4x=\sin x+2\cos x\sin4x$ тэгшитгэлийг бод.
$0^{\circ}\leq \theta< 360^{\circ}$ бол дараах тэгшитгэлийг бод.
- $\cos2\theta+3\sin \theta+1=0$
- $\sin 2\theta=\sin\theta$
- $\sin 3\theta+\sin 2\theta=0$
Дараах тэгшитгэлүүдийг бод.
- $\sin 2\theta+\cos\theta=0$, $0^{\circ}\leq \theta\leq 360^{\circ};$
- $\sin 2\theta=\sin\theta$, $0^{\circ}\leq \theta\leq 360^{\circ};$
- $\cos^24\theta=\cos^2\theta$, $0^{\circ}\leq \theta\leq 360^{\circ};$
- $\sin 2x+\sin x+2\cos x+1=0$, $0^{\circ}\leq x\leq 180^{\circ}.$
$\cos\theta+\cos 2\theta+\cos 3\theta=0$, $0^{\circ}\leq
\theta< 360^{\circ}.$
$\sin^2x+\sin^22x=1$ тэгшитгэлийг бод.
A. шийдгүй
B. $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n$
C. $x=\dfrac\pi6+\pi n$
D. $x=\dfrac{\pi n}3$
E. $x=\dfrac\pi6+\dfrac{\pi n}3$
$0< x< \pi, x\ne\dfrac{\pi}{2}$ бол $2\sin x-2\cos x+\tg x-1=0$ тэгшитгэл бод.
A. шийдгүй
B. $x=\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{2\pi}{3}$
C. $x=\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{2\pi}{3}$
D. $x=\dfrac{\pi}{4}$
E. $x=\dfrac{\pi}{6},\dfrac{2\pi}{3}$
$\sin2x-\sin x-4\cos x-2=0$ тэгшитгэлийг бод.
A. $x=\dfrac{\pi}{3}+\pi k$
B. $x=2\pi k$
C. $x=\pi k$, $x=\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi k$
D. $x=\pm\dfrac{\pi}{4}+2\pi k$
E. $x=\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi k$
$0,5\sin x\cos x-\cos^2x+0,5\sin x-\cos x=\sin^2x$ тэгшитгэл $[-3\pi,\pi]$ завсарт хэдэн шийдтэй вэ?
A. $3;$
B. $2;$
C. $1;$
D. $4;$
$4\cos^3x-4\cos^2x-\cos(\pi+x)=1$ тэгшитгэл $[-5\pi,-\pi]$ завсарт хэдэн шийдтэй вэ?
A. $3;$
B. $2;$
C. $1;$
D. $4;$
$\sin(5x-\pi)+\sin 2x\cdot \cos 3x=0$ тэгшитгэлийг бод.
A. $\dfrac{\pi k}{5}, \dfrac{\pi}{4}+\pi n$
B. $\pi k, \dfrac{\pi}{4}+\pi n$
C. $3\pi k, \dfrac{\pi}{2}+\pi n$
D. $\dfrac{\pi}{3}k, \dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{2}\cdot n$
E. $\dfrac{\pi}{6}k, \dfrac{\pi}{8}+\dfrac{\pi}{4}\cdot n$
$\sin 6x+\cos 6x=1-2\sin 3x$ тэгшитгэлийн $\left[\dfrac{\pi}{6};\dfrac{\pi}{2}\right]$ завсар дахь шийдүүдийн нийлбэрийг ол.
A. $\frac{3\pi}{2};$
B. $\frac{\pi}{2};$
C. $\frac{2\pi}{3};$
D. $\pi;$
$\sin^22x=\sin 3x+\sin x$ тэгшитгэлийн хамгийн бага эерэг шийд, хамгийн их сөрөг шийдийн үржвэрийг ол.
A. $-\dfrac{\pi^2}{6}$
B. $-\dfrac{2\pi^2}{3}$
C. $-\dfrac{\pi^2}{4}$
D. $-\dfrac{3\pi^2}{4}$
E. $-\dfrac{3\pi^2}{8}$
$\cos x\sin 3x-\cos 5x\sin 7x=\dfrac 12\sin 4x$ тэгшитгэлийн $\left]\dfrac{\pi}{18};\dfrac{\pi}{3}\right[$ завсар дахь шийдүүдийн нийлбэрийг ол.
A. $\frac{2\pi}{3};$
B. $\frac{\pi}{2};$
C. $\pi;$
D. $\frac{3\pi}{4};$
$\sin^2x=\dfrac{\sqrt3}2\sin2x$ тэгшитгэлийн $[0;\pi]$ завсар дахь шийдүүдийн нийлбэрийг ол.
A. $\dfrac{4\pi}{3}$
B. $\dfrac{3\pi}{4}$
C. $\dfrac{6\pi}{7}$
D. $\dfrac{4\pi}{5}$
E. $\dfrac{5\pi}{7}$
$\sin2x\cdot\sin6x=\cos x\cdot\cos3x$ тэгшитгэл $[0;\pi]$ хэрчим дээр хэдэн шийдтэй вэ?
A. 11
B. 6
C. 12
D. 7
E. 8
$\cos 7x+\cos 3x+2\sin^2x=1$ тэгшитгэлийн хамгийн их сөрөг шийд аль нь вэ?
A. $-\dfrac{\pi}{4}$
B. $-\dfrac{\pi}{8}$
C. $-\dfrac{\pi}{12}$
D. $-\dfrac{\pi}{15}$
E. $-\dfrac{\pi}{30}$
$\sin x-1=\dfrac12\sin 2x-\cos x$ тэгшитгэлийн $0< x<\pi$ завсарт орших шийд нь аль вэ?
A. $\dfrac{\pi}{6}$
B. $\dfrac{\pi}{4}$
C. $\dfrac{\pi}{3}$
D. $\dfrac{\pi}{2}$
E. $\dfrac{2\pi}{3}$
$\cos^2x=\dfrac12\sin2x$ тэгшитгэлийн $0^\circ\le x\le 90^\circ$ завсарт байх бүх шийдийн нийлбэрийг ол.
A. $45^\circ$
B. $60^\circ$
C. $90^\circ$
D. $135^\circ$
E. $150^\circ$
$\cos^2x=\dfrac{\sqrt3}2\sin2x$ тэгшитгэлийн $0^\circ\le x\le 90^\circ$ завсарт байх бүх шийдийн нийлбэрийг ол.
A. $60^\circ$
B. $90^\circ$
C. $120^\circ$
D. $135^\circ$
E. $180^\circ$
$\cos 2x-\cos 8x+\cos 6x=1$ бодвол $
x_1=\dfrac{\pi}{\fbox{a}}(\fbox{b}n+1),
x_2=\dfrac{\pi n}{\fbox{c}}$ болно.
$f(x)=2(1-\cos^3 x)-(1-\cos x)^2-(1+\cos x+\cos^2x)^2$ гэж өгөгдсөн бол
1) $f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)-f(0)=\fbox{ab}$ болно.
2) $f(x)=0$ тэгшитгэл нь $x=\dfrac{\pi}{\fbox{c}}+\pi k, (k\in \mathbb Z)$ хэлбэрийн шийдтэй байна.
3) Эдгээрээс $[-\pi;\pi]$ завсарт $\fbox{d}$ ширхэг нь орших ба үржвэр нь $\dfrac{\fbox{ef}\pi^{\fbox{g}}}{\fbox{h}}$ байна.
1) $f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)-f(0)=\fbox{ab}$ болно.
2) $f(x)=0$ тэгшитгэл нь $x=\dfrac{\pi}{\fbox{c}}+\pi k, (k\in \mathbb Z)$ хэлбэрийн шийдтэй байна.
3) Эдгээрээс $[-\pi;\pi]$ завсарт $\fbox{d}$ ширхэг нь орших ба үржвэр нь $\dfrac{\fbox{ef}\pi^{\fbox{g}}}{\fbox{h}}$ байна.
$f(x)=(1-\sin x+\sin^2x)^2+(1+\sin x)^2-2(1+\sin^3 x)$ гэж өгөгдсөн бол
1) $f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)-f(0)=\fbox{a}$ болно.
2) $f(x)=0$ тэгшитгэл нь $x=\fbox{b}\pi k, (k\in \mathbb Z)$ хэлбэрийн шийдтэй байна.
3) Эдгээрээс $\left[-\dfrac{7\pi}{2};\dfrac{7\pi}{2}\right]$ завсарт $\fbox{c}$ шийдтэй байх ба тэдгээрийн нийлбэр нь $\fbox{d}$, үржвэр нь $\fbox{e}$, квадратуудын нийлбэр нь $\fbox{fg}\cdot \pi^{\fbox{h}}$ байна.
1) $f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)-f(0)=\fbox{a}$ болно.
2) $f(x)=0$ тэгшитгэл нь $x=\fbox{b}\pi k, (k\in \mathbb Z)$ хэлбэрийн шийдтэй байна.
3) Эдгээрээс $\left[-\dfrac{7\pi}{2};\dfrac{7\pi}{2}\right]$ завсарт $\fbox{c}$ шийдтэй байх ба тэдгээрийн нийлбэр нь $\fbox{d}$, үржвэр нь $\fbox{e}$, квадратуудын нийлбэр нь $\fbox{fg}\cdot \pi^{\fbox{h}}$ байна.