Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

Тригонометр тэгшитгэл, тэнцэтгэл биш

$\cos^3\alpha x\pm\sin^3\alpha x, \cos^6\alpha x\pm\sin^6\alpha x$, $\cos^8\alpha x-\sin^8\alpha x$ илэрхийлэл оролцсон тэгшитгэл
$\cos2x=(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)$, $\sin^2x=(1-\cos x)(1+\cos x)$, $\cos^2x=(1-\sin x)(1+\sin x)$ томъёог ашиглан бодох бодлогууд
$\ctg\alpha x\pm\tg\alpha x$, $\tg\alpha x\pm\tg\beta x$, $\ctg^2\alpha x-\tg^2\alpha x$ илэрхийлэл оролцсон тэгшитгэл
$\sin x$, $\cos x$-ийг үнэлж бодох бодлогууд
$\sin^4\alpha x\pm\cos^4\alpha x$ хэлбэрийн илэрхийлэл агуулсан тэгшитгэл
$\sin\alpha x\pm\sin\beta x=0$, $\sin\alpha x\pm\cos\beta x=0$, $\tg\alpha x\pm \tg\beta x=0$ xэлбэрийн тэгшитгэл
$1\pm\sin2x=(\sin x\pm\cos x)^2$ томъёог ашиглан бодох бодлогууд
Зэрэг бууруулж бодох тэгшитгэл
Квадрат тэгшитгэлд шилждэг тэгшитгэл
Нийлбэр, ялгавар өнцгийн синус, косинусын томьёо ашиглан бодох тэгшитгэл
Нийлбэрийг үржвэрт хувиргах томьёо ашиглан бодох тэгшитгэл
Нэгэн төрлийн тэгшитгэл
Орлуулга хийх
Радикалын тэмдэг агуулсан тэгшитгэл
Синус, косинусын квадрат агуулсан тэгшитгэлүүд
Тангес ба котангестай тэгшитгэлүүд
Тригонометрийн давхар функц агуулсан тэгшитгэлүүд
Тригонометрийн урвуу функц агуулсан тэгшитгэлүүд
Тригонометрийн хялбар тэгшитгэл
Туслах өнцөг оруулах арга
Үржвэрийг нийлбэрт хувиргах томьёо ашиглан бодох тэгшитгэл
Үржигдэхүүнд задалж бодох бодлогууд

$\cos^3\alpha x\pm\sin^3\alpha x, \cos^6\alpha x\pm\sin^6\alpha x$, $\cos^8\alpha x-\sin^8\alpha x$ илэрхийлэл оролцсон тэгшитгэл

$\sin^3x-\cos^3x=\sin^2x-\cos^2x, 0^\circ< x< 60^\circ$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin^3x-\cos^3x+\sin x-\cos x=0$ тэгшитгэлийг бод.
$\dfrac{\sin^3\Big(\dfrac x2\Big)-\cos^3\Big(\dfrac x2\Big)}{2+\sin x}=\dfrac13\cos x$ тэгшитгэлийг бод.
$\cos^6x-\sin^6x=2\cos^22x$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin^6x-\cos^6x=2(\sin^4x+\cos^4x)-1$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin^6x+\cos^6x=\cos2x$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin^6x+\cos^6x=\dfrac{13}{14}(\sin^4x+\cos^4x)$ тэгшитгэлийг бод.
$\cos^6x-\sin^6x=\dfrac{13}8\cos^22x, 270^\circ< x< 320^\circ$ тэгшитгэлийг бод.
$\cos^6x+\sin^6x=\dfrac{15}{8}\cos2x-\dfrac12, 180^\circ< x< 270^\circ$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin^8x-\cos^8x=\dfrac12\cos^22x-\dfrac12\cos2x, 270^\circ< x< 360^\circ$ тэгшитгэлийг бод.
$\cos^8x-\sin^8x=\cos^22x+\dfrac12\cos2x, 180^\circ< x< 270^\circ$ тэгшитгэлийг бод.
$\cos^3x+\sin^3x=\cos2x, -90^\circ< x< 90^\circ$ тэгшитгэлийг бод.

A. $-45^\circ; 0^\circ$     B. $-45^\circ; 45^\circ$     C. $0^\circ; 45^\circ$     D. $30^\circ; 60^\circ$     E. $-30^\circ; 30^\circ$    
$\sin^6 x+\cos^6x=a$ тэгшитгэл $a$-ийн ямар утганд шийдтэй байх вэ?

A. $\frac 14\leq a\leq 1;$     B. $a\leq \frac 14;$     C. $a\leq -\frac 14;$     D. $1\leq a;$    

$\cos2x=(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)$, $\sin^2x=(1-\cos x)(1+\cos x)$, $\cos^2x=(1-\sin x)(1+\sin x)$ томъёог ашиглан бодох бодлогууд

$\cos2x=\cos x-\sin x$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin x+\cos x=\cos2x$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin2x+\cos2x+\sin x+\cos x+1=0$ тэгшитгэлийн $90^\circ< x< 180^\circ$ муж дахь хамгийн их шийдийг ол.
$4\sin^2x\cos x-1=\cos x$ тэгшитгэлийн $0^\circ< x< 90^\circ$ муж дахь хамгийн бага шийдийг ол.

A. $15^\circ$     B. $30^\circ$     C. $45^\circ$     D. $60^\circ$     E. $75^\circ$    
$7\sin\dfrac{x}{2}=4\cos\dfrac{x}{2}\cos\dfrac{x}{4}$ тэгшитгэлийн $0< x<2\pi$ байх шийд нь $x$ бол $\sin\dfrac{x}{4}$ аль нь вэ?

A. $0$     B. $1$     C. $-1$     D. $-\dfrac{1}{4}$     E. $\dfrac{1}{4}$    

$\ctg\alpha x\pm\tg\alpha x$, $\tg\alpha x\pm\tg\beta x$, $\ctg^2\alpha x-\tg^2\alpha x$ илэрхийлэл оролцсон тэгшитгэл

$\tg x+\ctg x=\dfrac{4}{\sqrt3}$ тэгшитгэлийг бод.
$\dfrac{\sqrt3}3+2\sin2x=\tg x+\ctg x$ тэгшитгэлийг бод.
$\ctg x-\tg x+2\left(\dfrac1{\tg x+1}+\dfrac1{\tg x-1}\right)=4$ тэгшитгэлийг бод.
$\tg\left(\dfrac{2\pi}3-x\right)+\tg\left(\dfrac\pi3-x\right)=2\sin2x, 2< x< 3$ тэгшитгэлийг бод.
$\tg\left(\dfrac\pi3+x\right)+\tg\left(\dfrac\pi6-x\right)=\dfrac4{\sqrt3}$ тэгшитгэлийн $[0, \pi]$ муж дахь шийдийн тоог ол.
$\ctg^2x-\tg^2x=8\ctg^22x$ тэгшитгэлийг бод.
$\ctg^2x-\tg^2x=16\cos^32x$ тэгшитгэлийг бод.
$0^{\circ}\leq \theta< 360^{\circ}$ бол дараах тэнцэтгэл бишийг бод.
$0^{\circ}\leq \theta< 360^{\circ}$ бол $(2+\sqrt{3})\sin\theta+(1+\sqrt{3})\cos \theta\geq |\sin \theta|$ тэнцэтгэл бишийг бод.
$0^{\circ}\le\theta< 360^{\circ}$, $0^{\circ}< \alpha< \beta< 360^{\circ}$ бол дараах тэнцэтгэл бишийг хангах $\theta$-ийн утгын мужийг ол.
  1. $\cos \theta>\theta(\theta+120^{\circ})>\cos (\theta+90^{\circ}).$
  2. $\cos (\theta+\beta)>\cos (\theta+\alpha)>\cos \theta.$
$\ctg x-\tg x=1.5$ тэгшитгэлийг бод.

A. $x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi n}2$     B. $x=-\dfrac{\pi}{4}+\pi n$     C. $x=\arctg\dfrac34+\pi n$     D. $x=\dfrac12\arctg\dfrac43+\dfrac{\pi n}2$     E. $x=\dfrac12\arctg\dfrac34+\dfrac{\pi n}2$    

$\sin x$, $\cos x$-ийг үнэлж бодох бодлогууд

$\sin^4x+\cos^3x=1$ тэгшитгэлийг бод.
$\cos^{1977}\left(\dfrac\pi2-x\right)+\sin^{1995}7x=2$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin2x\sin6x=1$ тэгшитгэлийг бод.
$\cos\pi x+x^2-6x+10=0$ тэгшитгэлийг бод.
$\cos^2x+\sqrt{x-\dfrac\pi2}\sin x+\sqrt{x-\dfrac\pi2}=0$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin^2x+3x^2\cos x+3x^2=0$ тэгшитгэлийг бод.
$\cos x\cdot \cos 3x\cdot \cos 4x=1$ тэгшитгэлийн $\left]-\dfrac{5\pi}{2};-\dfrac{5\pi}{6}\right[$ завсар дахь шийдүүдийн үржвэрийг ол.

A. $3\pi^2$     B. $2\pi^2$     C. $4\pi^2$     D. $\dfrac{3\pi^2}{2}$     E. $-\dfrac{3\pi^2}{2}$    
$\cos 4x+\sin\dfrac{3x}{2}=2$ тэгшитгэлийн $\left]-\dfrac{7\pi}{6};\dfrac{19\pi}{6}\right[$ завсар дахь шийдүүдийн үржвэрийг ол.

A. $-3\pi^2;$     B. $-4\pi^2;$     C. $-2\pi^2;$     D. $-\pi^2;$    
$\sin x\sin 5x=1$ тэгшитгэлийн шийд аль нь вэ?

A. $\dfrac{\pi}{2}+2\pi k$     B. $\dfrac{\pi}{10}+\dfrac{\pi k}{5}$     C. $-\dfrac{\pi}{10}+\dfrac{\pi k}{5}$     D. $-\dfrac{\pi}{2}+2\pi k$     E. $\dfrac{\pi}{2}+\pi k$    
$\sin^{2017}x+\cos^{2017}x=1$ тэгшитгэлийг бод.

A. $\pi k$     B. $\dfrac{\pi k}{2}$     C. $\dfrac{\pi}{2}+2\pi k$     D. $\dfrac{\pi}{4}\pm\dfrac{\pi}{4}+2\pi k$     E. $\pm\dfrac{\pi}{4}+2\pi k$    
$1-\sin2x=\cos x-\sin x$ тэгшитгэлийг бод.

A. $x_1=-\dfrac\pi2+2\pi n$     B. $x_1=-\dfrac\pi2+2\pi n$, $x_2=2\pi n$     C. $x_1=-\dfrac\pi2+2\pi n$, $x_2=2\pi n$, $x_3=\dfrac\pi4+\pi n$     D. $x=2\pi n$     E. $\varnothing$    
$1-\sin2x=\cos x-\sin x$ тэгшитгэлийг $[0,2\pi]$ завсарт бодоход аль шийд гарах вэ?

A. $\dfrac{3\pi}{2}$     B. $0,\dfrac{3\pi}{2},2\pi$     C. $0,\dfrac{\pi}{4},\dfrac{5\pi}{4},\dfrac{3\pi}{2},2\pi$     D. $0, 2\pi$     E. $\varnothing$    
$4\sin^42x-5\cos^34x=9$ тэгшитгэлийн хамгийн бага эерэг шийд $x=\fbox{ab}^{\circ}$ байна.
$2\sin^33x+5=3\cos^46x$ тэгшитгэлийн хамгийн их сөрөг шийд $x=\fbox{abc}^{\circ}$ байна.

$\sin^4\alpha x\pm\cos^4\alpha x$ хэлбэрийн илэрхийлэл агуулсан тэгшитгэл

$\sin^4x-\cos^4x=\dfrac12, 0^\circ< x< 90^\circ$ тэгшитгэлийг бод.
$\cos^4(\pi-x)=\sin^4x+\dfrac12$ ба< p>< /p>а) $\dfrac\pi2+2\pi k$; б) $\pm\dfrac\pi3+2\pi k$; в) $\pm\dfrac\pi6+\pi k$; г) $(-1)^k\dfrac\pi6+\pi k$; д) тэгшитгэлийн хариу байхгүй.< p>< /p>бол а)--д)-ийн аль нь тэгшитгэлийн шийд болох вэ?
$\sin^4x+\cos^4x=\dfrac58$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin^4x+\dfrac12=\sin2x-\cos^4x$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin2x=\cos^4\dfrac x2-\sin^4\dfrac x2$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin^42x+\cos^42x=\sin2x\cos2x$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin^4x+\cos^3x=\cos^22x+0,25$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin^4\dfrac x2+\cos^4\dfrac x2=1-\dfrac32\cos^2\dfrac x2$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin^4x+\cos^4x=\cos4x-\dfrac94\cos^2\dfrac x2$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin^4\left(x-\dfrac\pi6\right)+\cos\left(\dfrac\pi3-2x\right)=-\cos^4\left(x-\dfrac\pi6\right)+2$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin^4\left(x-\dfrac\pi8\right)+\cos^4\left(\dfrac\pi8-x\right)=\cos\left(2x-\dfrac\pi4\right)+2$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin^4x+\cos^4x=\sin^42x+\cos^42x$ тэгшитгэлийг бод.
$1+\ctg^2\left(\dfrac{3\pi}2+x\right)=\cos^4x-\sin^4x$ тэгшитгэлийн абсолют утга нь $\pi$-ээс хэтрэхгүй байх шийдийн тоог ол.
$\sin2x+\sin^4\dfrac x2=\cos^4\dfrac x2$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin^8x+\cos^8x=1-\dfrac{15}{16}\sin^22x$ тэгшитгэлийг бод.

A. $\dfrac\pi8+\dfrac{\pi n}{2}$     B. $\pi k$; $\dfrac\pi8+\dfrac{\pi n}{2}$     C. $\dfrac{\pi k}{2}$; $\dfrac\pi8+\dfrac{\pi n}{2}$     D. $\dfrac{\pi k}{2}$     E. $\dfrac{\pi k}{2}$; $\dfrac\pi8+\dfrac{\pi n}{4}$    
$8\sin ^{8} x+8\cos ^{8} x=-\cos 4x$ тэгшитгэл бод.

A. $\dfrac{3\pi }{4} +\pi k;\dfrac{\pi n}{2} $     B. $\dfrac{\pi }{4} +\pi k;\; \dfrac{\pi n}{2} $     C. $\dfrac{\pi }{2} +\pi k$     D. $\dfrac{3\pi }{4} +\pi k$     E. $\dfrac{\pi }{4} +\dfrac{\pi k}{2} $ энд $k,n\in {\mathbb Z} $    
$\sin^4x+\cos^4x=\dfrac 58$ тэгшитгэл $-\dfrac 23< x< 3$ нөхцөлийг хангадаг хэдэн шийдтэй вэ?

A. $1$     B. $2$     C. $3$     D. $4$     E. $5$    
$\sin^4 x+\cos^4x=a$ тэгшитгэл $a$-ийн ямар утганд шийдтэй байх вэ?

A. $a\leq \frac 12;$     B. $\frac 12\leq a\leq 1;$     C. $1<a;$     D. $0\leq a<1;$    
$8(\sin^8 x+\cos^8x)+a\cos^22x+3a-7=0$ тэгшитгэл $a$-ийн ямар утганд шийдтэй байх вэ? Шийдийг бич.

A. $a\in \left[-\frac 12;1\right], x=\pm\frac 12\arccos(\sqrt{a^2+40}-a)+\pi k;$     B. $a\in \left[-\frac 14;2\right], x=\pm\frac 14\arccos(\sqrt{a^2+60}-a-7)+\frac{\pi k}{2};$     C. $a\in \left]-\frac 14;2\right], x=(-1)^k\frac 12\arcsin(\sqrt{a^2+20}-6)+\pi k;$     D. $a\in \left[-\frac 12;2\right], x=(-1)^{k+1}\arcsin(\sqrt{a^2+60}-a-7)+\pi k; (k\in Z)$    
$\sin^4 x+\cos^4x+\sin 2x+a=0$ тэгшитгэл $a$-ийн ямар утганд шийдтэй байх вэ? Шийдийг бич.

A. $a\in \left[-1;-\frac 12\right[, x=\pm\frac 12\arccos(a-\sqrt{2a+3})+\pi k;$     B. $a\in \left[-\frac 32;\frac 12\right], x=(-1)^k\frac 12\arcsin(1-\sqrt{2a+3})+\frac{\pi k}{2};$     C. $a\in \left]-\frac 12;\frac 32\right[, x=\pm\frac 14\arccos(1-\sqrt{2a+3})+\frac{\pi k}{2};$     D. $a\in \left[-\frac 32;\frac 52\right[, x=\frac12(-1)^{k+1}\arcsin\left(\frac 12-\sqrt{2a+3}\right)+\frac{\pi k}{2}; (k\in Z)$    
$\sin^8x+\cos^8x=\dfrac{17}{32}$ тэгшитгэл бод.

A. $\dfrac{\pi}{8}+\dfrac{\pi k}{4}$     B. $\dfrac{\pi}{8}+\dfrac{\pi k}{2}$; $\dfrac{\pi}{4}$     C. $\dfrac{\pi}{8}+\dfrac{\pi k}{2}$     D. $\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi k}{2}$     E. $\dfrac{\pi}{8}+\dfrac{\pi k}{2}$; $\dfrac{\pi}{8}$    
$\sin^8x+\cos^8x=\dfrac{17}{32}$ тэгшитгэл бод.

Бодолт:

$(\sin^4x)^2+(\cos^4x)^2=\dfrac{17}{32}$ гэдгээс ялгаварын бүтэн квадрат бичвэл $(\cos^4x-\sin^4x)^2+2\sin^4x\cos^4x=\dfrac{17}{32}$ болох ба $\cos^22x+\dfrac{1}{\fbox{a}}\sin^42x=\dfrac{17}{32}$ болно.

Энэ нь $\sin^22x$-ийн хувьд $\fbox{b}(\sin^22x)^2-32\sin^22x+\fbox{cd}=0$ гэсэн квадрат тэгшитгэлд шилжих учир боломжит шийд нь $\sin^22x=\dfrac{\fbox{e}}{\fbox{f}}$.

Иймд $x=\pm\dfrac{\pi}{\fbox{g}}+\dfrac{\pi k}{2},k\in\mathbb Z$ болно.
$\dfrac{16}{17}\sin^8x+\dfrac{16}{17}\cos^8x=\dfrac{1}{2}$ тэгшитгэл бод.

Бодолт: $(\sin^4x)^2+(\cos^4x)^2=\dfrac{17}{32}$ гэдгээс ялгаварын бүтэн квадрат бичвэл $(\cos^4x-\sin^4x)^2+2\sin^4x\cos^4x=\dfrac{17}{32}$ болох ба $\cos^22x+\dfrac{1}{\fbox{a}}\sin^42x=\dfrac{17}{32}$ болно. (1 оноо)

Энэ нь $\sin^22x$-ийн хувьд $\fbox{b}(\sin^22x)^2-32\sin^22x+\fbox{cd}=0$ гэсэн (3 оноо) квадрат тэгшитгэлд шилжих учир боломжит шийд нь $\sin^22x=\dfrac{\fbox{e}}{\fbox{f}}$. (2 оноо)

Иймд $x=\pm\dfrac{\pi}{\fbox{g}}+\dfrac{\pi k}{2},k\in\mathbb Z$ болно. (1 оноо)
$\sin2x+\sin^4\dfrac x2=\cos^4\dfrac x2$ тэгшитгэлийн $0\le x\le 180^\circ$ байх шийдүүдийг олъё.

Квадратуудын ялгаврын томьёо болон үндсэн адилтгал ашиглан хувиргавал $$\sin 2x=\cos\fbox{a}x$$ тэгшитгэлд шилжих тул $x_1=\fbox{bc}^\circ$, $x_2=\fbox{de}^\circ$ ($x_1 < x_2$), $x_3=\fbox{fgh}^\circ$ гэсэн шийдүүдтэй.

$\sin\alpha x\pm\sin\beta x=0$, $\sin\alpha x\pm\cos\beta x=0$, $\tg\alpha x\pm \tg\beta x=0$ xэлбэрийн тэгшитгэл

$\cos\left(x-\dfrac\pi6\right)=\cos x$ тэгшитгэлийн $\big[-\pi,\dfrac{7\pi}6\big]$ завсар дахь шийдийн тоог ол.
$\cos\left(\dfrac\pi2-3x\right)-\sin2x=0, 160^\circ< x< 200^\circ$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin3x=\sin(90^\circ-2x), 0^\circ< x< 20^\circ$ тэгшитгэлийг бод.
$\cos2x=\cos2$ тэгшитгэлийг бод.
$\cos5x=\cos(5+x)$ тэгшитгэлийг бод.
$\cos4x=\sin2x$ тэгшитгэлийг бод.
$\cos(x+60^\circ)=\sin(x-30^\circ), 180^\circ< x< 270^\circ$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin x+\cos2x=0$ тэгшитгэлийн $[0, \pi]$ завсар дахь шийдийн тоог ол.
$\cos\left(x+\dfrac\pi6\right)=\sin\left(x-\dfrac\pi6\right)$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin\left(x-\dfrac\pi3\right)=\cos\left(2x-\dfrac{2\pi}3\right)$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin x-\cos\left(\dfrac{\pi}2+3x\right)=0$ тэгшитгэлийг бод.
$1-2\sin^8x=\sin4x$ тэгшитгэлийг бод.
$\dfrac{\sin3x}{\cos\left(x-\dfrac\pi6\right)}=-1$ тэгшитгэлийг бод.
$\dfrac{\cos3x}{\sin\left(x+\dfrac\pi6\right)}=-1$ тэгшитгэлийг бод.
$\tg2x-\ctg3x=0$ тэгшитгэлийг бод.
$\tg3x=\tg(90^\circ-2x), 0^\circ< x< 20^\circ$ тэгшитгэлийг бод.
$\theta$ хурц өнцгийн хувьд
  1. $\sin 3\theta=\sin 2\theta$-ийг хангах $\theta$-ийг ол.
  2. $\sin 3\theta=m\sin 2\theta+n\sin \theta$ тэгшитгэл шийдтэй байх $(m, n)$ болон эдгээрээс хамааруулан $\theta$-г ол. Энд $m, n$ нь сөрөг биш бүхэл тоонууд.
Дараах тэгшитгэлүүдийг бод.
  1. $\sin 2\theta+\cos\theta=0$, $0^{\circ}\leq \theta\leq 360^{\circ};$
  2. $\sin 2\theta=\sin\theta$, $0^{\circ}\leq \theta\leq 360^{\circ};$
  3. $\cos^24\theta=\cos^2\theta$, $0^{\circ}\leq \theta\leq 360^{\circ};$
  4. $\sin 2x+\sin x+2\cos x+1=0$, $0^{\circ}\leq x\leq 180^{\circ}.$
$\cos2x=\sin(x-\pi), -\dfrac\pi2\le x\le\dfrac\pi2$ тэгшитгэлийн шийд аль нь вэ?

A. $-\dfrac\pi6$, $\dfrac{\pi}{3}$     B. $\dfrac\pi2$, $\dfrac{11\pi}6$     C. $\dfrac{\pi}{3}$, $\dfrac\pi6$     D. $-\dfrac\pi6$, $\dfrac\pi2$     E. $-\dfrac\pi6$, $\dfrac\pi6$    
$\sin 2x=\sin x$ тэгшитгэлийн $0\le x< 2\pi$ байх бүх шийдүүдийг ол.

A. $0$     B. $0$, $\dfrac{\pi}{3}$     C. $0$, $\dfrac{\pi}{3}$, $\pi$     D. $0$, $\dfrac{\pi}{3}$, $\pi$, $\dfrac{5}{3}\pi$     E. $0$, $\dfrac{\pi}{3}$, $\dfrac{\pi}{2}$, $\pi$, $\dfrac{5}{3}\pi$    
$\cos2x+\cos x=0$ тэгшитгэлийн хамгийн бага эерэг шийдийг ол.

A. $\pi$     B. $\dfrac{\pi}{6}$     C. $\dfrac{\pi}{4}$     D. $\dfrac{2\pi}{3}$     E. $\dfrac{\pi}{3}$    
$\sin 3x=\sin x$ тэгшитгэлийн хамгийн бага эерэг шийд ба хамгийн их сөрөг шийдийн нийлбэрийг ол.

A. $\pi;$     B. $\frac{\pi}{2};$     C. $-\frac{\pi}{6};$     D. $0;$    
$\sin6x=\sin 2x$ тэгшитгэлийн шийд нь $x_1=\dfrac{\pi n}{\fbox{a}}$, $x_2=\dfrac{\pi}{\fbox{b}}+\dfrac{\pi k}{\fbox{c}}$

$1\pm\sin2x=(\sin x\pm\cos x)^2$ томъёог ашиглан бодох бодлогууд

$1+\sin2x=(\cos3x+\sin3x)^2$ тэгшитгэлийг бод.
$1+\cos7x=\left(\sin\dfrac{3x}2-\cos\dfrac{3x}2\right)^2$ тэгшитгэлийг бод.
$(\cos3x+\sin3x)^2=1+\cos2x$ тэгшитгэлийг бод.
$\cos\left(\dfrac{4x+3\pi}{2}\right)+1+\left(\sin\Big(\dfrac{13\pi}2+x\Big)+\cos\Big(\dfrac{7\pi}2+x\Big)\right)^2=0, -\dfrac\pi4\le x\le\dfrac{5\pi}4$ тэгшитгэлийг бод.
$1+\sin2x=\left(\sin\dfrac x2-\cos\dfrac x2\right)^2$ тэгшитгэлийг бод.
$2(\sin x+\cos x)+\sin2x+1=0$ тэгшитгэлийг бод.
$\dfrac{1+2\sin^2(\pi+x)-3\sqrt2\sin x-\cos\left(\dfrac\pi2+2x\right)}{(\sin x-\cos x)^2}=-1$ тэгшитгэлийг бод.
Зуурмаг бэлтгэхэд цемент, элс, ус 3:3:1.2 харьцаатай ордог бол: а. 72 кг б. 180 кг в. 252 кг зуурмаг бэлтгэхэд хэдэн кг цемент орох вэ?
$1-\sin5x=\left(\cos\dfrac{3x}2-\sin\dfrac{3x}2\right)^2$ тэгшитгэл $[0;\pi]$ завсарт хэдэн шийдтэй вэ?

A. 2     B. 3     C. 4     D. 5     E. 6    
$1-\sin2x=\cos x-\sin x$ тэгшитгэлийг бод.

A. $x_1=-\dfrac\pi2+2\pi n$     B. $x_1=-\dfrac\pi2+2\pi n$, $x_2=2\pi n$     C. $x_1=-\dfrac\pi2+2\pi n$, $x_2=2\pi n$, $x_3=\dfrac\pi4+\pi n$     D. $x=2\pi n$     E. $\varnothing$    
$\sin 2x=(\cos x-\sin x)^2$ тэгшитгэлийг бод.

A. $x=\pm\dfrac{\pi}{6}+2\pi n$     B. $x=(-1)^n\dfrac\pi{6}+\dfrac{\pi n}2$     C. $x=\pm\dfrac{\pi}{12}+\pi n$     D. $x=(-1)^n\dfrac{\pi}{6}+\pi n$     E. $x=(-1)^n\dfrac\pi{12}+\dfrac{\pi n}2$    
$\sin2x+\sin 6x=\cos 2x$ тэгшитгэл $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$ завсарт хэдэн шийдтэй вэ?

A. $1$     B. $2$     C. $3$     D. $4$     E. $0$    
$\sin2x+5(\sin x+\cos x)+1=0$ тэгшитгэл $\left[-\dfrac{5\pi}{4},\pi\right[$ завсарт хэдэн шийдтэй вэ?

A. $3$     B. $4$     C. $2$     D. $1$     E. $0$    
$\sin 2x-4(\sin x-\cos x)+4=0$ тэгшитгэл $\left[-\dfrac{3\pi}{2};\dfrac{2\pi}{3}\right[$ завсарт хэдэн шийдтэй вэ?

A. $2;$     B. $3;$     C. $4;$     D. $1;$    
$1+\sin2x=\cos x+\sin x$ тэгшитгэлийг бод.

A. $x_1=\dfrac\pi2+2\pi n$     B. $x_1=\dfrac\pi2+2\pi n$, $x_2=2\pi n$     C. $x_1=\dfrac\pi2+2\pi n$, $x_2=2\pi n$, $x_3=-\dfrac\pi4+\pi n$     D. $x=2\pi n$     E. $\varnothing$    

Зэрэг бууруулж бодох тэгшитгэл

$\cos^2x>\dfrac34$  тэнцэтгэл бишийн $0\le x\le 2\pi$ байх шийдийг ол.
$\cos^2x>\dfrac34$  тэнцэтгэл бишийн шийдийн олонлог аль вэ?

A. $\left]-\dfrac{\pi}6+\pi k;\dfrac{\pi}6+\pi k\right[$     B. $\left]-\dfrac{\pi}3+\pi k;\dfrac{\pi}3+\pi k\right[$     C. $\left]\dfrac{\pi}2+\pi k;\pi+\pi k\right[$     D. $\left]\dfrac{\pi}2+\pi k;\pi k+\dfrac76\pi\right[$     E. $\left]\dfrac{\pi}6+\pi k;\pi k+\dfrac76\pi\right[$    
$4\sin^3x-3\sin x< \cos 6x$ тэнцэтгэл биш аль тэнцэтгэл биштэй эквивалент вэ?

A. $-1<\sin 3x<\dfrac 12$     B. $-1<\cos 3x<\dfrac 12$     C. $-\dfrac 12<\sin3x<1$     D. $-\dfrac 12<\cos 3x<1$     E. $-\dfrac 13<\sin3x<1$    
$\sin^2x<\dfrac{3}{4}$ тэнцэтгэл бишийн шийдийн олонлог аль нь вэ?

A. $\left]-\dfrac{\pi}{6}+\pi k;\dfrac{\pi}{6}+\pi k\right[$     B. $\left]-\dfrac{\pi}{3}+\pi k;\dfrac{\pi}{3}+\pi k\right[$     C. $\left]\dfrac{\pi}{2}+\pi k;\pi+\pi k\right[$     D. $\left]\dfrac{\pi}{2}+\pi k;\pi k+\dfrac{7\pi}{6}\right[$     E. $\left]\dfrac{\pi}{6}+\pi k;\pi k+\dfrac{7\pi}{6}\right[$    
$\cos^4x=\dfrac14\cos2x+\dfrac12\cos^2x\cos8x$ тэгшитгэлийг бод.

A. $x=\dfrac{\pi k}4$     B. $x=\dfrac\pi4+\dfrac{\pi k}2$     C. $x=2\pi k$     D. $x=\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k$     E. $\varnothing$    
$\cos^4x=\dfrac14\cos2x+\dfrac12\cos^2x\cos8x$ тэгшитгэлийн $x\in[0^\circ;180^\circ]$ байх шийдийг ол.

A. $x=45^\circ$     B. $x=45^\circ$, $x=135^\circ$     C. $x=0^\circ$, $x=180^\circ$     D. $x=135^\circ$     E. $\varnothing$    

Квадрат тэгшитгэлд шилждэг тэгшитгэл

$2\cos^2x-3\cos x+1=0$ тэгшитгэлийн хамгийн их сөрөг шийд ба хамгийн бага эерэг шийдийн ялгаврыг ол.

A. $-\dfrac{\pi}{2}$     B. $-\pi$     C. $-\dfrac{2\pi}{3}$     D. $-\dfrac{4\pi}{3}$     E. $-2\pi$    
$\log_{\tg x}(\cos 2x-\cos 4x)=0$ тэгшитгэлийг бод.

A. $\dfrac{\pi}{6}+\pi k$     B. $\dfrac{\pi}{3}+2\pi n$     C. $\pm \dfrac{\pi}{3}+2\pi k$     D. $\dfrac{\pi}{2}+\pi k$     E. $\dfrac{\pi}{6}+2\pi k$    
$\cos^2x-\sin^2x=\sin x$ тэгшитгэлийн $[-\pi;\pi]$ завсарт орших шийдүүдийн үржвэрийг олоорой.

A. $\dfrac{5\pi^3}{24}$     B. $-\dfrac{5\pi^3}{12}$     C. $-\dfrac{5\pi^3}{72}$     D. $-\dfrac{5\pi^3}{24}$     E. $\dfrac{5\pi^3}{72}$    
$\sin x=2\cos^2x-1$ тэгшитгэлийн $[-\pi;\pi]$ завсарт орших шийдүүдийн үржвэрийг олоорой.

A. $-\dfrac{5\pi^3}{72}$     B. $-\dfrac{5\pi^3}{12}$     C. $\dfrac{5\pi^3}{72}$     D. $-\dfrac{5\pi^3}{24}$     E. $\dfrac{5\pi^3}{24}$    
$\cos^2x-\sin^2x=\sin x$ тэгшитгэлийн $[-\pi;\pi]$ завсарт орших шийдүүдийн үржвэрийг олоорой.

A. $\dfrac{5\pi^3}{24}$     B. $-\dfrac{5\pi^3}{12}$     C. $\dfrac{5\pi^3}{72}$     D. $-\dfrac{5\pi^3}{24}$     E. $-\dfrac{5\pi^3}{72}$    
$\cos4x=\sin 2x$ тэгшитгэлийн $\left[-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}\right]$ завсарт орших шийдүүдийн үржвэрийг олоорой.

A. $\dfrac{5\pi^3}{24}$     B. $-\dfrac{\pi^2}{12}$     C. $-\dfrac{\pi^2}{48}$     D. $-\dfrac{\pi^2}{24}$     E. $-\dfrac{5\pi^3}{72}$    
$\cos^2x-\sin^2x=\sin x$ тэгшитгэлийн $[-\pi;\pi]$ завсарт орших шийдүүдийн үржвэрийг олоорой.

A. $\dfrac{5\pi^3}{24}$     B. $-\dfrac{5\pi^3}{12}$     C. $\dfrac{5\pi^3}{72}$     D. $-\dfrac{5\pi^3}{24}$     E. $-\dfrac{5\pi^3}{72}$    
$2\cos^2x+3\cos x=-1$ тэгшитгэлийн $0< \alpha_1< \alpha_2< \alpha_3< \dots$ байх шийдүүдийн хувьд $\alpha_6+\alpha_7=a\pi$ ба $a$ бүхэл тоо бол түүнийг ол.

A. 9     B. 8     C. 7     D. 6     E. 5    
$f(x)=2\cos^22x+\cos(2x+\pi)-1$ функцийн хувьд
  1. Үндсэн үед $T=\fbox{a}\pi$ (1 оноо)
  2. Хамгийн их утга $\fbox{b}$ (2 оноо)
  3. Хамгийн бага утга $-\dfrac{\fbox{c}}{\fbox{d}}$ (1 оноо)
  4. $f(x)=0$ тэгшитгэлийн шийд $x=\fbox{e}\pi k$ (1 оноо), $x=\pm\dfrac{\pi}{\fbox{f}}+\pi k,~(k\in\mathbb Z)$ байна. (1 оноо)
$y(x)=|\cos^2x-a|+2\sin x-\dfrac 54$ функцийн хувьд

1) $a=1$ бол $\left\{ % \begin{array}{l} y(x)=0, \\ \cos x< 0 \\ \end{array} % \right.$ системийг бодвол $x=\dfrac{\fbox{b}}{\fbox{a}}\pi+2\pi k (k\in \mathbb Z)$ болно.

2) $y(x)=0$ тэгшитгэлийг шийдтэй байлгах $a$ параметрийн утга нь $|a|\leq \fbox{c,de}$ байна.
$f(x)=\cos4x+\cos(2x-\pi)$ функцийн хувьд
  1. Үндсэн үе $T=\fbox{a}\pi$;
  2. Хамгийн их утга: $\fbox{b}$;
  3. Хамгийн бага утга: $-\dfrac{\fbox{c}}{\fbox{d}}$;
  4. $f(x)=0$ тэгшитгэлийн шийд $x=\fbox{e}\pi$, $x=\pm\dfrac{\pi}{\fbox{f}}+\pi k$, $k\in\mathbb Z$ байна.

Нийлбэр, ялгавар өнцгийн синус, косинусын томьёо ашиглан бодох тэгшитгэл

$\cos\dfrac\pi3\sin5x+\sin\dfrac\pi3\cos5x=-\dfrac12$ тэгшитгэлийн хамгийн их сөрөг шийдийг градусаар илэрхийл.
$\cos2x\cdot\cos3x=\cos5x$ тэгшитгэл бод.

A. $x=\frac{\pi k}{3},k\in\mathbb Z$     B. $x=\frac{\pi n}{2}; x=\frac{\pi k}{3},k,n\in\mathbb Z$     C. $x=\frac{\pi n}{2}; x=\frac{\pi k}{5}; x=\frac{\pi m}{3},k,n,m\in\mathbb Z$     D. $x=\frac{\pi k}{5}; x=\frac{\pi n}{3};k,n\in\mathbb Z$     E. $x=\frac{\pi k}{2}; x=\frac{\pi n}{5};k,n\in\mathbb Z$    
$\sin3x\cdot\cos5x-\cos3x\cdot\sin5x=0.5$ тэгшитгэлийн хамгийн их сөрөг шийд аль нь вэ?

A. $-75^\circ$     B. $-1^\circ$     C. $-30^\circ$     D. $-15^\circ$     E. $-2^\circ$    
$\dfrac{\cos3x}{\sin2x}+\sin x=0$ тэгшитгэлийг бод.

A. $x=\dfrac{\pi n}2$     B. $x=\dfrac\pi8+\dfrac{\pi n}2$     C. $x=\dfrac{\pi n}4$     D. $x=\dfrac\pi4+\dfrac{\pi n}2$     E. Шийдгүй    
$\cos x\cos 2x+\sin x\sin 2x=1$ тэгшитгэлийг бод.

A. $x=\pi k$     B. $x=2\pi k$     C. $x=3\pi k$     D. $x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi k$     E. $x=4\pi k$    
$\cos x\cos 2x=\cos 3x$ тэгшитгэлийн $]-2\pi;0[$ завсар дахь шийдүүдийн үржвэрийг ол.

A. $-\frac{5\pi^3}{4};$     B. $\frac{3\pi^2}{2};$     C. $\frac{3\pi^2}{4};$     D. $-\frac{3\pi^3}{4};$    
$\sin2x\cdot\cos4x-\cos2x\cdot\sin4x=0.5$ тэгшитгэлийн хамгийн их сөрөг шийд аль нь вэ?

A. $-15^\circ$     B. $-1^\circ$     C. $-30^\circ$     D. $-75^\circ$     E. $-1^\circ$    

Нийлбэрийг үржвэрт хувиргах томьёо ашиглан бодох тэгшитгэл

$2\cos^2x-1=\sin3x$ тэгшитгэл $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$ завсарт хэдэн шийдтэй вэ?

A. $0$     B. $3$     C. $2$     D. $1$     E. $4$    
$\log_{\sin x}(1+\cos 2x+\cos 4x)=0$ тэгшитгэлийг бод.

A. $\dfrac{\pi}{6}+2\pi k, -\dfrac{\pi}{2}+2\pi n$     B. $\dfrac{\pi}{3}+2\pi k, \dfrac{5\pi}{6}+2\pi n$     C. $-\dfrac{\pi}{6}+\pi k$     D. $\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi k$     E. $(-1)^k\dfrac{\pi}{6}+\pi k$    

Нэгэн төрлийн тэгшитгэл

$3\cos^2x+\cos x\cdot\sin x=0.6$ тэгшитгэл $\Big[\dfrac{\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2}\Big]$ завсар хэдэн шийдтэй вэ?

A. $8$     B. $6$     C. $4$     D. $3$     E. $2$    
$\sin^2x+21\cos^2x=5\sin2x$ тэгшитгэлийн хамгийн бага эерэг шийд аль нь вэ?

A. $\dfrac{\pi}{4}$     B. $\arctg 3$     C. $\dfrac{\pi}{3}$     D. $\dfrac{\pi}{6}$     E. $\arctg 7$    
$4\sin^2 x+\sin 2x=1$ тэгшитгэлийг бодъё. Давхар өнцгийн синусын томьёо болон үндсэн адилтгал ашиглавал $$\fbox{a}\sin^2 x+\fbox{b}\sin x\cos x-\cos^2 x=0$$ болно. $\cos x\neq\fbox{c}$ тул $\cos^2x$ тоонд тэгшитгэлийн 2 талыг хувааж өгвөл $$\fbox{a}\tg^2x+\fbox{b}\tg x-1=0$$ тэгшитгэлд шилжинэ. Эндээс $\tg x=\fbox{de}$ эсвэл $\tg x=\dfrac{1}{\fbox{f}}$ тул тэгшитгэлийн шийд нь $$x=\dfrac{3\pi}{\fbox{g}}+\pi k,\quad x=\arctg\dfrac{1}{\fbox{h}}+\pi k$$
$4\cos^2 x+\sin 2x=1$ тэгшитгэлийг бодъё. Давхар өнцгийн синусын томьёо болон үндсэн адилтгал ашиглавал $$\fbox{a}\cos^2 x+\fbox{b}\sin x\cos x-\sin^2 x=0$$ болно. $\sin x\neq\fbox{c}$ тул $\sin^2x$ тоонд тэгшитгэлийн 2 талыг хувааж өгвөл $$\fbox{a}\ctg^2x+\fbox{b}\ctg x-1=0$$ байна. Эндээс $\ctg x=\fbox{de}$ эсвэл $\ctg x=\dfrac{1}{\fbox{f}}$ тул тэгшитгэлийн шийд нь $$x=\dfrac{3\pi}{\fbox{g}}+\pi k,\quad x=\arcctg\dfrac{1}{\fbox{h}}+\pi k$$

Орлуулга хийх

$(\ctg^2x+2)\sin x=\dfrac 52\Leftrightarrow \left\{ % \begin{array}{l} t=\sin x\ne 0 \\ \fbox{a}t^2-\fbox{b}t+2=0 \\ \end{array} % \right. \Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow \left[ % \begin{array}{l} \sin x=\fbox{c}\\ \sin x=\dfrac1{\fbox{d}} \\ \end{array} % \right. \Leftrightarrow x=(-1)^k\dfrac{\pi}{\fbox{e}}+\fbox{f}k\pi, k\in \mathbb Z.$
$(\tg^2x+3)\cos x=3\Leftrightarrow \left\{ % \begin{array}{l} t=\cos x\ne 0 \\ \fbox{a}t^2-\fbox{b}t+1=0 \\ \end{array} % \right. \Leftrightarrow \left[ % \begin{array}{l} \cos x=\fbox{c}\\ \cos x=\dfrac1{\fbox{d}} \\ \end{array} % \right. \Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow \left[ % \begin{array}{l} x=\fbox{e}k\pi \\ x=\pm\dfrac{\pi}{\fbox{f}}+2n\pi, k,n\in \mathbb Z. \\ \end{array} % \right.$

Радикалын тэмдэг агуулсан тэгшитгэл

$\sqrt{1+\cos4x}\sin x=2\sin\dfrac\pi4$ тэгшитгэлийг бод.
$\sqrt{1+\cos6x}\sin\dfrac{3x}2=2\sqrt2\cos\dfrac{2\pi}3$ тэгшитгэлийг бод.
$\sqrt{1-\sqrt3\sin x}+\sqrt{10}\cos x=0$ тэгшитгэлийг бод.
$\sqrt{7\sin x-\cos 2x}+2\cos x=0$ тэгшитгэлийг бод.
$\sqrt{10}\cos x-\sqrt{4\cos x-\cos 2x}=0$ тэгшитгэлийг бод.
$\sqrt{4\cos2x-2\sin2x}=2\cos x$ тэгшитгэлийг бод.
$\sqrt{\cos x+\cos3x}=-\sqrt{2}\cos x$ тэгшитгэлийг бод.
$3-4\sin x=\sqrt{2\sin x-1}$ тэгшитгэлийг бод.
$\sqrt{\cos2x}=1+2\sin x$ тэгшитгэлийг бод.
$\sqrt2\sin x=\sqrt{5\cos x-1}$ тэгшитгэлийг бод.
$\sqrt{\sin2x-2\cos2x}=\sqrt2\sin x$ тэгшитгэлийг бод.
$\sqrt{2+\cos2x-2\cos^23x+2\cos6x}=\sqrt2\sin2x, -5\le x\le 0$ тэгшитгэлийг бод.
$\sqrt{6(1-\tg^2x)}=4\sin x$ тэгшитгэлийг бод.
$2\sqrt[4]2\cos\left(\dfrac\pi2+x\right)=\sqrt{1-\tg^2x}$ тэгшитгэлийг бод.
$1+\dfrac1{\sqrt{1+\ctg^2x}}=2\cos^2x$ тэгшитгэлийг бод.
$15\cos 2x\sqrt{1+\tg^2x}=7$ тэгшитгэлийг бод.
$\sqrt{4\cos x+3\sin2x}-2\cos x=1$ тэгшитгэлийг бод.
$\sqrt{2\sin x}=\sqrt3\tg x$ тэгшитгэлийг бод.
$\sqrt{0,5+\cos x\cos 2x}=\sin\left(2x+\dfrac\pi4\right)$ тэгшитгэлийг бод.
$2\cos x+3\sin x=\sqrt{4+13\sin x}$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin x+2\cos x=\sqrt{6\sin 2x+4}$ тэгшитгэлийг бод.
$\sqrt{1-\sin2x}=\sin3x+\cos3x$ тэгшитгэлийн $\big[\dfrac{2\pi}{2},2\pi\big]$ муж дахь шийдийн тоог ол.
$\sqrt{\sin(x+3)-\sin3\cos x}=\sqrt{\cos x}$ тэгшитгэлийг бод.
$\cos x\sqrt{3-\tg x}=\sin x\sqrt{1-\ctg x}$ тэгшитгэлийг бод.
$\sqrt{\ctg 2x-\ctg x}=\dfrac1{\cos x}$ тэгшитгэлийг бод.
$2\sqrt{\sin x+6\cos x}=(\tg x+3)\sqrt{\cos x}$ тэгшитгэлийг бод.
$\sqrt{2\sin^2\dfrac x2-\cos x}=\sin x+\cos x$ тэгшитгэлийг бод.
$\sqrt{2+\sin3x+\sin x}=2\sin\left(x+\dfrac \pi4\right)$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin x+\cos x=\sqrt{1+\tg x}$ тэгшитгэлийг бод.
$\sqrt{0,5-\sin x}-\sqrt{\cos x}=\sqrt{0,5-\cos x-\sin x}$ тэгшитгэлийг бод.
$\sqrt{\tg x+\sin x}+\sqrt{\tg x-\sin x}=\sqrt{3\tg x}, 0\le x\le \pi$ тэгшитгэлийг бод.
$2\sin x=\sqrt{4+\cos 3x}$ тэгшитгэлийг бод.
$\sqrt{8-17\sin x}+2\cos x=0$ тэгшитгэлийг бод.

A. $x=\pi-\arcsin\dfrac14+2\pi n$     B. $x=\pi\pm\arcsin\dfrac14+2\pi n$     C. $x=\pi+\arcsin\dfrac14+2\pi n$     D. $x=\pi-\arcsin\dfrac34+2\pi n$     E. $x=\pi+\arcsin\dfrac34+2\pi n$    
$\sqrt{4\cos x-6\sin x}=\sqrt{2-3\tg x}$ тэгшитгэлийг бод.

A. $\arctg \frac{3}{2}+\pi k, \frac{\pi}{3}+2\pi n;$     B. $(-1)^k\arcsin \frac{3}{\sqrt{13}}+\pi k, \pm\frac{\pi}{3}+2\pi n;$     C. $\pm \arccos\frac{2}{\sqrt{13}}+2\pi k, -\frac{\pi}{3}+2\pi n;$     D. $\arctg\frac 23+\pi k, -\frac{\pi}{3}+2\pi n; (k, n\in Z)$    
$\sqrt{4\sin x-6\cos x}=\sqrt{2-3\ctg x}$ тэгшитгэлийг бод.

A. $(-1)^k\arcsin \frac{2}{\sqrt{13}}+\pi k, (-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n;$     B. $\pm\arccos\frac{3}{\sqrt{13}}+2\pi k, \arcctg\frac{3}{2}+2\pi n;$     C. $\arcctg\frac 23+\pi k, \frac{5\pi}{6}+2\pi n;$     D. $\arctg\frac 23+\pi k, \pm \frac{5\pi}{6}+2\pi n; (k, n\in Z)$    
$\sqrt{2\cos 2x-\cos^2x-4\sin^2\dfrac x2\cdot \cos^2\dfrac x2}=\sqrt{\sqrt{3}-1} \Leftrightarrow x=\pm\dfrac{\pi}{\fbox{ab}}+\pi k, (k\in \mathbb Z).$
$2\sin x=\sqrt{4+\cos 3x}\Leftrightarrow \left\{ % \begin{array}{l} \sin x\geq 0 \\ \cos x(4\cos^2x+\fbox{a}\cos x-\fbox{b})=0 \end{array}\right.\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} \sin x\geq 0\\ \left[ % \begin{array}{l} \cos x=0 \\ \cos x=\dfrac{1}{\fbox{c}} \\ \end{array} % \right. \\ \end{array} % \right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{ % \begin{array}{l} \sin x\geq 0 \\ \left[ % \begin{array}{l} x=\dfrac{\pi}{\fbox{d}}+\fbox{e}k\pi \\ x=\pm\dfrac{\pi}{\fbox{f}}+\fbox{g}n\pi \\ \end{array} % \right. \\ \end{array} % \right.$ $\Leftrightarrow$ $\begin{array}{r}x=\dfrac{\pi}{2}+\fbox{h}k\pi, x=\dfrac{\pi}{\fbox{i}}+2n\pi,\\ k,n\in \mathbb Z.\end{array}$
$2\cos x=\sqrt{4+\sin 3x}\Leftrightarrow \left\{ % \begin{array}{l} \cos x\geq 0 \\ \sin (\fbox{a}\sin^2x-\fbox{b}\sin x-3)=0 \end{array}\right. \Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} \cos x\geq 0\\ \left[ % \begin{array}{l} \sin x=0 \\ \sin x=-\dfrac{1}{\fbox{c}} \\ \end{array} % \right. \\ \end{array} % \right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{ % \begin{array}{l} \cos x\geq 0 \\ \left[ % \begin{array}{l} x=\fbox{d}k\pi \\ x=(-1)^n\dfrac{\fbox{f}}{\fbox{e}}\pi+\fbox{g}n\pi \\ \end{array} % \right. \\ \end{array} % \right.$ $\Leftrightarrow$\\ $\Leftrightarrow$ $x=\fbox{h}k\pi, x=-\dfrac{\pi}{\fbox{i}}+\fbox{j}n\pi, k,n\in \mathbb Z.$
$\sqrt{3+2\tg x-\tg^2x}=\dfrac{1+3\tg x}{2}$ тэгшитгэл өгөгдөв. $$\sqrt{3+2\tg x-\tg^2x}=\dfrac{1+3\tg x}{2}\Leftrightarrow$$ $$3+2\tg x-\tg^2x=\left(\dfrac{1+3\tg x}{2}\right)^2,\ \tg x\ge-\frac{1}{\fbox{a}}$$ Тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг бичвэл: $x=\dfrac{\pi}{\fbox{b}}+\pi k$ болно.
$\sqrt{1-\cos 2x}=\sqrt{2}\cdot \cos x$ тэгшитгэл өгөгдөв. $$\sqrt{1-\cos 2x}=\sqrt{2}\cdot \cos x\Leftrightarrow 1-\cos2x=2\cos^2x,\ \cos x\ge\fbox{a}$$ болох бөгөөд шийд нь: $x=\pm\dfrac{\pi}{\fbox{a}}+\fbox{b}\pi k$ байна.

Синус, косинусын квадрат агуулсан тэгшитгэлүүд

$\sin^22x+\sin^23x+\sin^24x+\sin^25x=2$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin^23x+\sin^2(81\pi-x)=\dfrac32-\sin^22x$ тэгшитгэлийг бод.
$\cos^22x+\cos^26x=1$ тэгшитгэлийн $\big[0,\dfrac\pi2\big]$ муж дахь шийдийн тоог ол.
$6\sin^29x+180^\circ)=\sin^22x+\cos^2x, -20^\circ< x< 250^\circ$ тэгшитгэлийн шийдүүдийн нийлбэр нь < p>< /p>а) $180^\circ$ б) $420^\circ$ в) $360^\circ$ г) $390^\circ$ д) эдгээрийн аль нь ч биш.
$\sin^22x=3\cos^2x-\sin^2(x+\pi), -\pi< x< \pi$ тэгшитгэлийг бод.
$\cos^2(45^\circ+x)=\cos^2(45^\circ-x)+\sqrt5\cos x$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin^2(45^\circ+x)=\sin^2(45^\circ-x)+\sqrt7\cos x$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin^2\left(\dfrac\pi8-\dfrac{3x}2\right)=\sin x+\sin^2\left(\dfrac\pi8-\dfrac x2\right), -135^\circ< x< -45^\circ$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin3x+\sin5x=2(\cos^22x-\sin^23x)$ тэгшитгэлийн $[0^\circ,180^\circ]$ муж дахь шийдийн тоог ол.
$\cos^24x+\sin^22x=1$ тэгшитгэлийг бод.

A. $x=\dfrac{\pi n}7$     B. $x=\dfrac{\pi n}4$     C. $x=\dfrac{\pi n}8$     D. $x=\dfrac{\pi n}6$     E. $x=\pi n$    
$\cos^2x+\cos^22x+\cos^23x+\cos^24x=2$ тэгшитгэлийн $\left]\dfrac{\pi}{11};\dfrac{\pi}{3}\right[$ завсар дахь шийдүүдийн үржвэрийг ол.

A. $\frac{3\pi^3}{200};$     B. $\frac{\pi^3}{400};$     C. $\frac{\pi^3}{200};$     D. $\frac{3\pi^3}{400};$    
$\sin^2x+\cos^23x+\sin^25x+\cos^27x=2$ тэгшитгэлийн $\left]\dfrac{\pi}{9};\dfrac{\pi}{2}\right[$ завсар дахь шийдүүдийн үржвэрийг ол.

A. $\frac{5\pi^3}{128};$     B. $\frac{5\pi^3}{256};$     C. $\frac{3\pi^3}{256};$     D. $\frac{3\pi^3}{128};$    

Тангес ба котангестай тэгшитгэлүүд

$2\sin^2x+\tg^2x=2$ тэгшитгэлийг бод.
$\tg x+\tg2x-\tg3x=0$ тэгшитгэлийн $[0,\pi]$ завсар дахь шийдүүдийн нийлбэрийг ол.
$\sin x+\tg\dfrac x2=0$ тэгшитгэлийг бод.
$\dfrac1{1-\tg^22x}=1-\sin\left(\dfrac{3\pi}2-4x\right), 0< x< \dfrac\pi2$ тэгшитгэлийг бод.
$1+\cos x=\ctg\dfrac x2$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin2x+\tg x-0, 0^\circ< x< 270^\circ$ тэгшитгэлийн хамгийн их шийдийг ол.
$\tg x\tg(x+1)=1$ тэгшитгэлийг бод.
$\tg x-\sin x=2\sin^2\dfrac x2$ тэгшитгэлийг бод.
$\cos3x\tg\dfrac x2=\dfrac{\cos x-1}{\cos\left(x+\dfrac\pi2\right)}$ тэгшитгэлийг бод.
$\dfrac{\sin^2x-2}{\sin^2x-4\cos^2\Big(\dfrac x2\Big)}=\tg^2\dfrac x2$ тэгшитгэлийг бод.
$\dfrac{1-\tg\Big(\dfrac x2\Big)}{1-\ctg\Big(\dfrac x2\Big)}=2\sin\dfrac x2$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin x+2\sin3x+\sin5x=\ctg x\sin3x$ тэгшитгэлийг бод.
$\tg x-\tg3x=\dfrac8{\sin2x}$ тэгшитгэлийг бод.
$\tg x+\tg\left(x-\dfrac\pi4\right)=1$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin2x+3\sin x=\tg\dfrac x2$ тэгшитгэлийг бод.
$(\sin x+\cos x)^2+\cos2x+\tg2x=0, -\dfrac\pi2\le x\le\pi$ тэгшитгэлийг бод.
$\cos 2x+(\sin x+\cos x)^2\tg x=\tg x(\tg x+1), -\dfrac{7\pi}4\le x\le \dfrac\pi4$ тэгшитгэлийг бод.
$\tg x-\ctg2x=\dfrac1{1+\cos 2x}, -0,5\le x\le 1$ тэгшитгэлийг бод.
$\dfrac{\cos2x}{1+\sin2x}=\tg6x$ тэгшитгэлийг бод.
$\tg3x-\tg x=\dfrac{2\tg x}{1-\tg^22x}$ тэгшитгэлийг бод.
$\dfrac{\cos4x+1}{\ctg x-\tg x}=\dfrac12\cos^42x-8\sin^4x\cos^4x$ тэгшитгэлийг бод.
$2\tg\left(\dfrac\pi4-x\right)=3\tg2x+5$ тэгшитгэлийг бод.
$\tg x(1-2\sin x)-2\cos x=-\sqrt3$ тэгшитгэлийг бод.
$\ctg^4x=\cos^22x-1$ тэгшитгэлийг бод.
$\cos x(\tg x+\tg3x)=4\sin3x\sin4x$ тэгшитгэлийг бод.
$\dfrac{\sin^22x-4\sin^2x}{\sin^22x+4\sin^2x-4}=2\tg^2x-1$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin x\tg x+\cos x\dfrac1{\tg x}=\sin x+\cos x, 0^\circ< x< 90^\circ$ тэгшитгэлийг бод.
$\tg^2x=\dfrac{1-\cos x}{1+\cos x}, 0^\circ< x< 150^\circ$ тэгшитгэлийг бод.
$\dfrac{1}{1-\tg2x}+\dfrac{2\cos^2x-1}{\cos2x+\sin2x}=\dfrac{2\sqrt3\tg2x}{1-\tg^22x}$ тэгшитгэлийг бод.
$\dfrac{\sin2x}{1+\cos2x}+\dfrac1{\cos^2x}=9-\ctg2x+\dfrac5{\sin^2x}+\tg^2x$ тэгшитгэлийг бод.
$\ctg x+\sin2x=\ctg3x$ тэгшитгэлийг бод.
$2\ctg x-\dfrac1{\cos x}=\dfrac2{\sin2x}$ тэгшитгэлийг бод.
$y=\dfrac{\sin x+\cos x}{\tg x+\ctg x}$ функцийн тодорхойлогдох мужийг ол.

A. $x\ne \pi k;$     B. $x\ne\dfrac{\pi}{2}k;$     C. $x\ne (2k+1)\pi;$     D. $x\ne 2\pi k (k\in \mathbb Z)$     E. $x\in]-\infty;+\infty[$    
$7\tg x+\ctg x=5\sec x$ тэгшитгэлийн $\left[\dfrac{2\pi}{3};\pi\right[$ завсар дахь шийдүүдийн нийлбэрийг ол.

A. $\frac{13\pi}{6};$     B. $\frac{13\pi}{6}-\arcsin\frac 13;$     C. $\pi;$     D. $\frac{11\pi}{6}-\arcsin \frac 13;$    
$\tg x+4\ctg x=4\cosec x$ тэгшитгэлийн $\left]\dfrac{3\pi}{2};\dfrac{5\pi}{2}\right[$ завсар дахь шийдүүдийн нийлбэрийг ол.

A. $4\pi-\arccos\dfrac 13$     B. $4\pi+2\arccos \dfrac 13$     C. $6\pi$     D. $2\pi$     E. $4\pi$    
$\tg^2x+\dfrac 1{\cos^2x}+3\ctg\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=0$ тэгшитгэл $\left[-\dfrac{3\pi}{2};0\right]$ завсарт хэдэн шийдтэй вэ?

A. $1;$     B. $4;$     C. $3;$     D. $2;$    
$\tg 2x\cdot \sin x+\sqrt{3}(\sin x-\sqrt{3}\tg 2x)=3\sqrt{3}$ тэгшитгэл $\left[-\dfrac{\pi}{2},\pi\right]$ завсарт хэдэн шийтэй вэ?

A. $2;$     B. $1;$     C. $3;$     D. $4;$    
$\tg^2x-(1+\sqrt{3})\tg x+\sqrt{3}< 0$ тэнцэтгэл бишийг бод.

A. $\dfrac{\pi}{6}+\pi k< x<\dfrac{\pi}{4}+\pi k$     B. $\dfrac{\pi}{4}+\pi k< x< \dfrac{\pi}{3}+\pi k$     C. $-\dfrac{\pi}{3}+\pi k< x< \dfrac{\pi}{6}+\pi k$     D. $-\dfrac{3\pi}{4}+\pi k< x< \dfrac{\pi}{4}+\pi k$     E. $\dfrac{\pi}{8}+\pi k< x< \dfrac{\pi}{6}+\pi k$    
$\sqrt3\tg^2x-4\tg x+\sqrt{3}< 0$ тэнцэтгэл бишийг бод.

A. $\dfrac{\pi}{6}+\pi k< x<\dfrac{\pi}{4}+\pi k$     B. $\dfrac{\pi}{4}+\pi k< x< \dfrac{\pi}{3}+\pi k$     C. $-\dfrac{\pi}{3}+\pi k< x< \dfrac{\pi}{6}+\pi k$     D. $-\dfrac{3\pi}{4}+\pi k< x< \dfrac{\pi}{4}+\pi k$     E. $\dfrac{\pi}{6}+\pi k< x< \dfrac{\pi}{3}+\pi k$    
$\sqrt3\ctg^2x-4\ctg x+\sqrt{3}< 0$ тэнцэтгэл бишийг бод.

A. $\dfrac{\pi}{12}+\pi k< x<\dfrac{\pi}{8}+\pi k$     B. $\dfrac{\pi}{6}+\pi k< x< \dfrac{\pi}{3}+\pi k$     C. $-\dfrac{\pi}{3}+\pi k< x< \dfrac{\pi}{6}+\pi k$     D. $-\dfrac{3\pi}{4}+\pi k< x< \dfrac{\pi}{4}+\pi k$     E. $\dfrac{\pi}{4}+\pi k< x< \dfrac{\pi}{3}+\pi k$    
$y=\sqrt{2\sqrt{3}+3\tg x+\ctg x}$ функцийн тодорхойлогдох мужийг $[0^{\circ};180^{\circ}[$ интервалтай огтолцуулбал $x\in \left]\fbox{a}^{\circ};\fbox{bc}^{\circ}\right[\cup\left\{\fbox{def}^{\circ}\right\}$ байна.
$y=\sqrt{2\sqrt{3}-\tg x-3\ctg x}$ функцийн тодорхойлогдох мужийг $[0^{\circ};180^{\circ}[$ интервалтай огтолцуулбал $x\in \left\{\fbox{ab}^{\circ}\right\}\bigcup\left]\fbox{cd}^{\circ};\fbox{efg}^{\circ}\right[$ байна.
$y=1+a\tg^2(\pi x)$ функц өгөгдөв.

1) $a=\fbox{a}$ үед хялбарчилбал $\dfrac{1}{\cos^2(\pi x)}$ болно.

2) Хэрэв $a=-1$ бол $y=0$ тэгшитгэлийн хамгийн бага эерэг хоёр шийдийн үржвэр $\dfrac{\fbox{d}}{\fbox{bc}}$-тэй тэнцүү.

Тригонометрийн давхар функц агуулсан тэгшитгэлүүд

$\tg\left(\dfrac{3\pi}2+\dfrac{\pi\sqrt2}4\sin x\right)=1$ тэгшитгэлийг бод.
$\ctg\left(-\dfrac{3\pi}2+\dfrac{\pi\sqrt3}9\cos x\right)=-\dfrac1{\sqrt3}$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin\left(\dfrac{3\pi}2\cos x\right)=-\dfrac12$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin\left(\dfrac{4\pi}3\sin x\right)=\dfrac12$ тэгшитгэлийг бод.
$\tg(4\sin x)=\sqrt3, \dfrac\pi2< x< \dfrac{3\pi}2$ тэгшитгэлийг бод.
$\cos\left(\dfrac1{\sin x}\right)=\dfrac12$ тэгшитгэлийг бод.

Тригонометрийн урвуу функц агуулсан тэгшитгэлүүд

$2(\arcsin x)^2+\pi^2=2\pi\arcsin x$ тэгшитгэлийг бод.
$4\arcctg\dfrac{3x-1}{x+3}=\pi$ тэгшитгэлийг бод.
$9(\arccos2x)^2-3\pi\arccos2x-2\pi^2=0$ тэгшитгэлийг бод.
$2\arcsin2x=\arccos7x$ тэгшитгэлийг бод.
$\cos\big(\frac{\pi}{4}-\arcsin\big(\frac12\big)\big)$ илэрхийллийн утгыг ол.

A. $\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{8}$     B. $\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$     C. $\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{2}$     D. $\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{8}$     E. $0$    
$\arccos(\cos230^\circ)$-ыг градусаар илэрхийл.

A. $100^\circ$     B. $110^\circ$     C. $130^\circ$     D. $160^\circ$     E. $230^\circ$    
$\sin\Big(\arccos\dfrac25\Big)=?$

A. $\dfrac25$     B. $\dfrac35$     C. $\dfrac{\sqrt{3}}{5}$     D. $\dfrac{\sqrt{21}}{5}$     E. $-\dfrac{3\sqrt{2}}{5}$    
$\cos\Big(\arcsin\dfrac{\sqrt3}{2}\Big)=?$

A. $\dfrac12$     B. $-\dfrac12$     C. $\dfrac32$     D. $\dfrac{\sqrt3}2$     E. $-\dfrac{\sqrt3}2$    
$\arctg\dfrac13+\arctg\dfrac12=?$

A. $\dfrac{\pi}{3}$     B. $\dfrac{\pi}{4}$     C. $\dfrac{\pi}{6}$     D. $\dfrac{\pi}{2}$     E. $\dfrac{3\pi}{4}$    
$x=\sqrt{\fbox{a}}$ нь $\arccos\dfrac x2=2\arctg (x-1)$ тэгшитгэлийн шийд болно.
$\arccos x-\pi=\arcsin\dfrac{4x}{3}$ тэгшитгэл $x=-\dfrac{\fbox{b}}{\fbox{a}}$ шийдтэй.
$\arctg 2x+\arctg 3x=\dfrac{3\pi}{4}$ тэгшитгэл $x=\fbox{a}$ шийдтэй.
$2\arccos \left(-\dfrac x2\right) =\arccos(x+3)$ тэгшитгэл $x=\fbox{ab}$ шийдтэй.

Тригонометрийн хялбар тэгшитгэл

$\sin(35^{\circ}+x)=\dfrac{\sqrt2}{2}$ тэгшитгэлийн $-80^{\circ}< x< 0^\circ$ байх шийдийг ол.
$\sqrt3\tg\Big(3x+\dfrac{\pi}{6}\Big)-3=0$ тэгшитгэлийн хамгийн бага эерэг шийдийг градусаар илэрхийл.
$\tg2x-\sin^27x=\cos^27x$ тэгшитгэл бод.
$\sin^22x=\dfrac34$, $0^{\circ}< x<45^\circ$ тэгшитгэлийг бод.
$1-4\sin^2\Big(5x-\dfrac{\pi}{3}\Big)=0$ тэгшитгэл бод.
$2\cos^2\Big(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac32x\Big)-1=0$ тэгшитгэл бод.
$3\tg^2(\pi x-\dfrac{\pi}{8})=1, \quad \dfrac32< x< 3$ тэгшитгэл бод.
$0^{\circ}\leq \theta< 360^{\circ}$ байх шийдүүд ба ерөнхий шийдийг ол.
  1. $\sin\theta=\dfrac 12$
  2. $\cos\theta=-\dfrac{\sqrt{3}}2$
  3. $\tg\theta=-\sqrt{3}$
$0^{\circ}\leq \theta< 360^{\circ}$ үед дараах тэгшитгэлийг бод.
  1. $\sqrt{2}\sin \theta=-1$
  2. $2\cos\theta=\sqrt{3}$
  3. $\sqrt{3}\tg \theta=1$
  4. $\sin \theta=1$
  5. $\cos \theta=0$
  6. $\tg \theta=0.$
$0^{\circ}\leq \theta< 360^{\circ}$ бол дараах тэнцэтгэл бишийг бод.
  1. $2\sin\theta>1$
  2. $2\cos \theta\geq -\sqrt{3}$
  3. $\tg \theta\leq -\sqrt{3}$
$\sqrt3\tg\Big(3x+\dfrac{\pi}{4}\Big)=1$ тэгшитгэл бод.

A. $x=\dfrac{\pi}{36}+\dfrac{\pi n}{3}$     B. $x=\dfrac{\pi}{24}+\dfrac{\pi n}{3}$     C. $x=-\dfrac{\pi}{36}+\pi k$     D. $x=-\dfrac{\pi}{24}+\dfrac{\pi n}{3}$     E. $x=-\dfrac{\pi}{36}+\dfrac{\pi n}{3}$    
$\sin^22x=\dfrac12$ тэгшитгэл бод.

A. $x=(-1)^k\cdot\dfrac{\pi}8+\dfrac{\pi k}{2},k\in\mathbb Z$     B. $x=(-1)^{k+1}\cdot\dfrac{\pi}8+\dfrac{\pi k}{2},k\in\mathbb Z$     C. $x=\dfrac{\pi}8+\dfrac{\pi k}{2},k\in\mathbb Z$     D. $x=\dfrac{\pi}8+\dfrac{\pi k}{4},k\in\mathbb Z$     E. $x=\dfrac{3\pi}8+\dfrac{\pi k}{2},k\in\mathbb Z$    
$\sin^22x=\dfrac34$ тэгшитгэлийн $0^{\circ}\le x$ байх хамгийн бага шийдийг ол.

A. $15^\circ$     B. $30^\circ$     C. $60^\circ$     D. $120^\circ$     E. $150^\circ$    
$0^\circ\le \theta< 360^\circ$ үед $\sqrt2\sin\theta=-1$ тэгшитгэлийг бод.

A. $\theta=30^\circ, 330^\circ$     B. $\theta=225^\circ, 315^\circ$     C. $\theta=0^\circ$     D. $\theta=\pm90^\circ$     E. $\theta=45^\circ, 135^\circ$    
$\sin5x=\cos35^\circ$ байх бүх $x$ хурц өнцгүүдийн нийлбэрийг ол.

A. $36^\circ$     B. $94^\circ$     C. $108^\circ$     D. $119^\circ$     E. $180^\circ$    
$y=\dfrac{\tg x+\ctg x}{1-\cos 2x}$ функцийн тодорхойлогдох мужийг ол.

A. $x\ne \dfrac{\pi k}{8}$     B. $x\ne\dfrac{\pi k}{2}$     C. $x\ne \pi k$     D. $x\ne \dfrac{\pi k}{3}$     E. $x\ne \dfrac{\pi k}{4}$    
$\cos x=\dfrac{\sqrt3}{2}$ тэгшитгэл бод.

A. $\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi k$     B. $(-1)^k\dfrac{\pi}{6}+\pi k$     C. $\dfrac{\pi}{3}+\pi k$     D. $(-1)^{k-1}\dfrac{\pi}{3}+\pi k$     E. $\pm\dfrac{\pi}{6}+2\pi k$    
$\tg(x-2\pi)=\sqrt{3}$ тэгшитгэл бод.

A. $x=2\pi-\dfrac{\pi}{3}+\pi k$     B. $x=\dfrac{\pi}{3}+\pi k$     C. $x=\dfrac{\pi}{6}+\pi k$     D. $x=2\pi+\dfrac{\pi}{6}+2\pi k$     E. $x=-\dfrac{\pi}{3}+\pi k$    
$\cos\alpha=\dfrac14$ бол $\big(\sin\alpha;\sin\big(\alpha-\frac{\pi}{4}\big)\big)$ завсрыг ол.

A. $\bigg(\dfrac{\sqrt{15}}{4};\dfrac{\sqrt2(\sqrt{15}-1)}{8}\bigg)$     B. $\bigg(\dfrac{\sqrt{15}}{2};\dfrac{\sqrt{3}-1}{4}\bigg)$     C. $\bigg(\dfrac{\sqrt{15}}{8};\dfrac{\sqrt2(\sqrt{15}+1)}{4}\bigg)$     D. $\bigg(\dfrac{\sqrt{15}}{16};\dfrac{\sqrt3(\sqrt{6}-1)}{4}\bigg)$     E. $1$    
$2\sin(\pi x)=\sqrt{3}$ тэгшитгэлийг бод.

A. $x=\pm\dfrac13+k$     B. $x=(-1)^k\cdot\dfrac16+k$     C. $x=(-1)^k\cdot\dfrac13+k$     D. $x=\pm\dfrac16+k$     E. $x=\pm\dfrac12+k$    
Косинус нь $-1$-тэй тэнцүү өнцгүүд аль нь вэ?

A. $-\pi+\pi k$     B. $\pi(2k+1)$     C. $2\pi k$     D. $\dfrac{\pi}{2}+\pi k$     E. $\dfrac{\pi}{2}+\pi k$    
$2\cos^2x-\sin x=1$ тэгшитгэлийн хамгийн бага эерэг шийд аль нь вэ?

A. $\dfrac{\pi}{4}$     B. $\dfrac{\pi}{6}$     C. $\dfrac{\pi}{2}$     D. $\dfrac{\pi}{3}$     E. $\dfrac{3\pi}{2}$    
$\cos\Big(x-\dfrac{\pi}{3}\Big)=\dfrac{\sqrt3}{2}$ тэгшитгэлийн шийд болох тоо аль нь вэ?

A. $\dfrac{\pi}{6}$     B. $\dfrac{\pi}{3}$     C. $\dfrac{7\pi}{6}$     D. $-\dfrac{\pi}{6}$     E. $\pi$    
$\cos x=-\dfrac{\sqrt3}{2}$ тэгшитгэл бод.

A. $\pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k$     B. $(-1)^k\dfrac{5\pi}{6}+\pi k$     C. $\dfrac{2\pi}{3}+\pi k$     D. $(-1)^{k-1}\dfrac{2\pi}{3}+\pi k$     E. $\pm\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k$    
$\sin^2(90^\circ+x)+3\sin^2(180^\circ+x)=2$ тэгшитгэлийн $90^\circ\le x\le 180^\circ$ завсарт байх бүх шийдийг ол.

A. $90^\circ$     B. $45^\circ$     C. $180^\circ$     D. $135^\circ$     E. $120^\circ$    
$\cos^2(90^\circ+x)+3\cos^2(180^\circ+x)=2$ тэгшитгэлийн $90^\circ\le x\le 180^\circ$ завсарт байх бүх шийдийг ол.

A. $90^\circ$     B. $225^\circ$     C. $150^\circ$     D. $180^\circ$     E. $135^\circ$    
$\sin^22x=\dfrac12$ тэгшитгэл бод.

A. $x=(-1)^k\cdot\dfrac{\pi}8+\dfrac{\pi k}{2},k\in\mathbb Z$     B. $x=(-1)^{k+1}\cdot\dfrac{\pi}8+\dfrac{\pi k}{2},k\in\mathbb Z$     C. $x=\dfrac{\pi}8+\dfrac{\pi k}{2},k\in\mathbb Z$     D. $x=\dfrac{\pi}8+\dfrac{\pi k}{4},k\in\mathbb Z$     E. $x=\dfrac{3\pi}8+\dfrac{\pi k}{2},k\in\mathbb Z$    
$\cos x=\dfrac{\sqrt3}{2}$ тэгшитгэлийн $180^\circ\le x\le 360^\circ$ байх шийд аль нь вэ?

A. $300^\circ$     B. $210^\circ$     C. $270^\circ$     D. $390^\circ$     E. $330^\circ$    
$\sin x=-\dfrac{\sqrt3}{2}$ тэгшитгэлийн $90^\circ\le x\le 270^\circ$ байх шийд аль нь вэ?

A. $240^\circ$     B. $120^\circ$     C. $270^\circ$     D. $180^\circ$     E. $210^\circ$    
$ x^2 +2ax+a+2>0 $ тэнцэтгэл биш бүх бодит тоо $ x$ -ийн хувьд үнэн байх тооны утгын мужийг олоорой.

A. $ -2<a<1 $     B. $ a<-2$, $a>1 $     C. $ a<-1$, $ a>2$     D. $ -1<a<2 $     E. $ a>-2$    
$3\sin2x - 7\cos^2 x = 1$ тэгшитгэл $[-\pi,\pi]$ завсарт хэдэн шийдтэй вэ?

A. $ 4$     B. $ 2$     C. $ 6$     D. $ 1$     E. $ 0$    
$4\sin2x - 14\cos^2 x = 1$ тэгшитгэл $[-\pi,\pi]$ завсарт хэдэн шийдтэй вэ?

A. $ 1$     B. $ 2$     C. $ 6$     D. $ 4$     E. $ 0$    
$4\sin2x - 14\cos^2 x = 1$ тэгшитгэл $[-\pi,\pi]$ завсарт хэдэн шийдтэй вэ?

A. $ 1$     B. $ 2$     C. $ 6$     D. $ 4$     E. $ 0$    
$f(x)=2\cos^3x-6\sin^2x\cos x+3$ функцийг хялбарчилбал $f(x)=2\cos(\fbox{a}x)+3$ болох тул $f\big(\frac\pi9\big)=\fbox{b}$, $f(x)$-ийн үндсэн үе $T_0=\dfrac{\fbox{c}\pi}{\fbox{d}}$, $f(x)=4$ тэгшитгэлийн хамгийн бага эерэг шийд нь $x=\dfrac{\pi}{\fbox{e}}$ байна.
$f(x)=(\sqrt3\sin x+3\cos x)^2$ байг.
  1. $f(x)=\fbox{a}\sin(2x+\fbox{bc}^\circ)+\fbox{d}$ болно.
  2. $f(x)=1$ тэгшитгэлийн $0^\circ\le x<360^\circ$ байх шийдийн тоо $\fbox{e}$ ширхэг байна. Эдгээр шийдээс хамгийн их, багыг нь харгалзан $\alpha$, $\beta$ гэвэл $\alpha+\beta=\fbox{fgh}^\circ$ байна.

Туслах өнцөг оруулах арга

$5\sin x-12\cos x+13\sin 3x=0$ тэгшитгэл бод.
$4\cos x+4\sin x$ илэрхийллийн хамгийн их утгыг ол.

A. $4\sqrt2$     B. $8\sqrt2$     C. $4$     D. $8$     E. $\sqrt2$    
$\cos x+\sqrt3\sin x= 2$ тэгшитгэлийг бод.

A. $\dfrac{\pi}{3}+\pi k$     B. $\dfrac{\pi}{4}+\pi k \cup -\dfrac{\pi}{4}+\pi k$     C. $\dfrac{\pi}{4}+2\pi k$     D. $\dfrac{\pi}{4}+\pi k$     E. $-\dfrac{\pi}{3}+\pi k$    
$\sin x+\cos x=1$ тэгшитгэлийн $0\le x<2\pi$ нөхцөл хангах шийдүүдийн нийлбэрийг ол.

A. $\dfrac{\pi}{2}$     B. $\dfrac{3\pi}{4}$     C. $\pi$     D. $\dfrac{7\pi}{4}$     E. $2\pi$    
$y(x)=|\cos x-a|+\sin x$ функцийн хувьд

1) $a=1$ бол $\left\{ % \begin{array}{l} y(x)=0 \\ \sin x\ne 0 \\ \end{array} % \right.$ системийг бодвол $x=-\fbox{ab}^{\circ}+\fbox{cde}^{\circ}\cdot k (k\in \mathbb Z)$ болно.

2) $a=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ бол дээрх системийн эерэг хамгийн бага 2 шийдийн нийлбэр $\fbox{fgh}^{\circ}$-тэй тэнцүү.
$f(x)=\cos2\pi x-\sqrt3\sin2\pi x$ функц өгөгджээ.
  1. $f(x)=\fbox{a}\cos\left(2\pi x+\dfrac{\pi}{\fbox{b}}\right)$ хэлбэрт оруулсан.
  2. Үндсэн үе нь $\fbox{c}$ байна.
  3. $f(x)\ge 1$ тэнцэтгэл бишийн шийд $\left[-\dfrac{\fbox{d}}{\fbox{e}}+n;n\right]$ байна. Энд $\forall n\in\mathbb Z$ байна. ($\fbox{e}<6$)
$f(x)=\sqrt3\sin2\pi x+\cos2\pi x$ функц өгөгджээ.
  1. $f(x)=\fbox{a}\sin\left(2\pi x+\dfrac{\pi}{\fbox{b}}\right)$ хэлбэрт оруулсан.
  2. Үндсэн үе нь $\fbox{c}$ байна.
  3. $f(x)\ge 1$ тэнцэтгэл бишийн шийд $\left[\fbox{d}+n;\dfrac{1}{\fbox{e}}+n\right]$ байна. Энд $\forall n\in\mathbb Z$ байна.
  4. $f(x)$ функцийн $x_0=1$ абсцисстай $M$ цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэл $$y-\fbox{f}=2\sqrt{\fbox{g}}\pi(x-1)$$

Үржвэрийг нийлбэрт хувиргах томьёо ашиглан бодох тэгшитгэл

$\cos6x\cdot\cos7x=\cos8x\cdot\cos9x$ тэгшитгэлийг бодоорой.

Бодолт. Үржвэр тус бүрийг нийлбэрт шилжүүлвэл:

$\dfrac{1}{\fbox{a}}(\cos\fbox{bc}+\cos x)=\dfrac{1}{\fbox{a}}(\cos\fbox{de}x+\cos x)$ буюу $\cos\fbox{bc}x-\cos\fbox{de}x=0$ болно. Энэ ялгаврыг үржвэрт шилжүүлвэл $2\cdot\sin\fbox{fg}x\cdot\sin\fbox{h}x=0$ тул $$\left[\begin{array}{c}\sin\fbox{fg}x=0\\ \sin\fbox{h}x=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{c}x=\dfrac{k\pi}{\fbox{fg}}\\ x=\dfrac{n\pi}{\fbox{h}}\end{array}\right. (k,n\in\mathbb Z)$$

Үржигдэхүүнд задалж бодох бодлогууд

$\sin2x\sin x-0,5\sin x-\sin 2x=-\dfrac12$ тэгшитгэлийг бод.
$\tg 5x=\sin^2x\tg5x$ тэгшитгэлийг бод.
$\cos\left(\dfrac{2\pi}3-\dfrac x2\right)=5\sin\left(\dfrac x2-\dfrac\pi3\right)$ тэгшитгэлийг бод.
$\left(1-2\cos^2\Big(\dfrac{7\pi}2+x\Big)\right)\cos3x=\cos\left(\dfrac{5\pi}2-x\right)\cos4x+\sin x\cos2x, 0\le x\le\dfrac\pi2$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin^3x-\sin^2x=\sin^2x\cos^2x$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin2x\cos2x-\sin x\cos x=0$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin x+\cos x=\dfrac1{\sin x}$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin x\cos3x-1=\sin x-\cos3x$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin x=2\sin^3x-\cos2x$ тэгшитгэлийг бод.
$2\cos x+\cos2x+1=2\left(\cos^2\dfrac x2+\cos^2\dfrac{3x}2\right)$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin 4x=2\cos^2 x-1$ тэгшитгэлийг бод.
$2\cos x+\sin x=1+\sin 2x$ тэгшитгэлийг бод.
$2\cos^2x-\sin2x+4\sin^2x=2$ тэгшитгэлийг бод.
$6\sin^2(\pi-x)+\dfrac{\sqrt3}2\sin2x+7\cos^2(\pi-x)=6$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin(2x+120^\circ)=\cos(x+15^\circ)-1, 0^\circ< x< 75^\circ$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin4x+\cos^2x=\sin^2x, |x|< 2$ тэгшитгэлийг бод.
$6-10\cos^2x+4\cos2x=\sin2x$ тэгшитгэлийг бод.
$\cos^22x=1+\sin2x\sin4x, -\dfrac{3\pi}2\le x\le \dfrac\pi2$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin\left(\dfrac\pi3+x\right)=\dfrac{\sin\Big(\dfrac{7\pi}3+x\Big)}{\cos\Big(\dfrac\pi3\Big)\cos x}, -\pi< x< 2\pi$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin^3x\cos3x+\cos^3x\sin3x=\sin^3x\sin3x+\cos^3x\cos3x$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin2x+2\sin x=1+\cos x$ тэгшитгэлийн $[-4,-3]$ муж дахь шийдийн тоог ол.
$\cos x\cos\dfrac x2\cos\dfrac{3x}2-\sin x\sin\dfrac x2\dfrac{3x}2=0,5; 0^\circ< x< 40^\circ$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin x93\sin2x\sin^3x=12\sin2x\sin x-16\cos x)+2\sin4x=0$ тэгшитгэлийг бод.
$3\cos4x+2\cos2x(10\cos^4x+3\cos^2x+\sin^2x)+3=0$ тэгшитгэлийг бод.
$2\sin^5x-\sin^3x+3\cos2x=0$ тэгшитгэлийг бод.
$(\cos x-1)(\sin x-\dfrac12\cos2x-1)=\sin^2x$ тэгшитгэлийг бод.
$(2\sin x-1)\left(\cos x+2\sin2x+\dfrac12\right)=3-4\cos^2x$ тэгшитгэлийг бод.
$\dfrac{\sin2x-\dfrac45\cos x+1}{\sin\Big(\dfrac x2\Big)}=5\cos\dfrac x2, \dfrac{5\pi}6\le x\le2\pi$ тэгшитгэлийг бод.
$\ctg x-\tg x=\dfrac{\cos x-\sin x}{\dfrac12\sin2x}$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin6x+2\cos4x=2$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin x+\sin^2x+\sin^3x=\cos x+\cos^2x+\cos^3x$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin^2x+\sqrt6\cos x=3\cos^2x+\sqrt2\sin x$ тэгшитгэлийг бод.
$4(\sin^2x\sin2x-\sqrt3\sin^3x)+\dfrac32\cos2x\sin4x=3\sqrt3\sin x\cos^22x$ тэгшитгэлийг бод.
$\cos^2\left(\dfrac\pi4+5x\right)=\sin^2x\cos9x+\cos^2\left(\dfrac\pi4+4x\right)$ тэгшитгэлийн $\big[0,\dfrac\pi2\big]$ муж дахь шийдийн тоог ол.
$0,5(\sin 3x-\sin x)=\sin2x\cos x-4\sin^3x, -\dfrac\pi3\le x\le \dfrac{3\pi}2$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin14x-\sin12x+8\sin x-\cos13x=4$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin\dfrac{3x}2+2\cos x=2$ тэгшитгэлийг бод.
$2(\sin6x-\sin4x\sin2x)=\cos6x+\cos2x$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin2x+\sin4x=\sin x+2\cos x\sin4x$ тэгшитгэлийг бод.
$0^{\circ}\leq \theta< 360^{\circ}$ бол дараах тэгшитгэлийг бод.
  1. $\cos2\theta+3\sin \theta+1=0$
  2. $\sin 2\theta=\sin\theta$
  3. $\sin 3\theta+\sin 2\theta=0$
Дараах тэгшитгэлүүдийг бод.
  1. $\sin 2\theta+\cos\theta=0$, $0^{\circ}\leq \theta\leq 360^{\circ};$
  2. $\sin 2\theta=\sin\theta$, $0^{\circ}\leq \theta\leq 360^{\circ};$
  3. $\cos^24\theta=\cos^2\theta$, $0^{\circ}\leq \theta\leq 360^{\circ};$
  4. $\sin 2x+\sin x+2\cos x+1=0$, $0^{\circ}\leq x\leq 180^{\circ}.$
$\cos\theta+\cos 2\theta+\cos 3\theta=0$, $0^{\circ}\leq \theta< 360^{\circ}.$
$\sin^2x+\sin^22x=1$ тэгшитгэлийг бод.

A. шийдгүй     B. $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n$     C. $x=\dfrac\pi6+\pi n$     D. $x=\dfrac{\pi n}3$     E. $x=\dfrac\pi6+\dfrac{\pi n}3$    
$0< x< \pi, x\ne\dfrac{\pi}{2}$ бол $2\sin x-2\cos x+\tg x-1=0$ тэгшитгэл бод.

A. шийдгүй     B. $x=\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{2\pi}{3}$     C. $x=\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{2\pi}{3}$     D. $x=\dfrac{\pi}{4}$     E. $x=\dfrac{\pi}{6},\dfrac{2\pi}{3}$    
$\sin2x-\sin x-4\cos x-2=0$ тэгшитгэлийг бод.

A. $x=\dfrac{\pi}{3}+\pi k$     B. $x=2\pi k$     C. $x=\pi k$, $x=\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi k$     D. $x=\pm\dfrac{\pi}{4}+2\pi k$     E. $x=\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi k$    
$0,5\sin x\cos x-\cos^2x+0,5\sin x-\cos x=\sin^2x$ тэгшитгэл $[-3\pi,\pi]$ завсарт хэдэн шийдтэй вэ?

A. $3;$     B. $2;$     C. $1;$     D. $4;$    
$4\cos^3x-4\cos^2x-\cos(\pi+x)=1$ тэгшитгэл $[-5\pi,-\pi]$ завсарт хэдэн шийдтэй вэ?

A. $3;$     B. $2;$     C. $1;$     D. $4;$    
$\sin(5x-\pi)+\sin 2x\cdot \cos 3x=0$ тэгшитгэлийг бод.

A. $\dfrac{\pi k}{5}, \dfrac{\pi}{4}+\pi n$     B. $\pi k, \dfrac{\pi}{4}+\pi n$     C. $3\pi k, \dfrac{\pi}{2}+\pi n$     D. $\dfrac{\pi}{3}k, \dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{2}\cdot n$     E. $\dfrac{\pi}{6}k, \dfrac{\pi}{8}+\dfrac{\pi}{4}\cdot n$    
$\sin 6x+\cos 6x=1-2\sin 3x$ тэгшитгэлийн $\left[\dfrac{\pi}{6};\dfrac{\pi}{2}\right]$ завсар дахь шийдүүдийн нийлбэрийг ол.

A. $\frac{3\pi}{2};$     B. $\frac{\pi}{2};$     C. $\frac{2\pi}{3};$     D. $\pi;$    
$\sin^22x=\sin 3x+\sin x$ тэгшитгэлийн хамгийн бага эерэг шийд, хамгийн их сөрөг шийдийн үржвэрийг ол.

A. $-\dfrac{\pi^2}{6}$     B. $-\dfrac{2\pi^2}{3}$     C. $-\dfrac{\pi^2}{4}$     D. $-\dfrac{3\pi^2}{4}$     E. $-\dfrac{3\pi^2}{8}$    
$\cos x\sin 3x-\cos 5x\sin 7x=\dfrac 12\sin 4x$ тэгшитгэлийн $\left]\dfrac{\pi}{18};\dfrac{\pi}{3}\right[$ завсар дахь шийдүүдийн нийлбэрийг ол.

A. $\frac{2\pi}{3};$     B. $\frac{\pi}{2};$     C. $\pi;$     D. $\frac{3\pi}{4};$    
$\sin^2x=\dfrac{\sqrt3}2\sin2x$ тэгшитгэлийн $[0;\pi]$ завсар дахь шийдүүдийн нийлбэрийг ол.

A. $\dfrac{4\pi}{3}$     B. $\dfrac{3\pi}{4}$     C. $\dfrac{6\pi}{7}$     D. $\dfrac{4\pi}{5}$     E. $\dfrac{5\pi}{7}$    
$\sin2x\cdot\sin6x=\cos x\cdot\cos3x$ тэгшитгэл $[0;\pi]$ хэрчим дээр хэдэн шийдтэй вэ?

A. 11     B. 6     C. 12     D. 7     E. 8    
$\cos 7x+\cos 3x+2\sin^2x=1$ тэгшитгэлийн хамгийн их сөрөг шийд аль нь вэ?

A. $-\dfrac{\pi}{4}$     B. $-\dfrac{\pi}{8}$     C. $-\dfrac{\pi}{12}$     D. $-\dfrac{\pi}{15}$     E. $-\dfrac{\pi}{30}$    
$\sin x-1=\dfrac12\sin 2x-\cos x$ тэгшитгэлийн $0< x<\pi$ завсарт орших шийд нь аль вэ?

A. $\dfrac{\pi}{6}$     B. $\dfrac{\pi}{4}$     C. $\dfrac{\pi}{3}$     D. $\dfrac{\pi}{2}$     E. $\dfrac{2\pi}{3}$    
$\cos^2x=\dfrac12\sin2x$ тэгшитгэлийн $0^\circ\le x\le 90^\circ$ завсарт байх бүх шийдийн нийлбэрийг ол.

A. $45^\circ$     B. $60^\circ$     C. $90^\circ$     D. $135^\circ$     E. $150^\circ$    
$\cos^2x=\dfrac{\sqrt3}2\sin2x$ тэгшитгэлийн $0^\circ\le x\le 90^\circ$ завсарт байх бүх шийдийн нийлбэрийг ол.

A. $60^\circ$     B. $90^\circ$     C. $120^\circ$     D. $135^\circ$     E. $180^\circ$    
$\cos 2x-\cos 8x+\cos 6x=1$ бодвол $ x_1=\dfrac{\pi}{\fbox{a}}(\fbox{b}n+1), x_2=\dfrac{\pi n}{\fbox{c}}$ болно.
$f(x)=2(1-\cos^3 x)-(1-\cos x)^2-(1+\cos x+\cos^2x)^2$ гэж өгөгдсөн бол

1) $f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)-f(0)=\fbox{ab}$ болно.

2) $f(x)=0$ тэгшитгэл нь $x=\dfrac{\pi}{\fbox{c}}+\pi k, (k\in \mathbb Z)$ хэлбэрийн шийдтэй байна.

3) Эдгээрээс $[-\pi;\pi]$ завсарт $\fbox{d}$ ширхэг нь орших ба үржвэр нь $\dfrac{\fbox{ef}\pi^{\fbox{g}}}{\fbox{h}}$ байна.
$f(x)=(1-\sin x+\sin^2x)^2+(1+\sin x)^2-2(1+\sin^3 x)$ гэж өгөгдсөн бол

1) $f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)-f(0)=\fbox{a}$ болно.

2) $f(x)=0$ тэгшитгэл нь $x=\fbox{b}\pi k, (k\in \mathbb Z)$ хэлбэрийн шийдтэй байна.

3) Эдгээрээс $\left[-\dfrac{7\pi}{2};\dfrac{7\pi}{2}\right]$ завсарт $\fbox{c}$ шийдтэй байх ба тэдгээрийн нийлбэр нь $\fbox{d}$, үржвэр нь $\fbox{e}$, квадратуудын нийлбэр нь $\fbox{fg}\cdot \pi^{\fbox{h}}$ байна.