Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

Матриц

Тодорхойлогч
Мэдээллийг матриц хэлбэрээр илэрхийлэх, тэнцэх нөхцөл
Матрицын нэмэх, хасах, тоогоор үржих үйлдэл
Тэг болон нэгж матриц
Урвуу матриц
Шугаман тэгшитгэлийн системийг матриц ашиглан бодох
Матрицын үржих үйлдэл
Хувийн утга, хувийн вектор
Хувиргалтын матриц
Мөр ба багана дээрх элементар хувиргалтын матриц
$A^2$, $A$, $E$ матрицын холбоо

Тодорхойлогч

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$ матрицын тодорхойлогчийг ол.
$\begin{vmatrix} 1 & 3 & -1\\ 2 & 7 & -2\\ 5 & 8 & \phantom{-}4 \end{vmatrix}$ тодорхойлогчийг ол.

A. $1$     B. $-17$     C. $-9$     D. $17$     E. $9$    

Мэдээллийг матриц хэлбэрээр илэрхийлэх, тэнцэх нөхцөл

$2\times 3$ хэмжээтэй $\begin{pmatrix}1 & 0 & 5\\ 3 & 2 & 6\end{pmatrix}$ матрицын $(1, 3)$ ба $(2, 2)$ элементүүд хэдтэй тэнцүү вэ?
Дараах матрицуудын хэмжээсийг тодорхойл. $$A=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 4\\ \hfill 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 1 & 4\\ 2 & 5\\ 3 & 6 \end{pmatrix}, C=\begin{pmatrix} 1 & 0 & \hfill 2\\ 0 & 5 & -7\\ 2 & 0 & \hfill 9 \end{pmatrix} $$
$A$ матрицын $(i, j)$ элемент нь $a_{ij}$ гэдгийг ашиглан $a_{12}, a_{23}, a_{31}$ элементүүдийн үржвэрийг ол. 2-р мөр, 3-р багануудаас тогтох матрицууд нь юу вэ? $$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} $$
Матрицууд тэнцэх нөхцөлийг ашиглан $x, y, u, v$-г тус тус ол.

  1. $\begin{pmatrix} x & 1\\ 3 & 2+y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5 & u\\ u+v & 0 \end{pmatrix}$
  2. $\begin{pmatrix} x+y & u-v\\ u+v & x-y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 7 & -1\\ 5 & \hfill 1 \end{pmatrix}$
$A=\begin{pmatrix} \phantom{-}1 & 2 & -1\\ -3 & 3 & \phantom{-}6 \end{pmatrix}$ матрицын хувьд дараах өгүүлбэрүүдийн аль нь худал вэ?

A. Хэмжээс нь $2\times3$     B. $a_{12}\cdot a_{21}=-6$     C. Хамгийн бага элемент нь $-3$     D. $a_{32}=6$     E. Тодорхойлогчгүй    
$\begin{pmatrix} x+y & u-v\\ x-y & u+v \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 4 & -1\\ 9 & \phantom{-}4 \end{pmatrix}$ бол $x-u$ хэдтэй тэнцүү вэ?

A. $1$     B. $0$     C. $5$     D. $4$     E. $10$    
$\begin{pmatrix}y-15\\ 2y\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix} 3\\ 1\end{pmatrix}$ бол $(x,y)$-г ол.

A. $(6,3)$     B. $(-8,-4)$     C. $(-6,-3)$     D. $(3,6)$     E. $(-3,-6)$    

Матрицын нэмэх, хасах, тоогоор үржих үйлдэл

Дараах тохиолдолд $kA$ матрицыг ол.
  1. $k=2, \begin{pmatrix} -1 & \hfill 2\\ \hfill 3 & -4 \end{pmatrix}$
  2. $k=-1, A=\begin{pmatrix} \hfill 1 & 2 & -1\\ -3 & 1 & \hfill 0 \end{pmatrix}$
$A=\begin{pmatrix} 5 & -1\\ 0 & \hfill 2 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} \hfill 2 & 2\\ -4 & 6 \end{pmatrix}$ бол $3X-B=X+4A$ тэгшитгэлийг бодож $X$ матрицыг ол.
  1. $A, B$ нь матрицууд бол $2(3A-2B)-3(A-B)$ илэрхийллийг хялбарчил.
  2. $A=\begin{pmatrix} \phantom{-}2 & 1\\ -3 & 0 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} \phantom{-}5 & -1\\ -7 & \phantom{-}3 \end{pmatrix}$ тохиолдолд өмнөх илэрхийллийн утгыг ол.
$\begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ матрицын эсрэг матриц аль нь вэ?

A. $\begin{pmatrix} 3 & 1\\ 4 & 2 \end{pmatrix}$     B. $\begin{pmatrix} 2 & 4\\ 1 & 3 \end{pmatrix}$     C. $\begin{pmatrix} -1 & -3\\ -2 & -4 \end{pmatrix}$     D. $\begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 4 \end{pmatrix}^{-1}$     E. $\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{pmatrix}$    
$A=\begin{pmatrix} -1 & 0\\ \phantom{-}4 & 0\\ \phantom{-}1 & 3 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} 1 & 4\\ 2 & 5\\ 3 & 6 \end{pmatrix}$, $C=\begin{pmatrix} 0 & \phantom{-}2\\ 5 & -7\\ 0 & \phantom{-}9 \end{pmatrix}$ бол $3A+(2B-A)-4C$ матрицыг ол.

A. $\begin{pmatrix} \phantom{-}0 &\phantom{-} 0\\ -8 & \phantom{-}38\\ \phantom{-}8 & -18 \end{pmatrix}$     B. $\begin{pmatrix} \phantom{-}1 &\phantom{-}2\\ -2 & \phantom{-}38\\ \phantom{-}6 & -10 \end{pmatrix}$     C. $\begin{pmatrix} \phantom{-}6 &\phantom{-}24\\ -6 & \phantom{-}14\\ \phantom{-}8 & -10 \end{pmatrix}$     D. $\begin{pmatrix} \phantom{-}0 & 0\\ \phantom{-}8 & 10\\ -8 & 18 \end{pmatrix}$     E. $\begin{pmatrix} \phantom{-}6 &\phantom{-}14\\ -6 & \phantom{-}24\\ \phantom{-}8 & -10 \end{pmatrix}$    

Тэг болон нэгж матриц

$A=\begin{pmatrix}a & a+1\\ -a & -a\end{pmatrix}$ бол $A^2=-E$ байх $a$ параметрийн утгыг ол. $a$-ийн энэ утгад $A^3, A^4, A^{25}, A^{30}$ матрицууд ямар байх вэ?
$A=\begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix}$ матрицын хувьд $A^3=0$ бол
  1. $A$ матриц урвуугүй гэж батал.
  2. $A^2=(a+d)A$ болохыг батал.
  3. $A^2\neq 0$ байх $A$ матриц олдох уу?
$A=\begin{pmatrix}\phantom{-}a & \phantom{-}a+1\\ -a & -a\end{pmatrix}$ бол $A^2=-E$ байх $a$ параметрийн утгыг ол.

A. $-2$     B. $-1$     C. $0$     D. $1$     E. $2$    

Урвуу матриц

$A=\begin{pmatrix}a-1 & 5\\2 & a+2\end{pmatrix}$ матриц урвуутай байх $a$ параметрийн утгыг ол.
$\begin{pmatrix}2 & -2\\2 & -3\end{pmatrix}$ матрицын урвуу матрицыг ол.
$A$ нь урвуутай матриц ба $k\not=0$ бол $(kA)^{-1}=\dfrac{1}{k}A^{-1}$ болохыг батал.
$A=\begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix}$ матриц бол $AX=E$ байх $X$ матрицын хувьд $XA=E$ болохыг харуул.
Дараах матрицууд урвуутай эсэхийг тогтоож урвууг ол.
  1. $\begin{pmatrix}0 & 1\\1 & 0\end{pmatrix}$
  2. $\begin{pmatrix}1 & 3\\0 & 1\end{pmatrix}$
  3. $\begin{pmatrix}2 & 5\\1 & 3\end{pmatrix}$
  4. $\begin{pmatrix}2 & -3\\4 & -6\end{pmatrix}$
  5. $\begin{pmatrix}\phantom{-}2 & -3\\ -5 & \phantom{-}5\end{pmatrix}$
  6. $\dfrac15\begin{pmatrix}-3 & 4\\ \phantom{-}4 & 3\end{pmatrix}$
$A$ урвуутай матриц бол дараах өгүүлбэрүүдийг батал.
  1. Хэрэв $AB=AC$ бол $B=C$ байна.
  2. Хэрэв $A^2-A+E=0$ бол $A+A^{-1}=E$ байна.
$A$ нь $A^2=E$ байх матриц ба $t$ нь бодит тоо байг.
  1. $(A-tE)(A+tE)$ матрицыг ол.
  2. Хэрэв $t^2\not=1$ бол $A+tE$ матриц урвуутайг батал.
$A=\begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix}$ ба $A^\prime=\begin{pmatrix}a & c\\b & d\end{pmatrix}$ матрицууд $$AA^\prime=E\text{ ба }A^\prime A=E$$ нөхцөлүүдийг хангах бол $$a^2+b^2=c^2+d^2=1, ac+bd=0$$ ба $$a^2+c^2=b^2+d^2=1, ab+cd=0$$ болохыг батал.
Дараах матрицууд урвуутай эсэхийг тогтоож урвууг ол.

  1. $A=\begin{pmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{pmatrix}$
  2. $B=\begin{pmatrix}1 & 2\\3 & 6\end{pmatrix}$
$AB$ матрицын урвуу матриц нь $B^{-1}A^{-1}$ матрицтай тэнцүү болохыг батал.
$\begin{pmatrix}2 & 5\\3 & 7\end{pmatrix}X=\begin{pmatrix}2 & 3\\5 & 7\end{pmatrix}$ тэгшитгэлийг бод.
$\begin{pmatrix} 7 & 12\\ 5 & 10 \end{pmatrix}$ матрицын урвуу матрицыг ол.

A. $\begin{pmatrix} 7 & 5\\ 12 & 10 \end{pmatrix}$     B. $\begin{pmatrix} \phantom{-}7 & -12\\ -5 & \phantom{-}10 \end{pmatrix}$     C. $\begin{pmatrix} \phantom{-}10 & -12\\ -5 & \phantom{-}7 \end{pmatrix}$     D. $\dfrac{1}{10}\begin{pmatrix} \phantom{-}10 & -12\\ -5 & \phantom{-}7 \end{pmatrix}$     E. $\dfrac{1}{10}\begin{pmatrix} \phantom{-}7 & -12\\ -5 & \phantom{-}10 \end{pmatrix}$    
$\begin{pmatrix} 2-x & 3\\ 2 & 1-x \end{pmatrix}$ матриц урвуугүй байх $x$-ийн утгыг ол.

A. $x_1=-2$, $x_2=2$     B. $x_1=-1$, $x_2=4$     C. $x_1=-4$, $x_2=1$     D. $x_1=-1$, $x_2=0$     E. $x_1=-4$, $x_2=4$    
$\begin{pmatrix} 7 & 8\\ 6 & 7 \end{pmatrix} X=\begin{pmatrix} 3 & -4\\ 7 & -2 \end{pmatrix}$ бол $X$ матрицыг ол.

A. $\begin{pmatrix} 35 & 12\\ 31 & 10 \end{pmatrix}$     B. $\begin{pmatrix} -35 & -12\\ -31 & -10 \end{pmatrix}$     C. $\begin{pmatrix} -35 & -12\\ \phantom{-}31 & \phantom{-}10 \end{pmatrix}$     D. $\begin{pmatrix} -35 & 12\\ -31 & 10 \end{pmatrix}$     E. Ийм $X$ матриц олдохгүй    
$\begin{pmatrix}2 & -2\\2 & -3\end{pmatrix}$ матрицын урвуу матрицыг ол.

A. $\begin{pmatrix}-1.5 & -1\\1 & \phantom{-}1\end{pmatrix}$     B. $\begin{pmatrix}3 & -2\\2 & -2\end{pmatrix}$     C. $\begin{pmatrix}1.5 & -1\\1 & -1\end{pmatrix}$     D. $\begin{pmatrix}1.5 & -1\\-1 & \phantom{-}1\end{pmatrix}$     E. $\begin{pmatrix}-1.5 & 1\\-1 & 1\end{pmatrix}$    
$A=\begin{pmatrix}a-1 & 5\\2 & a+2\end{pmatrix}$ матриц урвуугүй байх $a$ параметрийн утгыг ол.

A. $a=-4$ эсвэл $a=3$     B. $a=-4$     C. $a=3$     D. $a=4$ эсвэл $a=-3$     E. $a=4$    
$A=\begin{pmatrix}a-1 & 2\\3 & a-2\end{pmatrix}$ матриц урвуугүй байх $a$ параметрийн утгыг ол.

A. $a=-4$ эсвэл $a=1$     B. $a=-4$     C. $a=1$     D. $a=4$ эсвэл $a=-1$     E. $a=4$    

Шугаман тэгшитгэлийн системийг матриц ашиглан бодох

$\left\{\begin{array}{c} 3x+7y=1\\ x+2y=0 \end{array}\right.$ тэгшитгэлийн системийг бод.
$\left\{ \begin{array}{c} \phantom{-}6x-5y+7z=3\\ -7x+6y-\phantom{7}z=1\\ \end{array} \right.$ тэгшитгэлийг урвуу матриц ашиглан бодъё. $$\begin{pmatrix} \phantom{-}6 & -5\\ -7 & \phantom{-}6 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3-7z\\ 1+z \end{pmatrix}$$ тул $$\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \fbox{a} & \fbox{b}\\ \fbox{c} & \fbox{d} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3-7z\\ 1+z \end{pmatrix}$$ байна. Иймд тэгшитгэлийн ерөнхий шийд $$(x,y,z)=(23-\fbox{ef}z,27-\fbox{gh}z,z)$$
$\left\{\begin{aligned} x+3y+\phantom{2}z&=5\\ x+2y-\phantom{2}z&=1\\ 2x-\phantom{2}y+2z&=2 \end{aligned}\right.$ систем тэгшитгэлийг матриц хэлбэрээр бичвэл аль тэгшитгэл гарах вэ?

A. $\begin{pmatrix} 0 & 3 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 2 & 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5\\ 1\\ 2 \end{pmatrix}$     B. $\begin{pmatrix} 0 & \phantom{-}3 & \phantom{-}0\\ 0 & \phantom{-}2 & -1\\ 2 & -1 & \phantom{-}2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5\\ 1\\ 2 \end{pmatrix}$     C. $\begin{pmatrix} 1 & \phantom{-}3 & \phantom{-}1\\ 1 & \phantom{-}2 & -1\\ 2 & -1 & \phantom{-}2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5\\ 1\\ 2 \end{pmatrix}$     D. $\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1\\ 1 & 2 & 1\\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5\\ 1\\ 2 \end{pmatrix}$     E. $\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1\\ 1 & 2 & 1\\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5\\ 1\\ 2 \end{pmatrix}$    

Матрицын үржих үйлдэл

$A=\begin{pmatrix} \cos 30^\circ & -\sin30^\circ\\ \sin30^\circ & \phantom{-}\cos30^\circ \end{pmatrix} $ матрицын 2 ба 3 зэргийг ол.
$A=\begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix}, P=\begin{pmatrix}0 & 0\\1 & 0\end{pmatrix}$ матрицууд байраа сольдог байх $\Longleftrightarrow$ $b=0, a=d$ болохыг батал.
$A^2, A, E$ матрицуудын хамаарлыг ашиглан дараах $A$ матрицын $A^3,A^4$-ийг ол.
  1. $\begin{pmatrix}1 & -1\\3 & -2\end{pmatrix}$
  2. $\begin{pmatrix}-2 & 7\\ \phantom{-}1 & 3\end{pmatrix}$
  3. $\begin{pmatrix}4 & -2\\2 & -1\end{pmatrix}$
Дараах $A$ матрицуудын хувьд $A^2, A^3, A^4$-ийг тус тус ол.
  1. $A=\begin{pmatrix}1 & \phantom{-}0\\0 & -2\end{pmatrix}$
  2. $A=\begin{pmatrix}1 & 0\\3 & 1\end{pmatrix}$
  3. $A=\begin{pmatrix}0 & -1\\1 & \phantom{-}0\end{pmatrix}$
$A, B$ нь дараах нөхцөлийг хангах матрицууд байг: $$A+B=\begin{pmatrix}3 & -2\\ 1 & \phantom{-}1\end{pmatrix}, A-B=\begin{pmatrix}1 & 2\\ 1 & 3\end{pmatrix}$$ Дараах матрицуудыг ол.
  1. $(A+B)(A-B)$
  2. $A^2-B^2$
$A=\begin{pmatrix}a & a+1\\ -a & -a\end{pmatrix}$ бол $A^2=-E$ байх $a$ параметрийн утгыг ол. $a$-ийн энэ утгад $A^3, A^4, A^{25}, A^{30}$ матрицууд ямар байх вэ?
$A=\begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix}$ матрицын хувьд $a+d=1, ad-bc=1$ нөхцөл биелэх бол $A^3=-E$ гэж батал.
$A=\begin{pmatrix} -2 & \phantom{-}1 & \phantom{-}4\\ \phantom{-}0 & \phantom{-}3 & -2\\ \phantom{-}2 & -1 & \phantom{-}1 \end{pmatrix}$ матрицын 2 ба 3 зэргийг ол.
$AB$, $BA$ матрицуудыг ол. Эдгээр нь байраа сольдог матрицууд мөн үү? $$A=\begin{pmatrix} 3 & \phantom{-}4 & \phantom{-}2\\ 2 & \phantom{-}1 & \phantom{-}3\\ 1 & -1 & -2 \end{pmatrix}\quad B=\begin{pmatrix} 1 & \phantom{-}6 & \phantom{-}10\\ 1 & -8 & -13\\ 1 & \phantom{-}7 & \phantom{-}11 \end{pmatrix}$$
Үржих үйлдлийг гүйцэтгэ.
  1. $\begin{pmatrix}1 & -2\\ 3 & \hfill 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\hfill 5 \\ -6 \end{pmatrix}$
  2. $\begin{pmatrix}2 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}3 & 4\\ 0 & 5 \end{pmatrix}$
  3. $\begin{pmatrix}1 & 2\\ 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$
$A=\begin{pmatrix}3 & -1\\7 & -2\end{pmatrix}$ матрицын 2, 3, 4 зэргийг ол.
$$AB=\begin{pmatrix}0 & 0\\0 & 0\end{pmatrix}, BA=\begin{pmatrix}0 & 0\\5 & 0\end{pmatrix} $$ болно.
$\begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix}$ матрицын хувьд $a+d=-1$, $ad-bc=1$ бол $A^3=E$ болохыг батал.
Let $A=a\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 1 & \hfill 1 \end{pmatrix}$ $(a>0)$ and $I=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ satisfy $A^4+I=\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}$.

Answer the following questions and write your answers in the boxes provided.
  1. Find $a$.
  2. Find the minimum positive integer $n$ such that $A^n\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}.$
  3. Find $A^{2014}$.
$A=\begin{pmatrix} \cos120^\circ & -\sin120^\circ\\ \sin120^\circ & \phantom{-}\cos120^\circ \end{pmatrix}$ бол $A^{2019}$-г ол.

A. $\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}$     B. $\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}$     C. $\begin{pmatrix} -1 & \phantom{-}0\\ \phantom{-}0 & -1 \end{pmatrix}$     D. $\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$     E. Бодох боломжгүй    
$A=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 4\\ \hfill 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} 1 & 4\\ 2 & 5\\ 3 & 6 \end{pmatrix}$ бол $A\cdot B$ матрицыг ол.

A. $\begin{pmatrix} 13 & 25\\ 12 & 27 \end{pmatrix}$     B. $\begin{pmatrix} 11 & 20\\ 11 & 23 \end{pmatrix}$     C. $\begin{pmatrix} -1 & 10\\ 12 & -3 \end{pmatrix}$     D. $\begin{pmatrix} 20 & 11\\ 21 & 32 \end{pmatrix}$     E. $\begin{pmatrix} 32 & -2\\ 11 & -2 \end{pmatrix}$    
$A=\begin{pmatrix}3 & -2\\ 1 & \phantom{-}1\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}1 & 2\\ 1 & 3\end{pmatrix}$ бол $AB-BA$ матрицыг ол.

A. $\begin{pmatrix}0 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}$     B. $\begin{pmatrix}-4 & -4\\ \phantom{-}0 & \phantom{-}4\end{pmatrix}$     C. $\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}$     D. $\begin{pmatrix}-4 & 0\\ -4 & 4\end{pmatrix}$     E. $\begin{pmatrix}4 & 0\\ 0 & 4\end{pmatrix}$    
$A=\begin{pmatrix} -1 & \phantom{-}1 & \phantom{-}2\\ \phantom{-}0 & \phantom{-}2 & -1\\ \phantom{-}1 & -1 & \phantom{-}1 \end{pmatrix}$ бол $A^3$ матрицыг ол.

A. $\begin{pmatrix} \phantom{-}3 & -1 & -1\\ -1 & \phantom{-}5 & -3\\ \phantom{-}0 & -2 & \phantom{-}4 \end{pmatrix}$     B. $\begin{pmatrix} -4&\phantom{-}2&\phantom{-}6\\ -2&\phantom{-}12&-10\\ \phantom{-}4&-8&\phantom{-}6 \end{pmatrix}$     C. $\begin{pmatrix} -1&\phantom{-}0&\phantom{-}3\\ -2&\phantom{-}9&-8\\ \phantom{-}8&-4&\phantom{-}2 \end{pmatrix}$     D. $\begin{pmatrix} -2&\phantom{-}3&\phantom{-}3\\ -2&\phantom{-}6&-8\\ \phantom{-}2&-6&\phantom{-}1 \end{pmatrix}$     E. $\begin{pmatrix} 1& 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$    
$\begin{pmatrix} 1 & \phantom{-}2 & 1\\ 2 & \phantom{-}3 & 0\\ 1 & -1 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3\\ 3\\ 10 \end{pmatrix}$ бол $x+y+z$-ийг ол.

A. $4$     B. $-4$     C. $8$     D. $12$     E. $16$    
$\begin{pmatrix} x & y\end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & h\\ h & b\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix}$ матрицын элементийг ол.

A. $ax^2+by^2$     B. $ax^2-hxy+by^2$     C. $ax^2+hxy+by^2$     D. $ax^2-2hxy+by^2$     E. $ax^2+2hxy+by^2$    
$A=\begin{pmatrix} 0 & 4\\ 1 & 3 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} 1 & -3\\ 2 & -1\\ \end{pmatrix}$ бол $A\cdot B$ матрицыг ол.

A. $\begin{pmatrix} 8 & -1\\ 1 & -1\end{pmatrix}$     B. $\begin{pmatrix} 0 & -1\\ 2 & -2\end{pmatrix}$     C. $\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}$     D. $\begin{pmatrix} -8 & 4\\ -7 & 6\end{pmatrix}$     E. $\begin{pmatrix} 8 & -4\\ 7 & -6\end{pmatrix}$    
$A=\begin{pmatrix} 0 & 4\\ 1 & 3 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} 1 & -3\\ 2 & -1\\ \end{pmatrix}$ бол $B\cdot A$ матрицыг ол.

A. $\begin{pmatrix} -3 & -5\\ -1 & \phantom{-}5 \end{pmatrix}$     B. $\begin{pmatrix} 0 & -1\\ 2 & -2\end{pmatrix}$     C. $\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}$     D. $\begin{pmatrix} -3 & 4\\ -7 & 6\end{pmatrix}$     E. $\begin{pmatrix} 8 & -4\\ 7 & -6\end{pmatrix}$    
$A=t\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 1 & \hfill 1 \end{pmatrix}$, $(t>0)$ ба $I=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ нь $A^4+I=\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ нөхцөлийг хангадаг байв. Тэгвэл
  1. $t=\dfrac{\sqrt{\fbox{a}}}{2}$ байна.
  2. $A^n\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}$ нөхцөлийг хангах хамгийн бага натурал $n$ тоо нь $\fbox{b}$ байна.
  3. $A^{2019}=\begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha\\ \sin\alpha & \phantom{-}\cos\alpha \end{pmatrix}$ бa $0\le\alpha<360^\circ$ бол $\alpha=\fbox{cde}^\circ$ байна.
$A=t\begin{pmatrix} \sqrt3 & -1\\ 1 & \hfill \sqrt3 \end{pmatrix}$, $(t>0)$ ба $I=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ нь $A^6+I=\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ нөхцөлийг хангадаг байв. Тэгвэл
  1. $t=\dfrac{1}{\fbox{a}}$ байна.
  2. $A^n\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}$ нөхцөлийг хангах хамгийн бага натурал $n$ тоо нь $\fbox{b}$ байна.
  3. $A^{2020}=\begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha\\ \sin\alpha & \phantom{-}\cos\alpha \end{pmatrix}$ бa $0\le\alpha<360^\circ$ бол $\alpha=\fbox{cde}^\circ$ байна.

Хувийн утга, хувийн вектор

$\begin{pmatrix}3 & 1\\2 & 4\end{pmatrix}$ матрицын хувийн утгуудыг ол.

Хувиргалтын матриц

$(1,0)$ цэгийг $(0,1)$ цэгт; $(0,1)$ цэгийг $(1,0)$ цэгт шилжүүлэх хувиргалтын матриц аль нь вэ?

A. $\begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & \phantom{-}0 \end{pmatrix}$     B. $\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$     C. $\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}$     D. $\begin{pmatrix} \phantom{-}0 & -1\\ -1 & \phantom{-}0 \end{pmatrix}$     E. $\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 0 & \phantom{-}1 \end{pmatrix}$    
Координатын эх дээр төвтэй цагийн зүүний эсрэг чиглэлд $\alpha$ өнцгөөр эргүүлэх хувиргалтын матрицыг ол.

A. $\begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha\\ \sin\alpha & \phantom{-}\cos\alpha \end{pmatrix}$     B. $\begin{pmatrix} 1 & -\alpha\\ \alpha & \phantom{-}1 \end{pmatrix}$     C. $\begin{pmatrix} \phantom{-}1 & \alpha\\ -\alpha & 1 \end{pmatrix}$     D. $\begin{pmatrix} \phantom{-}\cos\alpha & \sin\alpha\\ -\sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix}$     E. $\begin{pmatrix} 1 & \alpha\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$    
Координатын эх дээр төвтэй цагийн зүүний эсрэг $60^\circ$-ийн эргүүлэлт ба $\vec{\mathstrut v}=3\vec{\mathstrut i}+5\vec{\mathstrut j}$ векторын дагуух параллел зөөлтийг дараалан хэрэглэхэд $A(2,0)$ цэг ямар координаттай цэгт очих вэ?

A. $\begin{pmatrix} 3\\ 5 \end{pmatrix}$     B. $\begin{pmatrix} 1\\ \sqrt3 \end{pmatrix}$     C. $\begin{pmatrix} 4\\ 5-\sqrt3 \end{pmatrix}$     D. $\begin{pmatrix} 4\\ 5+\sqrt3 \end{pmatrix}$     E. $\begin{pmatrix} 5-\sqrt3\\ 4 \end{pmatrix}$    
$\begin{pmatrix} -1 & 0\\ \phantom{-}0 & 1 \end{pmatrix}$ аль хувиргалтын матриц вэ?

A. Цагийн зүүний эсрэг $90^\circ$ эргүүлэлт     B. Цагийн зүүний дагуу $90^\circ$ эргүүлэлт     C. Координатын эхийн хувь дахь төвийн тэгш хэм     D. $Ox$ тэнхлэгийн хувь дахь тэгш хэм     E. $Oy$ тэнхлэгийн хувь дахь тэгш хэм    

Мөр ба багана дээрх элементар хувиргалтын матриц

$\begin{pmatrix} \phantom{-}1 & \phantom{-}0 & 0\\ -2 & \phantom{-}1 & 0\\ \phantom{-}0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$

A. $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 1 & 0\\ 3 & 3 & 3 \end{pmatrix}$     B. $\begin{pmatrix} 1 & \phantom{-}0 & 1\\ 4 & -3 & 1\\ 7 & -6 & 1 \end{pmatrix}$     C. $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 3 & 3 & 3\\ 3 & 3 & 3 \end{pmatrix}$     D. $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 3 & 3 & 3 \\ 2 & 1 & 0\end{pmatrix}$     E. $\begin{pmatrix} 1 & 1 & \phantom{-}0\\ 4 & 1 & -3\\ 7 & 1 & -6\end{pmatrix}$    

$A^2$, $A$, $E$ матрицын холбоо

$A=\begin{pmatrix} -1 & 2\\ -2 & 3\end{pmatrix}$ матрицын хувьд $$A^2-\fbox{a}A+\fbox{b}E=0$$ биелэнэ. Түүнчлэн $$x^n=(x^2-\fbox{a}x+\fbox{b})Q(x)+nx+(1-n)$$ тул $$A^{10}=\begin{pmatrix} -\fbox{cd} & \fbox{ef}\\ -\fbox{ef} & \fbox{gh}\end{pmatrix}$$ байна.