Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

Тригонометр

Тригонометрийн тойрог, өнцгийн хэмжээ
Тригонометр функцийн тодорхойлолт, утга
Эмхэтгэлийн томьёо
Нийлбэр, ялгаврын синус, косинусын томьёо
Нийлбэр, ялгаврын тангес, котангесийн томьёо
Давхар өнцөг, хагас өнцгийн томьёо
Нийлбэр, ялгаврыг үржвэрт хувиргах томьёо
Үржвэрийг нийлбэр, ялгаварт хувиргах томьёо
Тригонометрийн урвуу функцийн утгууд
Туслах өнцөг оруулах арга
Тригонометрийн илэрхийлэл
Тригонометрийн адилтгал
Үндсэн адилтгал
Илэрхийллийг хялбарчил
Универсал орлуулга
Секанс, косеканс, котангес функцүүд

Тригонометрийн тойрог, өнцгийн хэмжээ

$\alpha=90^{\circ}\cdot k$ ба $\beta=30^{\circ}+60^{\circ}\cdot n$ , $k, n\in\mathbb{Z}$ хэлбэрийн томьёогоор илэрхийлэгдэх өнцгүүдийн давхцлыг ол.

A. $\pm30^{\circ}+180^{\circ}\cdot p$     B. $90^{\circ}+180^{\circ}\cdot p$     C. $180^{\circ}\cdot p$     D. $90^{\circ}+360^{\circ}\cdot p$     E. $90^{\circ}$    
$\dfrac{4\pi}{9}$ радиан өнцөг аль нь вэ?

A. $20^\circ$     B. $25^\circ$     C. $50^\circ$     D. $80^\circ$     E. $100^\circ$    
$\dfrac{\pi}{15}$ хэдэн градус өнцөг вэ?

A. $6^\circ$     B. $10^\circ$     C. $12^\circ$     D. $15^\circ$     E. $18^\circ$    
$27^\circ$ хэдэн радиан өнцөг вэ?

A. $\dfrac{13\pi}{20}$     B. $\dfrac{9\pi}{20}$     C. $\dfrac{11\pi}{20}$     D. $\dfrac{3\pi}{20}$     E. $\dfrac{7\pi}{10}$    
Зөв 17 өнцөгтийн оройн өнцгийн радиан хэмжээг ол.

A. $\dfrac{18\pi}{17}$     B. $\dfrac{13\pi}{17}$     C. $\dfrac{15\pi}{17}$     D. $\dfrac{15\pi}{34}$     E. $\dfrac{16\pi}{17}$    
$\dfrac{35\pi}{6}$ өнцөгтэй ижил синус, косинустай өнцгийг ол.

A. $\dfrac{5\pi}{8}$     B. $\dfrac{11\pi}{6}$     C. $\dfrac{\pi}{4}$     D. $\dfrac{\pi}{2}$     E. $\dfrac{\pi}{6}$    
$55^\circ$ градусыг радианаар илэрхийл.

A. $\dfrac{\pi}{3}$     B. $\dfrac{11\pi}{36}$     C. $\dfrac{5\pi}{11}$     D. $\dfrac{13\pi}{36}$     E. $\dfrac{2\pi}{7}$    
$75^\circ$ градусыг радианаар илэрхийл

A. $\dfrac{\pi}{2}$     B. $\dfrac{7\pi}{12}$     C. $\dfrac{5\pi}{6}$     D. $\dfrac{5\pi}{12}$     E. $\dfrac{3\pi}{4}$    
$25^\circ$ градусыг радианаар илэрхийл.

A. $\dfrac{\pi}{6}$     B. $\dfrac{7\pi}{36}$     C. $\dfrac{2\pi}{7}$     D. $\dfrac{5\pi}{36}$     E. $\dfrac{3\pi}{5}$    
$35^\circ$ градусыг радианаар илэрхийл.

A. $\dfrac{\pi}{6}$     B. $\dfrac{7\pi}{12}$     C. $\dfrac{5\pi}{21}$     D. $\dfrac{7\pi}{36}$     E. $\dfrac{3\pi}{19}$    
Зурагт үзүүлсэн $\alpha$ өнцгийн хувьд дараах хариултуудын аль үнэн бэ?

A. $\sin\alpha=\dfrac{1}{2}$, $\cos\alpha=\dfrac{\sqrt3}{2}$     B. $\sin\alpha=\dfrac{\sqrt3}{2}$, $\cos\alpha=-\dfrac{1}{2}$     C. $\sin\alpha=-\dfrac{1}{2}$, $\cos\alpha=\dfrac{\sqrt3}{2}$     D. $\sin\alpha=-\dfrac{\sqrt3}{2}$, $\cos\alpha=\dfrac{1}{2}$     E. $\sin\alpha=\dfrac{1}{2}$, $\cos\alpha=-\dfrac{\sqrt3}{2}$    

Тригонометр функцийн тодорхойлолт, утга

$\left(\dfrac13\right)^{-2}+\sin\dfrac{5\pi}{4}+(\sqrt2)^{-1}+\log_{\sqrt2}2$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\left(\sqrt{\Big(\sqrt5-\dfrac52\Big)^2}-\sqrt[3]{\Big(\dfrac32-\sqrt5\Big)^3}\right)^{\frac12}-\sqrt2\sin\dfrac{7\pi}4$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\left(\sqrt{\Big(\sqrt5-\dfrac32\Big)^2}+\sqrt[3]{(1-\sqrt5)^3}\right)^{2}+2^{-\frac32}\cos\dfrac{3\pi}4$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\sin(-330^{\circ}) $ илэрхийллийн утгыг ол.
$x=313,-313$ утгуудийн аль дээр $f(x)=\sin x$ функц эерэг утга авах вэ?
$\sin 30^\circ$-ийн утгыг ол.

A. $0$     B. $-1$     C. $0.5$     D. $\dfrac{\sqrt{2}}2$     E. $\dfrac{\sqrt{3}}2$    
$\sin45^\circ\cdot\cos30^\circ\cdot\sin60^\circ\cdot\ctg60^\circ\cdot\tg30^\circ\cdot\tg60^\circ=?$

A. $\dfrac{2\sqrt3}{4}$     B. $\dfrac{4\sqrt3}{7}$     C. $16$     D. $-16$     E. $\dfrac{\sqrt3}{4\sqrt2}$    
$3+\dfrac{\cos 15}{|\cos 15|}=\fbox{a}$ байна.
$3+\dfrac{\sin 15}{|\sin 15|}=\fbox{a}$ байна.
$\cos 36^{\circ}$-ийн утгыг дараах хоёр аргаар ол.
  1. $\theta=36^\circ$ гээд $\cos\theta$-ийн хувьд тэгшитгэл зохиож бод.
  2. Адил хажуут гурвалжны суурийн өнцгийн биссектрисийг ашиглан ол.
Дараах тригонометр функцийн утгыг ол.
  1. $\sin 690^{\circ}$
  2. $\cos(-120^{\circ})$
  3. $\tg (-585^{\circ})$
Дараах утгуудыг ол.
  1. $\sin 1020^{\circ}$
  2. $\cos (-240^{\circ})$
  3. $\tg 585^{\circ}$
2 талтай $ABCDE$ зөв таван өнцөгтийн $AD$, $CE$ диагоналиудын огтлолцлын цэгийг $F$ гэе .
  1. $DF$-ийн уртыг ол.
  2. $\sin 18^{\circ}$-ийн утгыг ол.
  3. $S_{ABCDE}$-ийг ол.
Нэгж тойрог дээрх $P(\cos \theta,\sin \theta);$ $Q(\cos2\theta,\sin 2\theta);$ $R(\cos 4\theta,\sin 4\theta)$ цэгүүдийн хувьд $PQ^2+QR^2$-ийн утгын мужийг ол. $0^{\circ}\le\theta< 360^{\circ}$
Дараах өнцгийн синус, косинус, тангесийн утгыг ол.
  1. $210^{\circ}$
  2. $-45^{\circ}$
  3. $-315^{\circ}$
  4. $720^{\circ}$
  5. $-570^{\circ}$
  6. $2220^{\circ}$
Дараах утгыг ол.
  1. $\sin(-210^{\circ})$
  2. $\cos510^{\circ}$
  3. $\tg(-330^{\circ})$
$0^{\circ}\leq x\leq 180^{\circ}$, $0^{\circ}\leq y\leq 180^{\circ} $ бол $\sin(x+y)$ ба $\sin{x}+\sin{y}$-ийг жиш, тэнцэх нөхцлийг ол.
$\sin 18^{\circ}$-ийн утгыг ол.
$\tg 135^\circ=?$

A. $\sqrt3$     B. $1$     C. $0$     D. $-1$     E. $-\sqrt{3}$    
Дараах тоонуудын аль нь $0\le\alpha\le\pi$ байх өнцгийн синус болж чадах вэ?

A. $-0.5$     B. $0.8$     C. $\sqrt3$     D. $-\sqrt3$     E. $\dfrac{4}{3}$    
$\tg 60^\circ$-ийн утга аль нь вэ?

A. $-\sqrt3$     B. $-\dfrac{\sqrt3}{3}$     C. $1$     D. $\dfrac{\sqrt3}{3}$     E. $\sqrt3$    
$y=\sin x+\cos x$ функцийн боломжит хамгийн их утга дараах тоонуудын аль нь вэ?

A. $-2$     B. $-\sqrt2$     C. $0$     D. $\sqrt2$     E. $2$    
Дараах тоонуудын аль нь III мужид байрлах $\alpha$ өнцгийн косинусын утга болж чадах вэ?

A. $0$     B. $\dfrac12$     C. $\dfrac{\sqrt3}{2}$     D. $-\dfrac{\sqrt3}{2}$     E. $-\sqrt3$    
$5\sin\dfrac{\pi}{6}-\ctg\dfrac{\pi}{4}$ утгыг ол.

A. $\dfrac{5\sqrt{3}}{2}-\dfrac{\sqrt2}{2}$     B. $3.5$     C. $\dfrac{5\sqrt{3}}{2}-1$     D. $1.5$     E. $2.5$    
$\cos45^\circ\cdot\sin30^\circ\cdot\cos60^\circ\cdot\tg60^\circ\cdot\ctg30^\circ\cdot\ctg60^\circ=?$

A. $\dfrac{\sqrt6}{8}$     B. $\dfrac{4\sqrt3}{9}$     C. $3$     D. $-3$     E. $\dfrac{\sqrt3}{4}$    

Эмхэтгэлийн томьёо

$\sin\alpha=\sqrt{0.2}$ бол $\cos(2\alpha-\pi)$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\tg\Big(\dfrac{3\pi}{2}+\alpha\Big)=\dfrac12$ бол $\sin2\alpha$ илэрхийллийн утгыг ол.

A. $\dfrac45$     B. $\dfrac14$     C. $-\dfrac45$     D. $-\dfrac14$     E. $\dfrac15$    
$\tg(\pi+\alpha)=-3$ бол $\sin4\alpha$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\cos2\alpha=\dfrac13$ бол $\tg\alpha\cdot\ctg\Big(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\Big)$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\sin(\pi-x)=a$ ба $x\in\Big[-\pi;-\dfrac{\pi}{2}\Big]$ бол $\ctg\Big(\dfrac{\pi}{2}-x\Big)$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\tg(\pi+x)=a$ ба $x\in\Big[\pi;\dfrac{3\pi}{2}\Big]$ бол $\cos\Big(\dfrac{\pi}{2}-x\Big)$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\sin(\alpha-90^{\circ})=\dfrac{5}{13}$ ба $\sin\alpha< 0$ бол $\tg2\alpha$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\tg\Big(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\Big)=5$ бол $A=\cos2\alpha+\sin2\alpha\tg\alpha+\ctg\alpha$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\cos\alpha=\dfrac{1}{\sqrt3}$ бол $\tg^{-2}\Big(\dfrac{7\pi}{2}+2\alpha\Big)$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\cos x=0.5$ бол $\ctg^2(630^{\circ}+2x)$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\sin\Big(\dfrac{\pi}{2}+2\alpha\Big)=a$ ба $\alpha\in\Big(\dfrac{3\pi}{2};2\pi\Big)$ бол $\tg\alpha+\ctg\alpha$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\sin2\alpha=-\dfrac{1}{\sqrt6}$ бол $\tg^{-2}(\dfrac{\pi}{2}+4\alpha)$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\sin2x=3^{-\frac12}$ бол $\dfrac{\sin^2(4x-540^{\circ})}{\cos^2(4x-540^{\circ})}$ илэрхийллийн утгыг ол.
$$32\cdot(\cos121^\circ\cdot\cos1^\circ+\sin59^\circ\cdot\cos89^\circ)$$ илэрхийллийн утгыг ол.

A. $32$     B. $-16$     C. $16$     D. $8$     E. $-8$    
$\sin(\alpha-30^\circ)$ нь аль илэрхийлэлтэй тэнцүү вэ?

A. $\sin(30^\circ-\alpha)$     B. $\sin(120^\circ+\alpha)$     C. $\sin(120^\circ-\alpha)$     D. $\cos(120^\circ-\alpha)$     E. $\cos(90^\circ-\alpha)$    
$0< t< \dfrac{\pi}{2}$ ба $\sin(4\pi+t)=\dfrac 35$ бол $\tg (\pi-t)=?$

A. $-\dfrac 54$     B. $-\dfrac34$     C. $-\dfrac 23$     D. $-\dfrac 43$     E. $-\dfrac 12$    
$\dfrac{3\pi}{2}< t< 2\pi$ ба $\cos (2\pi+t)=\dfrac{12}{13}$ бол $\ctg (\pi-t)=?$

A. $\dfrac{13}{5}$     B. $-\dfrac{13}{12}$     C. $-\dfrac{12}5$     D. $\dfrac{12}{5}$     E. $\dfrac{13}{12}$    
Дараах тригонометр функцийн утгыг ол.
  1. $\sin 690^{\circ}$
  2. $\cos(-120^{\circ})$
  3. $\tg (-585^{\circ})$
Дараах утгуудыг ол.
  1. $\sin 1020^{\circ}$
  2. $\cos (-240^{\circ})$
  3. $\tg 585^{\circ}$
Дараах өнцгийн синус, косинус, тангесийн утгыг ол.
  1. $210^{\circ}$
  2. $-45^{\circ}$
  3. $-315^{\circ}$
  4. $720^{\circ}$
  5. $-570^{\circ}$
  6. $2220^{\circ}$
Дараах тригонометр функцийн утгыг, хурц өнцгийн тригонометр функцээр илэрхийл.

  1. $\sin495^{\circ}$
  2. $\cos827^{\circ}$
  3. $\tg(-250^{\circ})$
Дараах утгыг ол.
  1. $\sin(-210^{\circ})$
  2. $\cos510^{\circ}$
  3. $\tg(-330^{\circ})$
$\alpha+\beta=\dfrac{\pi}{2}$ бол $\dfrac{\cos\alpha+\cos\beta}{\sin\alpha+\sin\beta}=?$

A. $-1$     B. $1$     C. $\sqrt3$     D. $-\sqrt3$     E. $0$    
$\cos 510^\circ=?$

A. $0$     B. $-\dfrac{1}{2}$     C. $-\dfrac{\sqrt2}{2}$     D. $-\dfrac{\sqrt3}{2}$     E. $-1$    
$\tg(-120^\circ)=?$

A. $-\dfrac{\sqrt3}{3}$     B. $-\sqrt3$     C. $\dfrac{\sqrt3}{2}$     D. $\dfrac{\sqrt3}{3}$     E. $\sqrt3$    
$\sin 690^\circ=?$

A. $-\dfrac{\sqrt3}{2}$     B. $-\dfrac12$     C. $0$     D. $\dfrac12$     E. $\dfrac{\sqrt3}{2}$    
$\cos^2 39^\circ+\cos^251^\circ$ утгыг ол.

A. $1$     B. $2\cos^239$     C. $2\cos^251$     D. $90^\circ$     E. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$    
$\sin(\alpha-30^\circ)$ нь аль илэрхийлэлтэй тэнцүү вэ?

A. $\sin(30^\circ-\alpha)$     B. $\sin(120^\circ+\alpha)$     C. $\sin(120^\circ-\alpha)$     D. $\cos(120^\circ-\alpha)$     E. $\cos(90^\circ-\alpha)$    
$\dfrac{3\pi}{2}< t< 2\pi$ ба $\cos (2\pi+t)=\dfrac{12}{13}$ бол $\ctg (\pi-t)=?$

A. $\dfrac{13}{5}$     B. $-\dfrac{13}{12}$     C. $-\dfrac{12}5$     D. $\dfrac{12}{5}$     E. $\dfrac{13}{12}$    

Нийлбэр, ялгаврын синус, косинусын томьёо

$\sin\alpha=-\dfrac{1}{3},\cos\beta=-\dfrac23 $ ба $\pi< \alpha,\beta< \dfrac{3\pi}{2}$ бол $\sin(\alpha+\beta)$-г ол.
$\sin\alpha=\dfrac{8}{17},\sin\beta=\dfrac{15}{17}$ ба $\alpha$, $\beta\in\big(\frac{\pi}{2};\pi\big)$ бол $\sin(\alpha+\beta)$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\sin\alpha=-\dfrac{12}{13}$, $\cos\beta=\dfrac{24}{25}$ ба $0<\beta<\dfrac{\pi}{2}$, $\pi<\alpha<\dfrac{3\pi}{2}$ бол $\sin(\alpha-\beta)=-0.\fbox{abc}\dots$ байна.
$\sin\alpha=\dfrac45$ ба $\dfrac{\pi}{2}< \alpha< \pi$ бол $\cos\Big(\dfrac{\pi}{3}+\alpha\Big)$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\sin\alpha=a$ ба $\alpha\in\Big[\dfrac{\pi}{2};\pi\Big]$ бол $\cos\Big(\alpha+\dfrac{\pi}{4}\Big)$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\cos\alpha=a$ ба $\alpha\in\Big(0;\dfrac{\pi}{4}\Big)$ бол $\sin2\alpha$, $\cos\Big(2\alpha+\dfrac{\pi}{4}\Big)$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\dfrac{\cos(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha-\beta)}=\dfrac13 $ бол $\tg\alpha\tg\beta$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\dfrac{\sin50^{\circ}\cdot\cos12^{\circ}-\sin40^{\circ}\cos78^{\circ}}{\cos68^{\circ}-\sqrt3\sin68^{\circ}}$ тооцоол.
$\cos x\cos2x-\sin x\sin2x=1$ тэгшитгэлийн $[0, 5]$ муж дахь $\sin2x>0$ байх шийдийн тоог ол.
$\sin\dfrac x2\cos\dfrac{3x}2-\dfrac1{\sqrt3}\sin2x=\sin\dfrac{3x}2\cos\dfrac x2$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin7x\cos x=\sin 6x$ тэгшитгэлийг бод.

A. $x=\pi n$     B. $x_1=\dfrac{\pi}{7}+\dfrac{2\pi n}7$, $x_2=2\pi n$     C. $x_1=\dfrac{\pi}{14}+\dfrac{\pi n}7$, $x_2=\pi n$     D. $x=\dfrac{\pi}{14}+\dfrac{\pi n}7$     E. $x=(-1)^k\arcsin\dfrac{6}{7}+\pi k$    
$\cos x\cos2x=\cos3x, 0^\circ< x< 180^\circ$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin x\sin5x=\cos4x$ тэгшитгэлийг бод.
$\dfrac{\cos3x}{\sin2x}+\sin x=0$ тэгшитгэлийг бод.
$\dfrac{\sin6x}{\sin x+\cos x}=\dfrac{\cos6x}{\cos x-\sin x}, 0< x< \dfrac\pi2$ тэгшитгэлийг бод.
$\left(\sin\Big(x+\dfrac\pi6\Big)+\cos\Big(x+\dfrac\pi3\Big)\right)^2=0,5(1+2\sin^2x)$ тэгшитгэлийн $x^2-2\pi x\le 0$ байх бүх шийдийг ол.
$5\sin x+12\cos x=13$ тэгшитгэлийг бод.
$1-2(\sin72^\circ\cos12^\circ-\sin18^\circ\cos78^\circ)^2$ илэрхийллийн утгыг ол.

A. $0.5$     B. $1$     C. $-1$     D. $0$     E. $-0.5$    
$$32\cdot(\cos121^\circ\cdot\cos1^\circ+\sin59^\circ\cdot\cos89^\circ)$$ илэрхийллийн утгыг ол.

A. $32$     B. $-16$     C. $16$     D. $8$     E. $-8$    
$\arccos\dfrac35+\arccos\dfrac5{13}=\arccos a$ бол $a$-г ол.

A. $\dfrac{12}{13}$     B. $\dfrac45$     C. $\dfrac23$     D. $-\dfrac{37}{65}$     E. $-\dfrac{33}{65}$    
$\sin 76^\circ\cos14^{\circ}-\cos76^\circ\sin 14^\circ=?$

A. $\cos 62^\circ$     B. $0$     C. $1$     D. $\cos 28^\circ$     E. $\sin 28^\circ$    
$\cos75^\circ\cos15^\circ+\sin 75^\circ\sin15^\circ=?$

A. $\dfrac{\sqrt3}2$     B. $\dfrac{\sqrt2}2$     C. $\dfrac12$     D. $0$     E. $-0.5$    
$\cos(30^{\circ}+45^{\circ})=\cos 75^{\circ}$-ийг ашиглан $\cos 75^\circ$-ийг ол.

A. $\displaystyle\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$     B. $\displaystyle\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$     C. $\displaystyle\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2}$     D. $\displaystyle\frac{\sqrt{3}-\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$     E. $\frac12$    
$\cos24^\circ\cdot\cos36^\circ-\sin 24^\circ\cdot\sin 36^\circ=?$

A. $0.5$     B. $\dfrac{\sqrt2}{2}$     C. $\cos 12^\circ$     D. $\dfrac{\sqrt3}{2}$     E. $\sin 12^\circ$    
$\sin75^\circ$ илэрхийллийн утгыг ол.

A. $\dfrac{\sqrt2}{2}$     B. $\dfrac{\sqrt{5}}{2}$     C. $\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$     D. $\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$     E. $\dfrac{\sqrt3-\sqrt2}{4}$    
$\alpha$ нь I мужийн өнцөг ба $\sin\alpha=\dfrac{5}{13}$, $\beta$ нь III мужийн өнцөг ба $\cos\beta=-\dfrac{3}{5}$ гэе. $\sin(\alpha-\beta)=\dfrac{\fbox{ab}}{\fbox{cd}}$, $\sin(\alpha+\beta)=-\dfrac{\fbox{ef}}{\fbox{gh}}$.
$\dfrac{\sin3x}{\sin x}-\dfrac{\cos3x}{\cos x}=?$

A. $-3$     B. $-1$     C. $0$     D. $2$     E. $3$    
$\dfrac{\pi}{2}< \alpha< \pi,$ $\dfrac{\pi}{2}< \beta< \pi,$ $\sin\alpha=\dfrac 45,$ $\cos\beta=-\dfrac{15}{17}$ бол $\sin(\alpha+\beta)=?$

A. $-\frac{84}{85};$     B. $-\frac{7}{17};$     C. $-\frac{28}{85};$     D. $-\frac{12}{17};$    
$0< \alpha< \dfrac{\pi}{2}$, $\dfrac{3\pi}{2}< \beta< 2\pi$, $\sin\alpha=\dfrac{9}{41}$, $\sin\beta=-\dfrac{40}{41}$ бол $\cos(\alpha+\beta)=?$

A. $\dfrac{1600}{1681}$     B. $\dfrac{720}{1681}$     C. $\dfrac{360}{1681}$     D. $\dfrac{369}{1681}$     E. $\dfrac{365}{1681}$    
$\cos(\alpha+\beta)=\dfrac 13,$ $\cos(\alpha-\beta)=\dfrac 15$ бол $\tg\alpha\cdot \tg\beta$-г ол.

A. $\dfrac 12$     B. $\dfrac 13$     C. $-\dfrac12$     D. $-\dfrac14$     E. $-\dfrac13$    
$\sin\alpha+\sin\beta=1,$ $\cos\alpha+\cos\beta=\sqrt{2}$ бол $\cos(\alpha-\beta)=?$

A. $\dfrac 13$     B. $\dfrac 12$     C. $\dfrac{1-\sqrt{2}}{2}$     D. $\dfrac{\sqrt{2}}{4}$     E. $-\dfrac12$    
$\sin\alpha=-\dfrac 35 \Bigl(|\alpha|< \dfrac{\pi}{2}\Bigr), \cos\beta=\dfrac{5}{13} \Bigl(-\pi< \beta< 0\Bigr)$ бол $\sin(\alpha-\beta)=\dfrac{\fbox{ab}}{\fbox{cd}}$ байна.
$\sin\alpha=-\dfrac 45 \Bigl(|\alpha|< \dfrac{\pi}{2}\Bigr),$ $\sin \beta=-\dfrac{12}{13} \left(\dfrac{\pi}{2}< |\beta|< \pi\right)$ бол $\cos(\alpha+\beta)=-\dfrac{\fbox{cd}}{\fbox{ab}}$ байна.
$2\sin 17x\cdot \sin 2x=\sqrt{a}-3-\cos 19x$ тэгшитгэл өгөгдөв.

1) Тэгшитгэлийг шийдтэй байлгах $a$ параметрийн утга нь $a\in [\fbox{a};\fbox{bc}]$ байна.

2) $a=16$ үед тэгшитгэлийн шийд нь $x=\dfrac{\fbox{d}}{\fbox{ef}}k\pi$ болох ба $[0.5;1.5]$ завсар дахь шийдүүдийн нийлбэр $\dfrac{\fbox{g}}{\fbox{h}}\pi$ байна.
$2\cos 15x\cdot \cos 3x=\sqrt{a}-2+\cos 18x$ тэгшитгэл өгөгдөв.

1) Тэгшитгэлийг шийдтэй байлгах $a$ параметрийн утга нь $a\in [\fbox{a};\fbox{b}]$ байна.

2) $a=9$ үед тэгшитгэлийн шийд нь $x=\dfrac{\fbox{c}}{\fbox{d}}k\pi$ болох ба $[0.4;2.2]$ завсарт шийдүүдийн нийлбэр $\dfrac{\fbox{e}}{\fbox{f}}\pi$ байна.
$0^\circ< x< 45^\circ$ нөхцлийг хангах дурын $x$-ийн хувьд $\sin 3x+t\sin 2x>0$ тэнцэтгэл биш биелэх $t$-ийн утгын мужийг ол.
Дараах утгыг ол.
  1. $\cos75^{\circ}$, $\tg75^{\circ}$
  2. $\sin15^{\circ}$, $\tg15^{\circ}$
  3. $\cos165^{\circ}$, $\tg165^{\circ}$
$\alpha$ нь I мужийн өнцөг ба $\sin\alpha=\dfrac5{13}$, $\beta$ нь III мужийн өнцөг ба $\cos\beta=-\dfrac 35$ гэе. $\sin(\alpha-\beta)=\ebox$, $\cos(\alpha+\beta)=\ebox$, $\cos(\alpha-\beta)=\ebox.$
$\sin\theta=s$, $\cos\theta=c$, $\tg\theta=t$ гэвэл
  1. $\cos4\theta$, $\cos5\theta$-ийг $c$-ээр илэрхийл.
  2. $\sin 5\theta$-ийг $s$-ээр илэрхийл.
  3. $\tg 3\theta$, $\tg 4\theta$-ийг $t$-ээр илэрхийл.
Зурагт дүрсэлсэн өнцгийн косинус хэд вэ?

A. $0$     B. $\dfrac{1}{\sqrt5}$     C. $-\dfrac{\sqrt2}{2}$     D. $\dfrac{\sqrt3}{2}$     E. $1$    
$\cos2\alpha=\dfrac{2}{3}$ бол $\sin^3\alpha\cdot\sin3\alpha+\cos^3\alpha\cdot\cos3\alpha$ илэрхийллийн утгыг ол.

A. $\dfrac49$     B. $\dfrac12$     C. $\dfrac8{27}$     D. $\dfrac13$     E. $\dfrac23$    
$\sin2x\cdot\cos4x-\cos2x\cdot\sin4x=0.5$ тэгшитгэлийн хамгийн их сөрөг шийд аль нь вэ?

A. $-15^\circ$     B. $-1^\circ$     C. $-30^\circ$     D. $-75^\circ$     E. $-1^\circ$    
$\alpha$, $\beta$ нь хурц өнцөг болно. $\cos\alpha=\dfrac{15}{17}$ ба $\cos\beta=\dfrac{3}{5}$ бол $\sin(\alpha+\beta)=?$

A. $\dfrac{84}{85}$     B. $\dfrac{56}{57}$     C. $\dfrac{7}{8}$     D. $\dfrac{37}{38}$     E. $\dfrac{99}{100}$    
$x$ ба $y$ нь II мужийн өнцгүүд ба $\sin x=\dfrac{2}{\sqrt{5}}$, $\sin y=\dfrac{3}{5}$ бол $\sin(x-y)$ хэдтэй тэнцүү вэ?

A. $-\dfrac{2\sqrt{5}}{25}$     B. $-\dfrac{\sqrt{5}}{25}$     C. $-\dfrac{2}{25}$     D. $-\dfrac{\sqrt{5}}{5}$     E. $-\dfrac{22}{25}$    
$\left\{\begin{array}{c}\sin x\cos y=\dfrac{\sqrt2}{4}\\ \cos x\sin y=\dfrac{\sqrt2}{4}\end{array}\right.$ систем тэгшитгэлийг бодъё: $$\sin(x+y)=\dfrac{\sqrt{\fbox{a}}}{\fbox{b}},\ \sin(x-y)=\fbox{c}$$ тул $$x+y=\dfrac{(-1)^n\pi}{\fbox{d}}+\pi n,\ x-y=\pi k$$ болно. Эндээс $x=\dfrac{(-1)^n\pi}{\fbox{e}}+\dfrac{(n+k)\pi}{\fbox{f}}$, $y=\dfrac{(-1)^n\pi}{\fbox{e}}+\dfrac{(n-k)\pi}{\fbox{f}}$ байна.
$\alpha$, $\beta$ нь хурц өнцөг болно. $\cos\alpha=\dfrac{15}{17}$ ба $\cos\beta=\dfrac{3}{5}$ бол $\cos(\alpha+\beta)=?$

A. $-\dfrac{13}{85}$     B. $-\dfrac{16}{57}$     C. $-\dfrac{3}{8}$     D. $-\dfrac{17}{38}$     E. $-\dfrac{33}{100}$    

Нийлбэр, ялгаврын тангес, котангесийн томьёо

$\tg\Big(\alpha+\dfrac{\pi}{6}\Big)=2$ бол $\dfrac{\sin\alpha-3\cos\alpha}{0.5\sin\alpha}$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\ctg\Big(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\alpha}{2}\Big)=3$ бол $\sin\alpha$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\tg(\alpha+\beta)=-1$ ба $\tg\alpha=3$ бол $\tg\beta$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\tg\beta=a$ , $2\tg(\alpha-\beta)=\tg\beta-\tg\alpha$ бол $\ctg(\alpha+\beta)$- ол.
$\tg\beta=b$, $1+\tg\alpha\tg\beta=4\ctg(\alpha-\beta)$ бол $\tg(\alpha+\beta)$-г ол.
$0< \alpha< \dfrac{\pi}{2},$ $0< \beta< \dfrac{\pi}{2},$ $\ctg\alpha=4,$ $\ctg\beta=\dfrac 53$ бол $\alpha+\beta=?$

A. $\dfrac{\pi}{4}$     B. $\dfrac{\pi}{3}$     C. $\dfrac{\pi}{2}$     D. $\dfrac{\pi}{6}$     E. $\dfrac{\pi}{12}$    
$0< \alpha< \dfrac{\pi}{2}$, $0< \beta< \dfrac{\pi}{2}$, $\tg\alpha=\dfrac 12$, $\tg\beta=\dfrac 13$ бол $\alpha+\beta=?$

A. $\dfrac{2\pi}{3}$     B. $\dfrac{\pi}{4}$     C. $\dfrac{\pi}{2}$     D. $\dfrac{5\pi}{6}$     E. $\dfrac{3\pi}{4}$    
$\tg\alpha=\dfrac 12$, $\tg\beta=\dfrac 13$ үед $\tg(\alpha-\beta)=\ebox$, түүнчлэн $\alpha$, $\beta$ хурц өнцөг үед $\alpha+\beta=\ebox$.
Эгц босоо хананд $5$м өндөртэй зураг өлгөв. Зурагны доод ирмэг газраас $1$м өндөрт байсан бол хананаас $2$м зайд байрлах, газар дээрх цэгээс энэ зурагны харагдах өнцгийг ол.
$\sin\theta=s$, $\cos\theta=c$, $\tg\theta=t$ гэвэл
  1. $\cos4\theta$, $\cos5\theta$-ийг $c$-ээр илэрхийл.
  2. $\sin 5\theta$-ийг $s$-ээр илэрхийл.
  3. $\tg 3\theta$, $\tg 4\theta$-ийг $t$-ээр илэрхийл.
бол $\tg\measuredangle BAC=?$

A. $\dfrac12$     B. $1$     C. $\dfrac32$     D. $2$     E. $\dfrac52$    
$\tg\alpha=\dfrac 12$, $\tg\beta=\dfrac 13$ үед $\tg(\alpha-\beta)=\dfrac{\fbox{a}}{\fbox{b}}$, түүнчлэн $\alpha$, $\beta$ хурц өнцөг үед $\alpha+\beta=\fbox{cd}^\circ$.

Давхар өнцөг, хагас өнцгийн томьёо

$\tg\alpha=\dfrac15$ бол $\cos2\alpha$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\sin\alpha=\sqrt{0.2}$ бол $\cos(2\alpha-\pi)$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\tg\alpha=0.5$ бол $3\tg2\alpha$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\tg\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac12$ бол $\cos\alpha$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\sqrt2\cos22.5^{\circ}\sin22.5^{\circ}$-ийг ол.
$\cos\alpha=\dfrac{7}{18}$ ба $\alpha\in\Big(0;\dfrac{\pi}{2}\Big)$ бол $21\cos\dfrac{\alpha}{2}$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\cos\alpha=-\dfrac45$ ба $\pi< \alpha< \dfrac{3\pi}{2}$ бол $\sin\dfrac{\alpha}{2}$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\sqrt3(1-2\sin^2735^{\circ})$ илэрхийллийн утгыг ол.

A. $-1.5$     B. $-1$     C. $0$     D. $1$     E. $1.5$    
$\cos\alpha=a$ ба $\alpha\in\Big[\dfrac{\pi}{2},\pi\Big]$ бол $\ctg\dfrac{\alpha}{2}$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\ctg\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac32$ бол $\tg\alpha$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\tg\Big(\dfrac{3\pi}{2}+\alpha\Big)=\dfrac12$ бол $\sin2\alpha$ илэрхийллийн утгыг ол.

A. $\dfrac45$     B. $\dfrac14$     C. $-\dfrac45$     D. $-\dfrac14$     E. $\dfrac15$    
$\tg(\pi+\alpha)=-3$ бол $\sin4\alpha$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\cos2\alpha=-0.28$ ба $\alpha\in\Big(\dfrac{\pi}{2};\pi\Big)$ бол $\ctg\alpha$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\cos2\alpha=\dfrac13$ бол $\tg\alpha\cdot\ctg\Big(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\Big)$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\cos\alpha=a$ ба $\alpha\in\Big(\pi;\dfrac{3\pi}{2}\Big)$ бол $\ctg\dfrac{\alpha}{2}$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\sin2\alpha=\dfrac13$ бол $\tg^2\Big(\dfrac{\pi}{4}-\alpha\Big)$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\cos\alpha=a$ ба $\alpha\in\Big(0;\dfrac{\pi}{4}\Big)$ бол $\sin2\alpha$, $\cos\Big(2\alpha+\dfrac{\pi}{4}\Big)$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\sin\alpha=\dfrac14$ ба $\dfrac{\pi}{2}< \alpha< \pi$ бол $\tg(2\alpha)$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\sin2\alpha=-0.6$ ба $135^{\circ}< \alpha< 180^{\circ}$ бол $\sin4\alpha$, $\cos4\alpha$, $\tg4\alpha$, $\ctg4\alpha$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\sin(\alpha-90^{\circ})=\dfrac{5}{13}$ ба $\sin\alpha< 0$ бол $\tg2\alpha$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\tg\alpha=0.3$ бол $\dfrac{1-\cos2\alpha+\sin2\alpha}{1+\cos2\alpha+\sin2\alpha}$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\tg\dfrac{\alpha}{2}=2$ бол $\dfrac{2\sin\alpha-\sin2\alpha}{2\sin\alpha+\sin2\alpha}$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\tg\Big(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\Big)=5$ бол $A=\cos2\alpha+\sin2\alpha\tg\alpha+\ctg\alpha$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\sin\alpha=-\dfrac{2}{\sqrt{11}}$ бол $\tg^22\alpha$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\cos x=0.5$ бол $\ctg^2(630^{\circ}+2x)$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\ctg x=-\dfrac45$ бол $\dfrac{\sin4x\cdot\cos2x }{(1+\cos2x)(1+\cos4x)}$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\tg\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac12$ бол $\sin^4\alpha-\cos^4\alpha$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\sin2\alpha=-\dfrac{1}{\sqrt6}$ бол $\tg^{-2}(\dfrac{\pi}{2}+4\alpha)$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\sin2x=3^{-\frac12}$ бол $\dfrac{\sin^2(4x-540^{\circ})}{\cos^2(4x-540^{\circ})}$ илэрхийллийн утгыг ол.
$4\sin^2\alpha+3\sin2\alpha=4\cos^2\alpha $ ба $\dfrac{\pi}{2}< \alpha< \pi$ бол $\sin2\alpha$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\sin\alpha+\cos\alpha=\dfrac12$ бол $\sin2\alpha$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\alpha$, $\beta$ нь параллелограммын хөрш өнцгүүд ба $\dfrac{\sqrt3}{2}(\sin\alpha+\sin\beta)=\sin(\alpha-\beta)$ бол $\alpha$, $\beta$-г ол.
$\cos^2\dfrac{x}{2}=a^2$ ба $x\in(\pi,\dfrac{5\pi}{4})$ бол $\sin2x$-г ол.
$\ctg^2\alpha-3\ctg\alpha-10=0$ ба $0< \alpha< \dfrac{\pi}{4}$ бол $\dfrac{174}{3+4\cos2\alpha}$-г ол.
$\tg\dfrac{\alpha}{2}=1$ бол $\sqrt{\dfrac{2\sin\alpha-\sin2\alpha}{2\sin\alpha+\sin2\alpha}}$-г ол.
$\alpha$-ийн ямар утганд $2\sin\alpha=\sin2\alpha$ байх вэ?
Хэрэв $\cos\beta=\dfrac{10}{11}$ ба $270^\circ\le\beta\le360^\circ$ бол $\sin2\beta\cdot\cos\beta$ тоон утгыг ол.

A. $\dfrac{200\sqrt{21}}{1331}$     B. $\dfrac{100\sqrt{21}}{121}$     C. $\dfrac{200\sqrt{21}}{121}$     D. $-\dfrac{200\sqrt{21}}{1331}$     E. $-\dfrac{100\sqrt{21}}{121}$    
$8\cdot\cos10^\circ\cdot\cos20^\circ\cdot\cos40^\circ$ хялбарчил.

A. $\tg 10^\circ$     B. $2\tg10^\circ$     C. $2\ctg10^\circ$     D. $\frac12\ctg10^\circ$     E. $\ctg10^\circ$    
$\tg\alpha=\dfrac12$ бол $\cos 2\alpha=?$

A. $0.6$     B. $\dfrac{3}{4}$     C. $\dfrac{4}{3}$     D. $\dfrac{4}{5}$     E. $-\dfrac{4}{5}$    
$\tg 20^\circ=a$ бол $\cos 40^\circ$ аль нь вэ?

A. $\dfrac{2a}{1+a^2}$     B. $\dfrac{1-a^2}{1+a^2}$     C. $\dfrac{1}{\sqrt{1-a^2}}$     D. $\dfrac{1}{\sqrt{1+a^2}}$     E. $\dfrac{1}{1+a^2}$    
$\sin22.5^\circ$-ийн утгыг ол.

A. $\sqrt2-1$     B. $\dfrac{\sqrt{2-\sqrt2}}{2}$     C. $\dfrac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2}$     D. $0.67$     E. $\sqrt{3}-\sqrt{2}$    
$\sin^440^\circ-\cos^440^\circ=?$

A. $\cos80^\circ$     B. $\sin80^\circ$     C. $\cos100^\circ$     D. $\sin100^\circ$     E. $1$    
$\dfrac{1-\cos 25^{\circ}+\cos 50^{\circ}}{\sin 50^{\circ}-\sin 25^{\circ}}-\tg 65^{\circ}$ илэрхийллийг хялбарчил.

A. $0$     B. $-1$     C. $1$     D. $0.5$     E. $-0.5$    
$\dfrac{\pi}{4}< x< \dfrac{\pi}{2}$ ба $\sin 2x=\dfrac 35$ бол $\tg x=?$

A. $3$     B. $2$     C. $\dfrac 32$     D. $\dfrac 52$     E. $1$    
$\pi< x< \dfrac{5\pi}{4}$ ба $\tg 2x=\dfrac 34$ бол $\cos x=?$

A. $-\frac3{\sqrt{10}};$     B. $-\frac 2{\sqrt{5}};$     C. $-\frac4{\sqrt{10}};$     D. $-\frac 3{2\sqrt{5}};$    
$8\cos^4x-\cos 4x=1$ тэгшитгэл $-\dfrac 43< x< 5$ нөхцөлийг хангадаг хэдэн шийдтэй вэ?

A. $5$     B. $4$     C. $3$     D. $2$     E. $1$    
$\bar{a}(2;3)$ ба $\bar{b}(4;-8)$ векторуудын хоорондох өнцөг $\alpha$ гэвэл $1+\cos2\alpha=\dfrac{\fbox{cd}}{\fbox{ab}}$ байна.
$1$ радиустай тойрог багтаасан зөв $n$ өнцөгтийн $(n\geq 3)$ периметрийг $2a_n$, мөн 1 радиустай тойрогт багтсан зөв $n$ өнцөгтийн периметрийг $2b_n$ гэе.
  1. $a_n$, $b_n$-г $n$-ээр илэрхийл.
  2. $0^{\circ}< \theta< 90^{\circ}$ үед дараах тэнцэтгэл биелэгдэхийг харуул. $$\sin \theta=\dfrac{\tg\theta}{\sqrt{1+\tg^2\theta}}, \tg\dfrac{ \theta}2=\dfrac{\tg\theta}{1+\sqrt{1+\tg^2\theta}}.$$
  3. $a_{12}$, $b_{12}$-ийн утгыг ол.
  1. $90^{\circ}< \alpha< 180^{\circ}$, $\sin\alpha=\dfrac 35$ бол $\cos2\alpha$, $\sin2\alpha$, $\tg\dfrac{\alpha}{2}$-ийн утгыг ол.
  2. $t=\tg\dfrac{\theta}{2}$ бол дараах адилтгалыг батал. $$\sin\theta=\dfrac{2t}{1+t^2}, \cos\theta=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}, \tg\theta=\dfrac{2t}{1-t^2}.$$
$\sin 22.5^{\circ}$, $\cos 22.5^{\circ}$, $\tg 22.5^{\circ}$ утгыг ол.
$0^{\circ}< \alpha< 180^{\circ}$, $\cos\alpha=\dfrac 5{13}$ бол $2\alpha$, $\dfrac{\alpha}{2}$-ийн $\sin$, $\cos$, $\tg$-г ол.
$\dfrac{1-(\sin 20^\circ-\cos20^\circ)^2}{\cos40^\circ+\sin^220^\circ}$ илэрхийллийг хялбарчлаарай.

A. $3\tg20^\circ$     B. $2\ctg20^\circ$     C. $2\ctg40^\circ$     D. $2\tg20^\circ$     E. $2\tg40^\circ$    
$2\sin^215^\circ\cdot\ctg15^\circ=?$

A. $\dfrac12$     B. $\dfrac{\sqrt3}2$     C. $\dfrac14$     D. $\dfrac{\sqrt3}4$     E. $1$    
$\alpha$ нь $180^\circ<\alpha<270^\circ$ ба $\sin\alpha=-\dfrac{\sqrt5}{3}$ байх өнцөг бол $\tg\dfrac{\alpha}{2}$ хэд вэ?

A. $\dfrac{1-\sqrt5}{2}$     B. $-\sqrt5$     C. $\dfrac{\sqrt5-1}{2}$     D. $\sqrt5$     E. $3$    
$\sin\alpha+\cos\alpha=m$ бол $\sin2\alpha=?$

A. $m^2$     B. $m^2-1$     C. $\dfrac{m^2-1}{2}$     D. $-\dfrac{m^2-1}{2}$     E. $1-m^2$    
$\sin^2\dfrac{3\pi}{8}-\cos^2\dfrac{3\pi}{8}=?$

A. $\dfrac{\sqrt2}{2}$     B. $-1$     C. $0$     D. $-\dfrac{\sqrt2}{2}$     E. $1$    
$2\cos^215^\circ\cdot\tg15^\circ=?$

A. $\dfrac12$     B. $\dfrac{\sqrt3}2$     C. $\dfrac14$     D. $\dfrac{\sqrt3}4$     E. $1$    
$\alpha$ нь $180^\circ<\alpha<270^\circ$ ба $\cos\alpha=-\dfrac{1}{\sqrt{5}}$ байх өнцөг бол $\tg\dfrac{\alpha}{2}$ хэд вэ?

A. $\dfrac{\sqrt5+1}{2}$     B. $-\dfrac{\sqrt5+1}{2}$     C. $\dfrac{\sqrt5-1}{2}$     D. $\dfrac{1-\sqrt5}{2}$     E. $3$    
$\sin\alpha=\dfrac23$ бол $\cos2\alpha=?$

A. $\dfrac13$     B. $\dfrac19$     C. $-\dfrac13$     D. $-\dfrac19$     E. $\dfrac29$    
$\cos\theta\cdot\sin\theta=-\dfrac14$, $45^\circ <\theta<135^\circ$ бол $\cos\theta-\sin\theta$ ол.

A. $\dfrac{\sqrt3}{\sqrt2}$     B. $-\dfrac{\sqrt6}{2}$     C. $0$     D. $1$     E. $\dfrac23$    
$4\sin\varphi\cos\varphi\cos2\varphi$ хялбарчил.

A. $\cos4\varphi$     B. $\sin2\varphi$     C. $\cos2\varphi$     D. $\sin4\varphi$     E. $\frac12\sin4\varphi$    
$\dfrac{\pi}2\leq\theta\leq\pi$ байх $\theta$-ийн хувьд $\cos^2\theta-\sin^2\theta=\dfrac13$ бол $\tg\theta$-г ол.

A. $\sqrt2$     B. $\dfrac1{\sqrt2}$     C. $1$     D. $-\dfrac1{\sqrt2}$     E. $-\sqrt2$    
$\dfrac{\pi}2\leq\theta\leq\pi$ байх $\theta$-ийн хувьд $\sin^2\theta-\cos^2\theta=\dfrac13$ бол $\tan\theta$-г ол.

A. $\sqrt2$     B. $\frac1{\sqrt2}$     C. $1$     D. $-\frac1{\sqrt2}$     E. $-\sqrt2$    
$2\cos^222.5^\circ-1$ илэрхийллийн утгыг тооцоолоорой.

A. $\dfrac{\sqrt3}{2}$     B. $\dfrac{\sqrt2}{2}$     C. $\dfrac{1}{2}$     D. $\dfrac{1-\sqrt2}{4}$     E. $\dfrac{1+\sqrt2}{4}$    
$1-2\sin^222.5^\circ$ илэрхийллийн утгыг тооцоолоорой.

A. $\dfrac{\sqrt3}{2}$     B. $\dfrac{\sqrt2}{2}$     C. $\dfrac{1}{2}$     D. $\dfrac{1-\sqrt2}{4}$     E. $\dfrac{1+\sqrt2}{4}$    
$1-2\sin^215^\circ$ илэрхийллийн утгыг тооцоолоорой.

A. $\dfrac{1}{2}$     B. $\dfrac{\sqrt2}{2}$     C. $\dfrac{\sqrt3}{2}$     D. $\dfrac{1+\sqrt3}{2}$     E. $\dfrac{1-\sqrt3}{2}$    
$2\cos^215^\circ-1$ илэрхийллийн утгыг тооцоолоорой.

A. $\dfrac{\sqrt3}{2}$     B. $\dfrac{\sqrt2}{2}$     C. $\dfrac{1}{2}$     D. $\dfrac{1-\sqrt3}{2}$     E. $\dfrac{1+\sqrt3}{2}$    
$1-2\sin^215^\circ$ илэрхийллийн утгыг тооцоолоорой.

A. $\dfrac{1}{2}$     B. $\dfrac{\sqrt2}{2}$     C. $\dfrac{\sqrt3}{2}$     D. $\dfrac{1+\sqrt3}{2}$     E. $\dfrac{1-\sqrt3}{2}$    
$2\sqrt3(1-2\sin^2735^{\circ})$ илэрхийллийн утгыг ол.

A. $-3$     B. $3$     C. $0$     D. $2$     E. $-2$    
$2\sqrt3(1-2\cos^2735^{\circ})$ илэрхийллийн утгыг ол.

A. $-3$     B. $-2$     C. $0$     D. $2$     E. $3$    
$2\cos^275^\circ\cdot\tg75^\circ=?$

A. $\dfrac12$     B. $\dfrac{\sqrt3}2$     C. $1$     D. $\dfrac{\sqrt3}4$     E. $\dfrac14$    
$2\cos^222.5^\circ\cdot\tg22.5^\circ=?$

A. $1$     B. $\dfrac{\sqrt2}2$     C. $\dfrac12$     D. $\dfrac{\sqrt3}4$     E. $\dfrac14$    
$90^\circ<\alpha< 180^\circ$ $\cos \alpha=-\dfrac{4}{5}$ бол $\sin 2\alpha$ ол.

A. $1$     B. $\dfrac{3}{5}$     C. $-\dfrac{24}{25}$     D. $\dfrac{24}{25}$     E. $-\dfrac{3}{5}$    
$\sin^480^\circ-\cos^480^\circ=?$

A. $\cos20^\circ$     B. $\sin20^\circ$     C. $\cos80^\circ$     D. $\sin80^\circ$     E. $0$    

Нийлбэр, ялгаврыг үржвэрт хувиргах томьёо

$\alpha$, $\beta$ нь параллелограммын хөрш өнцгүүд ба $\dfrac{\sqrt3}{2}(\sin\alpha+\sin\beta)=\sin(\alpha-\beta)$ бол $\alpha$, $\beta$-г ол.
$\sin\left(x-\dfrac\pi6\right)-\sin\left(x+\dfrac{2\pi}3\right)=\cos\left(x+\dfrac\pi4\right)$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin3x+\sin7x=2\sin5x$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin x+\sin3x=\sin2x$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin3x=\cos x-\sin x$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin x-\sin3x=\sin4x-\sin2x$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin x-\sin3x-\sin5x+\sin7x=0$ тэгшитгэлийн $[0^\circ,360^\circ]$ муж дахь шийдийн тоог ол.
$\cos x-\sin\left(5x+\dfrac{3\pi}2\right)=\sqrt3\cos(3x+\pi)$ тэгшитгэлийг бод.
$\cos5x-\sin\left(3x-\dfrac\pi2\right)=\sqrt2\cos(4x+3\pi)$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin3x-\sin7x=\sqrt3\sin2x$ тэгшитгэлийг бод.
$\cos8x-4\sin6x-\cos4x=0$ тэгшитгэлийн $\big[\dfrac\pi2,\dfrac{5\pi}4\big]$ муж дахь шийдүүдийн нийлбэрийг градусаар илэрхийл.
$\sin x+\cos x=\sin3x+\cos3x=0$ тэгшитгэлийн хамгийн их сөрөг шийдийг градусаар илэрхийл.
$\sin x+\sin2x+\sin3x+\sin4x=0$ тэгшитгэлийг бод.
$\cos 2x+\cos4x+\cos x=0$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin2x+\sin3x+\sin5x=1$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin(x+30^\circ)+\cos(x=60^\circ)=1+\cos2x$ тэгшитгэлийг бод.
$\cos5x-\cos3x+\sin2x=0$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin x+\sin2x+\sin3x=\cos x+\cos2x+\cos3x$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin3x=\sin2x+\sin x, \dfrac\pi2< x< \pi$ тэгшитгэлийг бод.
$\cos5x+\cos7x=\cos(\pi+6x)$ тэгшитгэлийг бод.
$\sqrt{3}\sin2x+\cos x=\cos9x$ тэгшитгэлийн $\big[0,\dfrac{\pi}3\big]$ муж дахь шийдийн тоог ол.
$\sin3x-\sin4x-\cos7x=1$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin(3\pi2^x)=\cos(\pi2^x)-\sin(\pi2^x)$ тэгшитгэлийг бод.
$\cos6x=2\sin\left(\dfrac{3\pi}2+2x\right)$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin9x=2\sin3x$ тэгшитгэлийг бод.
$\dfrac{\cos x-\sin2x}{\cos3x}=1$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin75^\circ+\sin15^\circ=?$

A. $\dfrac{\sqrt6}{2}$     B. $\dfrac{\sqrt{3}}{4}$     C. $1$     D. $\dfrac{\sqrt6+1}{2}$     E. $\dfrac{\sqrt{3}+1}{4}$    
$\sin 87^{\circ}-\sin 59^{\circ}-\sin93^{\circ}+\sin61^{\circ}$-илэрхийллийг хялбарчил.

A. $\sin89^{\circ}$     B. $\sin 1^{\circ}$     C. $\cos29^{\circ}$     D. $\cos61^{\circ}$     E. $1$    
$\cos115^{\circ}-\cos 35^{\circ}+\cos65^{\circ}+\cos 25^{\circ}$ илэрхийллийг хялбарчил.

A. $\cos5^{\circ}$     B. $\sin5^{\circ}$     C. $\cos15^{\circ}$     D. $\sin 35^{\circ}$     E. $\sin105^\circ$    
$1+\sin x, \sin^2 x, 1+\sin 3x$ нь $x$-ийн ямар утганд арифметик прогрессийн дараалсан гурван гишүүн болох вэ?

A. $\dfrac{\pi}{2}+2\pi k, \pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi k$     B. $(-1)^{k}\dfrac{\pi}{6}+\pi k, \dfrac{\pi}{2}+\pi k$     C. $(-1)^{k+1}\dfrac{\pi}{3}+\pi k; \pi +2\pi k$     D. $\dfrac{\pi}{2}+\pi k, \dfrac{\pi}{6}+\pi k$     E. $\dfrac{\pi}{2}+\pi k, (-1)^{k+1}\dfrac{\pi}{6}+\pi k$    
$1+\cos x, \cos^2 x, 1-\cos 3x$ нь $x$-ийн ямар утганд арифметик прогрессийн дараалсан гурван гишүүн болох вэ?

A. $2\pi k, \pm \frac{\pi}{3}+2\pi k;$     B. $\pi k, \pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k;$     C. $\frac{\pi}{2}+\pi k, (-1)^k\frac{\pi}{6}+\pi k;$     D. $(-1)^{k+1}\frac{\pi}{3}+\pi k, \pi+2\pi k; (k\in Z)$    
$\sin x+\sin 2x+\sin 3x+\sin 4x=0$ бодвол $ x_1=\dfrac{\fbox{a}}{\fbox{b}}\pi k$, $ x_2=\pi(\fbox{c}k+1)$, $x_3=\dfrac{\pi}{2}(\fbox{d}k+1) (k\in \mathbb Z)$ болно.
Дараах утгыг ол.
  1. $\cos 15^{\circ}-\cos 75^{\circ}$
  2. $\sin40^{\circ}\cdot\cos70^{\circ}\cdot \sin 80^{\circ}$
Нийлбэр, үржвэрийн томъёог хэрэглэж, дараах утгыг ол.
  1. $\sin 75^{\circ}\cdot \cos 15^{\circ}$
  2. $\cos 45^{\circ}\cdot \sin 75^{\circ}$
  3. $\sin 105^{\circ}\cdot \sin 45^{\circ}$
  4. $\cos45^{\circ}\cdot \cos 75^{\circ}$
  5. $\sin 75^{\circ}+\sin 15^{\circ} $
  6. $\sin 75^{\circ}-\sin 15^{\circ}$
  7. $\cos 105^{\circ}+\cos 15^{\circ}$
  8. $\cos 105^{\circ}-\cos 15^{\circ}$
Илэрхийллийг хялбарчил.

  1. $\sin20^{\circ}\cdot \sin 40^{\circ}\cdot \sin80^{\circ}$

  2. $\cos 10^{\circ}+\cos 110^{\circ}+\cos 230^{\circ}$
$\cos15^\circ-\sin15^\circ=?$

A. $\dfrac{\sqrt2}{2}$     B. $\dfrac{\sqrt3-2}{2}$     C. $\dfrac{\sqrt2-1}{2}$     D. $\dfrac{\sqrt2+1}{2}$     E. $\dfrac{\sqrt6}{2}$    
$\sin75^\circ-\sin15^\circ=?$

A. $\dfrac12$     B. $\dfrac{\sqrt3}{4}$     C. $\dfrac{\sqrt2}2$     D. $\dfrac{\sqrt6-2}{2}$     E. $\dfrac{\sqrt3-1}{4}$    

Үржвэрийг нийлбэр, ялгаварт хувиргах томьёо

$8(\sqrt3-\sqrt2)\sin52^{\circ}30'\cdot\cos7^{\circ}30'$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\sin3x\cos x=\sin5x\cos3x$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin2x\cos5x-\sin3x\cos4x$ тэгшитгэлийг бод.
$\cos\pi x\sin7\pi x=\cos3\pi x\sin5\pi x$ тэгшитгэлийн $[1, 2]$ муж дахь шийдийн тоог ол.
$2\sin3x\sin2x-\cos x+1=0, -250^\circ< x< -200^\circ$ тэгшитгэлийг бод.
$2\sin2x\cos3x+\sin x+\cos2x=0$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin5x-1=2\sin x\cos 4x, -100^\circ< x< -10^\circ$ тэгшитгэлийг бод.
$2\cos5x\cos8x-\cos13x=0$ тэгшитгэлийн хамгийн бага эерэг шийдийг градусаар илэрхийл.
$2\sin x\sin8x=\cos7x, 150^\circ< x< 180^\circ$ тэгшитгэлийг бод.
$4\sin\left(x-\dfrac\pi3\right)\cos x=-\sqrt3, -1\le x\le 3$ тэгшитгэлийг бод.
$\cos(x+70^\circ)\cos(x+10^\circ)=\sin30^\circ$ тэгшитгэлийн $[-10^\circ, 170 ^\circ]$ муж дахь шийдийн тоог ол.
$\sin\left(x+\dfrac\pi4\right)\sin\left(x-\dfrac\pi4\right)=\dfrac14$ тэгшитгэлийг бод.
$2\sin x\cos 2x=\sin3x-\dfrac{\sqrt3}2$ тэгшитгэлийг бод.
$\cos(70^\circ+x)\cos(20^\circ-x)=\dfrac12, 0^\circ< x< 180^\circ$ тэгшитгэлийг бод.
$2\cos3x\sin x+2\cos^2\left(\dfrac\pi4-x\right)=1$ тэгшитгэлийг бод.
$2(\sin6x-\sin4x\sin2x)=\cos6x+\cos2x$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin x\sin3x=\dfrac12$ тэгшитгэлийг бод.
$\dfrac x2\cos{3x}2-\sin x\sin3x-\sin2x\sin3x$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin3x=4\sin x\cos2x$ тэгшитгэлийг бод.
$\dfrac{\cos3x}{\cos x}=\dfrac{\cos4x}{\cos2x}$ тэгшитгэлийн шийд аль нь вэ?

A. $k\pi$     B. $\dfrac{k\pi}{2}$     C. $2k\pi$     D. $-\dfrac{2\pi}{3}$     E. $\dfrac{2\pi}{3}$    
$2\cos140^\circ\cdot\sin(-40^\circ)$

A. $-\sin10^\circ$     B. $-\cos10^\circ$     C. $\cos10^\circ$     D. $\sin40^\circ$     E. $\cos20^\circ$    
$\cos 11x-\cos 7x\cdot \sin \left(\dfrac{13\pi}{2}-4x\right)=0$ тэгшитгэлийг бод.

A. $\frac{\pi k}{11}, \dfrac{\pi n}{7};$     B. $\frac{\pi k}{7}, \frac{\pi n}{4};$     C. $\frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{4}, \frac{\pi}{14}+\frac{\pi n}{7};$     D. $\frac{\pi}{14}+\frac{\pi k}{7}; (k,n\in Z)$    
Дараах утгыг ол.
  1. $\cos 15^{\circ}-\cos 75^{\circ}$
  2. $\sin40^{\circ}\cdot\cos70^{\circ}\cdot \sin 80^{\circ}$
Нийлбэр, үржвэрийн томъёог хэрэглэж, дараах утгыг ол.
  1. $\sin 75^{\circ}\cdot \cos 15^{\circ}$
  2. $\cos 45^{\circ}\cdot \sin 75^{\circ}$
  3. $\sin 105^{\circ}\cdot \sin 45^{\circ}$
  4. $\cos45^{\circ}\cdot \cos 75^{\circ}$
  5. $\sin 75^{\circ}+\sin 15^{\circ} $
  6. $\sin 75^{\circ}-\sin 15^{\circ}$
  7. $\cos 105^{\circ}+\cos 15^{\circ}$
  8. $\cos 105^{\circ}-\cos 15^{\circ}$
Илэрхийллийг хялбарчил.

  1. $\sin20^{\circ}\cdot \sin 40^{\circ}\cdot \sin80^{\circ}$

  2. $\cos 10^{\circ}+\cos 110^{\circ}+\cos 230^{\circ}$
\begin{align*} \sin 20^\circ\cdot\sin 40^\circ&\cdot\sin 80^\circ=\dfrac12(\cos\fbox{ab}^\circ-\cos\fbox{cd}^\circ)\cdot\sin80^\circ\\ &=\dfrac12\left(\dfrac12\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac12\sin\fbox{efg}^\circ-\dfrac12\sin80^\circ\right)=\dfrac{\sqrt{\fbox{h}}}{\fbox{i}} \end{align*}
$\cos 15^\circ+\cos 75^\circ$ илэрхийллийн утга аль нь вэ?

A. $\sqrt2$     B. $1$     C. $2\sqrt2$     D. $\dfrac{\sqrt6}{2}$     E. $\dfrac{\sqrt3}{2}$    
$2\sin7x\cdot\sin 3x=\sqrt{p}-2+\cos 4x$ тэгшитгэл өгөгдөв.
  1. Тэгшитгэлийг шийдтэй байлгах $p$ параметрийн утга нь $p\in[\fbox{a};\fbox{b}]$ байна.
  2. $p=9$ үед тэгшитгэлийн шийд нь $x=\dfrac{\pi}{\fbox{cd}}+\dfrac{\pi k}{\fbox{e}}$ байна.
$\sin7x\cdot\cos8x=\sin5x\cdot\cos6x$ тэгшитгэлийг бодоорой.

Бодолт. Үржвэр тус бүрийг нийлбэрт шилжүүлвэл:

$\dfrac{1}{\fbox{a}}(\sin\fbox{bc}x-\sin x)=\dfrac{1}{\fbox{a}}(\sin\fbox{de}x-\sin x)$ буюу $\sin\fbox{bc}x-\sin\fbox{de}x=0$ болно. Энэ ялгаварыг үржвэрт шилжүүлвэл $2\cdot\cos\fbox{fg}x\cdot\sin\fbox{h}x=0$ тул $$\left[\begin{array}{c}\cos\fbox{fg}x=0\\ \sin\fbox{h}x=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{c}x=\dfrac{\pi}{\fbox{fg}}(\frac12+n)\\ x=\dfrac{k\pi}{\fbox{h}}\end{array}\right. (k,n\in\mathbb Z)$$
$\sin9x\cdot\cos10x=\sin7x\cdot\cos8x$ тэгшитгэлийг бодоорой.

Бодолт. Үржвэр тус бүрийг нийлбэрт шилжүүлвэл:

$\dfrac{1}{\fbox{a}}(\sin\fbox{bc}x-\sin x)=\dfrac{1}{\fbox{a}}(\sin\fbox{de}x-\sin x)$ буюу $\sin\fbox{bc}x-\sin\fbox{de}x=0$ болно. Энэ ялгаварыг үржвэрт шилжүүлвэл $2\cdot\cos\fbox{fg}x\cdot\sin\fbox{h}x=0$ тул $$\left[\begin{array}{c}\cos\fbox{fg}x=0\\ \sin\fbox{h}x=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{c}x=\dfrac{\pi}{\fbox{fg}}(\frac12+n)\\ x=\dfrac{k\pi}{\fbox{h}}\end{array}\right. (k,n\in\mathbb Z)$$
$\cos7x\cdot\cos8x=\cos9x\cdot\cos10x$ тэгшитгэлийг бодоорой.

Бодолт. Үржвэр тус бүрийг нийлбэрт шилжүүлвэл:

$\dfrac{1}{\fbox{a}}(\cos\fbox{bc}+\cos x)=\dfrac{1}{\fbox{a}}(\cos\fbox{de}x+\sin x)$ буюу $\cos\fbox{bc}x-\cos\fbox{de}x=0$ болно. Энэ ялгаварыг үржвэрт шилжүүлвэл $2\cdot\sin\fbox{fg}x\cdot\sin\fbox{h}x=0$ тул $$\left[\begin{array}{c}\sin\fbox{fg}x=0\\ \sin\fbox{h}x=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{c}x=\dfrac{k\pi}{\fbox{fg}}\\ x=\dfrac{n\pi}{\fbox{h}}\end{array}\right. (k,n\in\mathbb Z)$$
$\cos6x\cdot\cos7x=\cos8x\cdot\cos9x$ тэгшитгэлийг бодоорой.

Бодолт. Үржвэр тус бүрийг нийлбэрт шилжүүлвэл:

$\dfrac{1}{\fbox{a}}(\cos\fbox{bc}+\cos x)=\dfrac{1}{\fbox{a}}(\cos\fbox{de}x+\sin x)$ буюу $\cos\fbox{bc}x-\cos\fbox{de}x=0$ болно. Энэ ялгаварыг үржвэрт шилжүүлвэл $2\cdot\sin\fbox{fg}x\cdot\sin\fbox{h}x=0$ тул $$\left[\begin{array}{c}\sin\fbox{fg}x=0\\ \sin\fbox{h}x=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{c}x=\dfrac{k\pi}{\fbox{fg}}\\ x=\dfrac{n\pi}{\fbox{h}}\end{array}\right. (k,n\in\mathbb Z)$$
$A=\sin\dfrac{\pi}{7}\cdot\sin\dfrac{2\pi}{7}\cdot\sin\dfrac{3\pi}{7}$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\sin 75^{\circ}\cdot \cos 15^{\circ}=?$

A. $\dfrac{2-\sqrt3}{4}$     B. $\dfrac{2+\sqrt3}{4}$     C. $\dfrac{1}{2}$     D. $\dfrac{\sqrt{2+\sqrt3}}{2}$     E. $\dfrac{\sqrt{2-\sqrt3}}{2}$    

Тригонометрийн урвуу функцийн утгууд

$\arcctg\Big(-\sqrt3\Big)+\arccos\Big(-\dfrac{\sqrt3}{2}\Big)+\arcsin1-\arcctg0$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\arcsin\Big(-\dfrac{1}{\sqrt2}\Big)-\arcctg\Big(-\dfrac{1}{\sqrt3}\Big)+\arccos\Big(-\dfrac{1}{2}\Big)+\arcctg1$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\tg\left(\arcctg\Big(-\dfrac{1}{\sqrt3}\Big)+\dfrac{\pi}{6}\right)$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\arctg(\tg130^{\circ})$ өнцгийг градусаар илэрхийл.

A. $-130^\circ$     B. $-50^\circ$     C. $50^\circ$     D. $130^\circ$     E. $40^\circ$    
$\tg(2\arccos\dfrac{12}{13})$ тооцоол.
$\sin(2.5\pi+\arcctg(0.75))$ тооцоол.
$\tg\Big(\arcsin\dfrac45+\dfrac{3\pi}{2}\Big)=-\dfrac{\fbox{a}}{\fbox{b}}$ тооцоол.
$\sin(2\arcctg(\dfrac13))+\cos(\arcctg2\sqrt2)$ тооцоол.
$\sqrt3(\sin\arccos(-\dfrac{1}{2}))$ тооцоол.
$\cos^2(2\arcctg(-2))$ тооцоол.
$\arccos(\sin5.3)-\dfrac{5\pi}{2}$-г тооцоол.
$\sqrt5\sin(\dfrac12\arcctg(-\dfrac43))$-г тооцоол.
$\tg\left(\arcsin\left(-\frac2{\sqrt5}\right)\right)=a$ бол $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{x^2+8x+12}{x^2-4}$ хязгаарыг бод.

A. $-5$     B. $-1$     C. $3$     D. $-4$     E. $7$    
$\cos\Big(\pi+\dfrac12\arcsin\dfrac{4}{\sqrt{17}}\Big)$ илэрхийллийн утгыг тооцоол.

A. $\sqrt{\dfrac{17-\sqrt{17}}{34}}$     B. $-\sqrt{\dfrac{17+\sqrt{17}}{34}}$     C. $-\dfrac{1}{17}$     D. $-\dfrac{2}{17}$     E. $\sqrt{\dfrac{\sqrt{17}+1}{2}}$    
$\sin\Big(\dfrac12\arcsin\Big(-\dfrac{2\sqrt2}{3}\Big)\Big)$ утгыг ол.

A. $-\dfrac{\sqrt3}{3}$     B. $\dfrac{\sqrt6}{6}$     C. $\dfrac{2\sqrt3}{3}$     D. $\sqrt{\dfrac23}$     E. $\sqrt6$    
$\arccos(\cos200^\circ)$-ийг градусаар илэрхийл.

A. $100^\circ$     B. $110^\circ$     C. $130^\circ$     D. $160^\circ$     E. $200^\circ$    
$\sin\left(\dfrac\pi4-\arccos\dfrac{\sqrt3}2\right)$ илэрхийллийн утгыг ол.

A. $0$     B. $1$     C. $\frac{\sqrt6-\sqrt2}4$     D. $\frac{\sqrt2-\sqrt6}4$     E. $-\frac12$    
$\sin(\arctg(-\sqrt{3}))$ илэрхийллийн утгыг ол.

A. $0$     B. $-\dfrac12$     C. $\dfrac12$     D. $-\dfrac{\sqrt3}{2}$     E. $\dfrac{\sqrt3}{2}$    
$\sin(\arcctg(-\sqrt3))=?$ илэрхийллийн утгыг ол.

A. $0$     B. $-\dfrac{1}{2}$     C. $\dfrac12$     D. $\dfrac{\sqrt3}{2}$     E. $-\dfrac{\sqrt3}{2}$    
$\arccos(-0.5)=?$

A. $-\dfrac{2\pi}{3}$     B. $\dfrac{2\pi}{3}$     C. $\dfrac{\pi}{3}$     D. $-\dfrac{\pi}{3}$     E. $0.5$    
$\sin\left(2\arctg\dfrac 13\right)+\cos\left(\arctg2\sqrt{2}\right)$ хялбарчил.

A. $\dfrac 45$     B. $\dfrac1{15}$     C. $\dfrac 23$     D. $\dfrac{14}{15}$     E. $\dfrac 13$    
$\sin\left(2\arctg\dfrac 12\right)-\tg\left(\dfrac 12\arcsin\dfrac{15}{17}\right)$-хялбарчил.

A. $\dfrac{24}{25}$     B. $-\dfrac15$     C. $\dfrac 15$     D. $-\dfrac{24}{25}$     E. $\dfrac 45$    
$\arccos(\cos230^\circ)$-ыг градусаар илэрхийл.

A. $100^\circ$     B. $110^\circ$     C. $130^\circ$     D. $160^\circ$     E. $230^\circ$    
$\dfrac{1}{\pi}\Big(2\arctg\dfrac14+\arctg\dfrac{7}{23}\Big)$ илэрхийллийн утгыг тооцоол.

A. $\dfrac13$     B. $\dfrac34$     C. $\dfrac{1}{6}$     D. $\dfrac{1}{2}$     E. $\dfrac{1}{4}$    
$\cos(\arctg(-\sqrt{3}))$ илэрхийллийн утгыг ол.

A. $0$     B. $-\dfrac12$     C. $\dfrac12$     D. $-\dfrac{\sqrt3}{2}$     E. $\dfrac{\sqrt3}{2}$    

Туслах өнцөг оруулах арга

$\cos3x+\sin3x=\sqrt2, \dfrac{7\pi}4\le x\le\dfrac{9\pi}4$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin\dfrac x4+\cos\dfrac x4=1$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin x+\cos x=\sqrt2$ тэгшитгэлийг $[-\pi, \pi]$ завсарт бод.
$1+\cos2x+\sin2x=0$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin x-\cos x=1$ тэгшитгэлийг $[-3\pi, 4\pi]$ бод.
$\sin x+\cos x=\sqrt2\sin5x$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin x+\cos x=\sin 2x+\cos 2x$ тэгшитгэлийг бод.
$\sqrt3\sin2x-\cos2x-2=0$ тэгшитгэлийг бод.
$\dfrac{\sqrt3}2\sin x+\dfrac12\cos x=\dfrac12$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin x+\sqrt3\cos x=2$ тэгшитгэлийг бод.
$\sqrt3\cos x+\sin x+\sqrt2=0$ тэгшитгэлийг бод.
$\cos 7x-\sin 5x=\sqrt3(\cos5x-\sin 7x)$+тэгшитгэлийн $0^\circ< x< 30^\circ$ муж дахь хамгийн их шийдийг ол.
$\sqrt{3}(\cos x-\sin 3x)=\cos3x-\sin x, 0^\circ\le x\le 20^\circ$ тэгшитгэлийг бод.
$(\sin2x-\sqrt3\cos2x)^2-5=\cos\left(\dfrac\pi6-2x\right)$ тэгшитгэлийг бод.
$(\sin x+\sqrt{3}\cos x)^2-5=\cos\left(\dfrac\pi6-x\right)$ тэгшитгэлийг бод.
$5\cos x+2\sin x=3$ тэгшитгэлийг бод.
$\sin2x-4\cos2x=4$ тэгшитгэлийг бод.
$3\sin2x-4\cos2x=5$ тэгшитгэлийг бод.
$\cos 2x+3\sin 2x=2$ тэгшитгэлийг бод.
$\cos2x+3\sin2x=2$ тэгшитгэлийг бод.
$6\sqrt3\sin x+4\cos x=7$ тэгшитгэлийг бод.
$\dfrac{2}{\pi}\sin x+\cos(19\pi)=\cos x$ тэгшитгэлийг бод.
$5\cos^2x+\dfrac56\sin2x=1$ тэгшитгэл $[\pi/2; 3\pi/2]$ завсарт хэдэн шийдтэй вэ?

A. $6$     B. $7$     C. $2$     D. $1$     E. $3$    
$\cos x+\sin x= \sqrt{2}$ тэгшитгэлийг бод.

A. $\dfrac{\pi}{2}+\pi k , k\in \mathbb{Z}$     B. $\dfrac{\pi}{4}+\pi k \cup -\dfrac{\pi}{4}+\pi k , k\in \mathbb{Z}$     C. $\dfrac{\pi}{4}+2\pi k , k\in \mathbb{Z}$     D. $\dfrac{\pi}{4}+\pi k , k\in \mathbb{Z}$     E. $-\dfrac{\pi}{4}+\pi k , k\in \mathbb{Z}$    
$f(x)=7\sin x - 24 \cos x $ функцийн хамгийн их ба хамгийн бага утгуудын ялгаврыг ол.

A. 25     B. 24     C. 48     D. 49     E. 50    
$\displaystyle\sin x+\cos x=\frac{\sqrt 6}{2}$ бол $\sin 2x$ хэдтэй тэнцүү вэ?

A. $\displaystyle\frac{1}{4}$     B. $\displaystyle\pm\frac{1}{2}$     C. $\displaystyle\frac{1}{2}$     D. $1$     E. $0$    
$2\sin 17x+\sqrt{3}\cos 5x+\sin 5x=0$ тэгшитгэлийг бод.

A. $-\dfrac{\pi}{33}+\dfrac{\pi k}{22}, \dfrac{\pi}{9}+\dfrac{\pi k}{6};$     B. $-\dfrac{\pi}{66}+\dfrac{\pi k}{11}, \dfrac{\pi}{9}+\dfrac{\pi k}{6};$     C. $-\dfrac{\pi}{66}+\dfrac{\pi k}{33}, \dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi k}{3};$     D. $-\dfrac{\pi}{11}+\dfrac{\pi k}{3}, \dfrac{\pi}{3}+\dfrac{2\pi k}{3}$     E. $\varnothing$    
$5\sin x-12\cos x+13\sin 3x=0$ тэгшитгэлийг бод.

A. $\frac 13\arccos\frac{5}{12}+\frac{\pi k}{3}, \frac{\pi}{3}-\frac 12\arccos\frac{5}{13}+\pi k;$     B. $\frac 13\arccos\frac{12}{13}+\frac{2\pi k}{3}, \frac{\pi}{2}-\frac 12\arccos\frac{12}{13}+\pi k;$     C. $\frac 14\arccos\frac{5}{13}+\frac{\pi k}{2}, \frac{\pi}{2}-\frac 12\arccos\frac{5}{13}+\pi k;$     D. $\frac 14\arccos\frac{12}{13}+\frac{\pi k}{4}, \frac{\pi}{3}-\frac 13\arccos\frac{12}{13}+\pi k; (k\in Z)$    
$(\sin x+\sqrt{3}\cos x)^2-5=\cos\left(\dfrac{\pi}{6}-x\right)$ тэгшитгэлийг бод.

A. $\frac{7\pi}{6}+2\pi k;$     B. $\frac{\pi}{6}+\pi k;$     C. $\frac{5\pi}{6}+2\pi k;$     D. $\frac{7\pi}{6}+\pi k; (k\in Z)$    
$(\sqrt{3}\sin x-\cos x)^2+1=4\cos\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)$ тэгшитгэлийг бод.

A. $\pi n;\frac{\pi}{3}+\pi k;$     B. $2\pi k;-\frac{2\pi}{3}+2\pi n;$     C. $2\pi k,\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n;$     D. $\pi k,-\frac{2\pi}{3}+2\pi n; (k, n\in Z)$    
$\cos 7x-\sqrt{3}\sin 7x=-\sqrt{2}$ тэгшитгэлийн $\dfrac{2}{5}\pi < x< \dfrac{6}{7}\pi$ нөхцөлийг хангах хамгийн их шийдийг, хамгийн бага шийдэд харьцуулсан харьцааг ол.

A. $\frac{59}{35};$     B. $\frac{84}{35};$     C. $\frac{84}{59};$     D. $\frac{33}{17};$    
$\sqrt{2}\cos 8x+\sqrt{2}\sin 8x=-1$ тэгшитгэлийн $\dfrac{3\pi}{8}< x< \dfrac{7\pi}{10}$ нөхцөлийг хангах хамгийн бага шийдийг хамгийн их шийдэд харьцуулсан харьцааг ол.

A. $\frac{43}{67};$     B. $\frac{67}{96};$     C. $\frac{37}{48};$     D. $\frac{23}{43};$    
$3\cos 2x-8m\cdot \sin 2x=-5$ тэгшитгэл $m$-ийн ямар утганд шийдгүй байх вэ?

A. $-\frac 12< m<\frac 13;$     B. $0<m< \frac 12;$     C. $-\frac 12< m<0;$     D. $-\frac 12< m< \frac 12;$    
$12\sin x+4\sqrt{3}\cos x=m\sqrt{3}$ тэгшитгэл $m$-ийн ямар утганд шийдтэй байх вэ?

A. $m\leq -8\vee m\geq 8;$     B. $-8\leq m\leq 8;$     C. $m\leq -8;$     D. $8\leq m;$    
$\dfrac{\sqrt{2}}{2}(\cos \alpha+\sin\alpha) =\cos\left(\dfrac{\pi}{\fbox{a}}-\alpha\right).$
$f(x)=5\sin x+3\cos x$ бол $f'(x)=f'(0)$ тэгшитгэлийн шийдүүд нь $x_1=\fbox{a}\cdot m\pi$; $x_2=\fbox{b}\cdot m\pi-2\arctg \displaystyle\frac{\fbox{c}}{\fbox{d}}$; $m\in Z$ болно.
$f(x)=5\sin x+3\cos x$ бол $f'(x)=f'(\pi)$ тэгшитгэлийн шийдүүд нь $x_1=(\fbox{a}\cdot k+1)\pi,$ $x_2=2k\pi+\fbox{b}\cdot \arcctg \displaystyle\frac{\fbox{c}}{\fbox{d}}$; $k\in Z$ болно.
$0^{\circ}\leq \theta< 360^{\circ} $ үед дараах тэгшитгэл, тэнцэтгэл бишийг бод.
  1. $\cos \theta+\sqrt{3}\sin \theta+1=0$
  2. $\cos 2\theta+\sqrt{3}\sin 2\theta+1>0$
Дараах илэрхийллийг $r\sin(\theta+\alpha)$, $r>0$, $-180^{\circ}< \alpha\leq 180^{\circ}$ хэлбэрт хувирга.
  1. $\sqrt{3}\sin\theta-\cos \theta$
  2. $\cos \theta-\sin(30^{\circ}-\theta)$
Дараах илэрхийллүүдийг $r\cdot\sin(\theta+\alpha)$ хэлбэрт хувирга.
  1. $\sin \theta-\cos \theta$
  2. $2\sin \theta+3\cos\theta$
  3. $\sin(\theta+90^{\circ})+\sin \theta$
  4. $\sin(\theta+30^{\circ})+\cos (\theta-60^{\circ})$
  5. $\sin \theta+\sqrt{3}\cos (\theta+60^{\circ})$
$0^{\circ}\leq \theta< 360^{\circ}$ үед дараах тэгшитгэл, тэнцэтгэл бишийг бод.
  1. $\sin \theta+\sqrt{3}\cos\theta=\sqrt{2}$
  2. $\sin\theta< \sqrt{3}\cos \theta$
  3. $\sqrt{3}\sin 2\theta+\cos2\theta< 1$
$\sqrt{2}\cos 8x+\sqrt{2}\sin 8x=-1$ тэгшитгэлийн $\dfrac{3\pi}{8}< x< \dfrac{7\pi}{10}$ нөхцөлийг хангах хамгийн бага шийдийг хамгийн их шийдэд харьцуулсан харьцааг ол.

A. $\dfrac{43}{67}$     B. $\dfrac{67}{97}$     C. $\dfrac{34}{67}$     D. $\dfrac{43}{97}$     E. $\dfrac{50}{67}$    
$\displaystyle\sin x-\cos x=\frac{\sqrt 6}{2}$ бол $\sin 2x$ хэдтэй тэнцүү вэ?

A. $-\dfrac{1}{2}$     B. $\displaystyle\pm\frac{1}{2}$     C. $\dfrac{1}{4}$     D. $1$     E. $0$    

Тригонометрийн илэрхийлэл

$(3\sin x+2\cos x)^2+(2\sin x-3\cos x)^2$ илэрхийллийг хялбарчил.
$\dfrac{\Big(\sin\dfrac{\alpha}{2}+\cos\dfrac{\alpha}{2}\Big)^2}{1+\sin\alpha}$ илэрхийллийг хялбарчил.
$\cos^2(\pi-\alpha)+\cos^2\Big(\dfrac{3\pi}{2}-\alpha\Big)$ илэрхийллийг хялбарчил.
$\tg^2(270^{\circ}+\alpha)\sin^2(180^{\circ}+\alpha)$ илэрхийллийг хялбарчил.
$\dfrac{1+\tg\alpha}{1-\tg\alpha}-\tg(45^{\circ}+\alpha)$ илэрхийллийг хялбарчил.
$1-\sin\alpha\cos\alpha\tg\alpha+\sin^2\alpha+3$ илэрхийллийг хялбарчил.
$\dfrac{\tg\alpha+\sin\alpha}{2\cos^2\dfrac{\alpha}{2}}$ илэрхийллийг хялбарчил.
$\dfrac{2\sin\alpha-\sin2\alpha}{2\sin\alpha+\sin2\alpha}$ илэрхийллийг хялбарчил.
$\dfrac{2(1+\sin2\alpha-\cos2\alpha)}{\sin\alpha(\sin\alpha+\cos\alpha)}$ илэрхийллийг хялбарчил.
$\alpha=\dfrac{\pi}{36}$ үед $\dfrac{\sqrt3\cos3\alpha}{10(\cos9\alpha+\cos3\alpha)}$ илэрхийлэлийн утгийг ол.
$\alpha=\dfrac{\pi}{12}$ үед $\dfrac{1-\sin^42\alpha-\cos^42\alpha}{2\sin^42\alpha}+1$ илэрхийлэлийн утгийг ол.
$\alpha=\dfrac{\pi}{3}$ үед $\dfrac{1+\cos\alpha+\cos2\alpha+\cos3\alpha}{\cos\alpha+2\cos^2\alpha-1}$ илэрхийлэлийн утгийг ол.
$\cos2\alpha+\sin2\alpha\cdot\tg\alpha$ илэрхийллийг хялбарчил.
$\dfrac{1+\tg x\tg2x}{\tg x+\ctg2x}$ илэрхийллийг хялбарчил.
$\cos^42x+6\sin^22x\cos^22x+\sin^42x-2\sin^24x$ илэрхийллийг хялбарчил.
$\dfrac{\cos\Big(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\Big)\cos\Big(\dfrac{\pi}{2}+\beta\Big)-\cos(\pi-\alpha)\cos(2\pi-\beta)}{\sin\Big(\dfrac{\pi}{2}+\alpha+\beta\Big)}$ илэрхийллийг хялбарчил.
$\sin^2\alpha+\sin(60^{\circ}+\alpha)\sin(60^{\circ}-\alpha)$ илэрхийллийг хялбарчил.
$\dfrac{(\sin\alpha+\cos\alpha)^2-1}{\tg\Big(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\Big)-\sin\alpha\cos\alpha}-2\tg^2\alpha$ илэрхийллийг хялбарчил.
$\dfrac{2(\sin2\alpha+2\cos^2\alpha-1)}{\cos\alpha-\sin\alpha-\cos3\alpha+\sin3\alpha}$ илэрхийллийг хялбарчил.
$2\sin\alpha\cos\alpha-\dfrac{\sin\alpha-\sin(\pi+3\alpha)+\sin2\alpha}{2\cos\alpha+1}$ илэрхийллийг хялбарчил.
$\dfrac{2}{\sin\alpha}-\dfrac{2}{\sin3\alpha}-\dfrac{4\cos2\alpha}{\sin3\alpha}$ илэрхийллийг хялбарчил.
$\dfrac{1+\sin\Big(\dfrac{3\pi}{2}+2x\Big)-\sin^2x}{\sin2x\sin\Big(\dfrac{\pi}{2}+x\Big)+\sin x\cos(\pi-2x)}$ илэрхийллийг хялбарчил.
$\dfrac{\tg(180^{\circ}-\alpha)\cos(180^{\circ}-\alpha)\tg(90^{\circ}-\alpha)}{\sin(90^{\circ}+\alpha)\ctg(90^{\circ}-\alpha)\tg(90^{\circ}+\alpha)}$ илэрхийллийг хялбарчил.
$\dfrac{\sqrt2\cos\alpha-2\cos(45^{\circ}-\alpha)}{2\sin(30^{\circ}+\alpha)-\sqrt3\sin\alpha}+\sqrt2\tg\alpha$ илэрхийллийг хялбарчил.
$\dfrac{2\cos^2\alpha-1}{8\tg\Big(\dfrac{\pi}{4}-\alpha\Big)\cos^2\Big(\dfrac{\alpha-\pi}{4}\Big)}$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\dfrac{2\sin^270^{\circ}-1}{2\ctg115^{\circ}\cdot\cos^2155^{\circ}}$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\alpha=15^{\circ}$ бол $\dfrac{\cos4\alpha+1}{\ctg\alpha-\tg\alpha}$ илэрхийллийн утгыг ол.

A. $\dfrac12$     B. $\dfrac{\sqrt3}4$     C. $\dfrac14$     D. $\dfrac{\sqrt3}2$     E. $1$    
$\tg\alpha=0.1$ бол $\dfrac{4\sin(30^{\circ}+\alpha)\sin(30^{\circ}-\alpha)}{\cos^2\alpha}$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\cos45^{\circ}\cdot\sin3105^{\circ}+\dfrac12\ctg(-315^{\circ})-\cos270^{\circ}$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\alpha=112^{\circ}30'$ бол $\ctg\alpha$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\cos\alpha=0.7$ бол $\dfrac{\sin\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha\cdot\tg\dfrac{\alpha}{2}}$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\ctg x=-\dfrac45$ бол $\dfrac{\sin4x\cdot\cos2x }{(1+\cos2x)(1+\cos4x)}$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\sin2x=3^{-\frac12}$ бол $\dfrac{\sin^2(4x-540^{\circ})}{\cos^2(4x-540^{\circ})}$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\tg\alpha=3$ бол $\dfrac{\sin\alpha-2\sin2\alpha+3\sin3\alpha}{\cos\alpha-2\cos2\alpha+3\cos3\alpha}$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\sin x=\dfrac13$ бол $3\cdot\dfrac{\sin2x-\sin3x+\sin5x}{1+\cos x-2\sin^22x}$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\dfrac{1}{2\sin10^{\circ}}-2\sin70^{\circ}$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\sin16^{\circ}+\cos16^{\circ}\cdot\tg37^{\circ}$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\cos67^{\circ}30'$ ба $\cos75^{\circ}$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\dfrac{\ctg15^{\circ}+1}{2\ctg15^{\circ}}$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\dfrac{\cos\dfrac{4\pi}{9}}{\sin\dfrac{19\pi}{18}}+2\cos\pi$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\Big(\dfrac{\sin80^{\circ}+\sin40^{\circ}}{\sin70^{\circ}}\Big)^2$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\dfrac{16\sin251^{\circ}-10\cos161^{\circ}}{\cos19^{\circ}}$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\Big(\tg\dfrac{5\pi}{16}+\tg\dfrac{3\pi}{16}\Big)\cdot\cos\dfrac{\pi}{8}$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\left[\tg\Big(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\alpha}{4}\Big)+\tg\Big(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\alpha}{2}\Big)\right] \big(2\cos^2\dfrac{\alpha}{2}-1\big)$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\tg18^{\circ}\tg288^{\circ}+\sin32^{\circ}\sin148^{\circ}-\sin302^{\circ}\sin122^{\circ}$ илэрхийллийн утгыг ол.

A. $0$     B. $1$     C. $2$     D. $3$     E. $4$    
$2\cos20^{\circ}\cos40^{\circ}-\cos20^{\circ}$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\cos20^{\circ}+2\sin^255^{\circ}=1+\sqrt2\sin65^{\circ}$ тэнцэтгэлийг шалга.
$\sin^2(45^{\circ}+\alpha)-\sin^2(30^{\circ}-\alpha)-\sin15^{\circ}\cos(15^{\circ}+2\alpha).$
$\sin^6\alpha+\cos^6\alpha+3\sin^2\alpha\cos^2\alpha$ хялбарчил.
$2(\sin^6\alpha+\cos^6\alpha)-3(\sin^4\alpha+\cos^4\alpha)$ хялбарчил.
$\tg^3x+\tg^2x+\tg x+1-\dfrac{\sin x}{\cos^3x}$ хялбарчил.
$\dfrac{(\tg\alpha+\cos^{-1}\alpha)(\cos\alpha-\ctg\alpha)}{(\cos\alpha+\ctg\alpha)(\tg\alpha-\cos^{-1}\alpha)}$ хялбарчил.
$\sin(2\arcctg(\dfrac13))+\cos(\arcctg2\sqrt2)$ тооцоол.
$\cos2\alpha=0.4$ бол $\cos^6\alpha-\sin^6\alpha$-г ол.
$\cos\alpha+\sin\alpha=\dfrac{\sqrt2}{2}$ бол $\cos^4\alpha+\sin^4\alpha$-г ол.
$\dfrac{1}{\tg^2\alpha}+\dfrac{1}{\ctg^2\alpha}+\dfrac{1}{\sin^2\alpha}+\dfrac{1}{\cos^2\alpha}=8$ бол $\sin^22\alpha$-г ол.
$\sin\alpha-\cos\alpha=a$ бол $\dfrac{\sin^2\alpha}{\cos\alpha}-\dfrac{\cos^2\alpha}{\sin\alpha}$-г ол.
$\tg9^{\circ}-\tg63^{\circ}+\tg81^{\circ}-\tg27^{\circ}$ тооцоол.
$\sin70^{\circ}\cdot\sin50^{\circ}\cdot\sin10^{\circ}$ тооцоол.
$\cos70^{\circ}\cdot\cos50^{\circ}\cdot\cos10^{\circ}$ тооцоол.
$\dfrac{1-4\sin10^{\circ}\sin70^{\circ}}{2\sin10^{\circ}}$ тооцоол.
$4\sin20^{\circ}\cdot\sin40^{\circ}\cdot\sin60^{\circ}\cdot\sin80^{\circ}$ тооцоол.
$16\sin^220^{\circ}\cdot\sin^240^{\circ}\cdot\sin^260^{\circ}\cdot\sin^280^{\circ}$ тооцоол.
$\tg20^{\circ}\cdot\tg40^{\circ}\cdot\tg80^{\circ}$ тооцоол.
$\dfrac{96\sin80^{\circ}\cdot\sin65^{\circ}\cdot\sin35^{\circ}}{\sin20^{\circ}+\sin50^{\circ}+\sin110^{\circ}}$ тооцоол.
$\dfrac{\sin50^{\circ}\cdot\cos12^{\circ}-\sin40^{\circ}\cos78^{\circ}}{\cos68^{\circ}-\sqrt3\sin68^{\circ}}$ тооцоол.
$\cos\dfrac{\pi}{7}\cdot\cos\dfrac{4\pi}{7}\cdot\cos\dfrac{5\pi}{7}=\dfrac18$ байхыг батал.
$\sin\dfrac{2}{5\alpha}\cos\dfrac{\alpha}{2}-\sin3\alpha\cos\dfrac{\pi}{3}-\dfrac14 $-г үржвэр хэлбэрт хувирга.
$\sec\alpha-\cos\alpha+\sec60^{\circ}\cdot\cos2\alpha\sin3\alpha-\sin5\alpha $-г үржвэр хэлбэрт хувирга.
$\tg2x=-\dfrac34$ ба $\sin2x>0$ бол $\log_{\tg\frac{\pi}{6}}\tg x$ илэрхийлэл тодорхойлогдохыг харуулж утгыг ол.
$\sin(\delta+\frac{\pi}{4})+\cos(\delta+\frac{\pi}{4})=-\sqrt{\dfrac45}$ бол $\log_{\frac{14}{25}}|\cos\delta|+\log_{\frac{14}{25}}|\cos3\delta|$-г тооцоол.
$\sin x+\cos x=a$ бол $\dfrac{\sin^3x+\cos^3 x}{a(a^2-3)}$-г ол.
$0< \alpha< 90^{\circ}$ бол $\dfrac{\sqrt{1+\sin\alpha}-\sqrt{1-\sin\alpha}}{4\sin\dfrac{\alpha}{2}}$-г хялбарчил.
$\sin5\alpha\cdot\sin4\alpha+\sin4\alpha\cdot\sin3\alpha-\sin2\alpha\cdot\sin\alpha-2\sin3\alpha\cdot\sin5\alpha\cdot\cos\alpha$-г хялбарчил.
$\tg3\alpha-\tg(\dfrac{\pi}{3}-\alpha)\tg(\dfrac{\pi}{3+\alpha})\tg\alpha+1 $-г хялбарчил.
$(\sqrt5+1)\sin18^{\circ}$-г тооцоол.
$\sin\alpha+\cos\alpha=1.4$ ба $0< \alpha< \dfrac{\pi}{4}$ бол $3\tg\dfrac{\alpha}{2}$-г тооцоол.
$\alpha=\dfrac{\pi}{36}$ үед $\dfrac{\sqrt3\cos3\alpha}{10(\cos9\alpha+\cos3\alpha)}$ илэрхийллийн утгийг ол.

A. $0$     B. $1$     C. $\dfrac12$     D. $\dfrac1{10}$     E. $-\dfrac12$    
Хэрэв $\tg\alpha=2$ бол $\dfrac{\sin\alpha}{\sin^3\alpha+\cos^3\alpha}$-г ол.

A. $\dfrac{2}{9}$     B. $\dfrac{5}{9}$     C. $\dfrac{9}{2}$     D. $\dfrac{10}{9}$     E. 2    
$\dfrac{\tg\alpha+\sin\alpha}{2\cos^2\frac{\alpha}{2}}$ илэрхийллийг хялбарчил.

A. $1$     B. $\tg\alpha$     C. $\cos\alpha$     D. $\sin\alpha$     E. $\dfrac{\tg\alpha}{2}$    
$\sin 75^\circ=?$

A. $\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$     B. $\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$     C. $\dfrac{\sqrt5+1}{4}$     D. $\dfrac{\sqrt5-1}{4}$     E. $\cos 105^\circ$    
Хэрэв $\tg\alpha=3$ бол $\dfrac{\sin\alpha}{\sin^3\alpha+\cos^3\alpha}=?$

A. $\dfrac{15}{14}$     B. $\dfrac{7}{9}$     C. $1$     D. $\dfrac{10}{9}$     E. $\dfrac{35}{28}$    
$\sin(\theta+45^\circ)$ нь дараах илэрхийллүүдийн алинтай нь тэнцүү вэ?

A. $\cos(45^\circ-\theta)$     B. $\cos(45^\circ+\theta)$     C. $\sin45^\circ$     D. $\sin(225^\circ+\theta)$     E. алинтай нь ч тэнцүү биш    
$\sqrt{\dfrac{1+\sin\theta}{1-\sin\theta}}-\sqrt{\dfrac{1-\sin\theta}{1+\sin\theta}}$

A. $\sec\theta-1$     B. $2\csc\theta$     C. $2\tg\theta$     D. $\sec\theta\cdot\ctg\theta$     E. $2\cdot\dfrac{\sin\theta}{|\cos\theta|}$    
$\dfrac{\sin35^\circ\cdot\cos35^\circ}{\sin55^\circ\cdot\cos55^\circ}$ илэрхийллийг хялбарчил.

A. $0$     B. $\dfrac13$     C. $\dfrac12$     D. $1$     E. $-1$    
$2\cos140^\circ\cdot\sin(-40^\circ)$

A. $-\sin10^\circ$     B. $-\cos10^\circ$     C. $\cos10^\circ$     D. $\sin40^\circ$     E. $\cos20^\circ$    
$\sin70^{\circ}\cdot\sin50^{\circ}\cdot\sin10^{\circ}$ тооцоол.

A. $\dfrac18$     B. $\dfrac38$     C. $\dfrac58$     D. $-\dfrac38$     E. $\dfrac78$    
$\sin^210^{\circ}+\sin^2130^{\circ}+\sin^2110^{\circ}$ илэрхийллийн утгыг ол.

A. $1.4$     B. $1.2$     C. $1.7$     D. $1.8$     E. $1.5$    
$\dfrac1{2\sin10^{\circ}}-2\sin70^{\circ}$ илэрхийллийн утгыг ол.

A. $1.5$     B. $0.5$     C. $1$     D. $2$     E. $-1$    
$\dfrac{\tg60^{\circ}}{\sin40^{\circ}}+4\cos100^{\circ}$ илэрхийллийн утгыг ол.

A. $3$     B. $2$     C. $1.5$     D. $1$     E. $0$    
$\dfrac{\sqrt{2}\cos\alpha-2\cos\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)}{2\sin\left(\frac{\pi}{6}+\alpha\right)-\sqrt{3}\sin\alpha}$ хялбарчил.

A. $\sqrt{2}\cos \alpha$     B. $-\sqrt{2}\tg\alpha$     C. $\frac{\ctg\alpha}{\sqrt{2}}$     D. $-\sqrt{2}\sin\alpha$     E. $-\sqrt{2}\ctg\alpha$    
$\dfrac{\cos\alpha-2\cos (\frac{\pi}{3}+\alpha)}{2\sin (\alpha-\frac{\pi}{6})-\sqrt{3}\sin\alpha}$ хялбарчил.

A. $-\sqrt{3}\tg\alpha$     B. $\sqrt{3}\sin\alpha$     C. $\dfrac{\ctg\alpha}{\sqrt{3}}$     D. $-\sqrt{3}\cos\alpha$     E. $\sqrt{3}\cos\alpha$    
$\dfrac{\sin 2t -2\sin (\frac{\pi}{2}-t)}{\cos(\frac{\pi}{2}-t)-\sin^2t}$-хялбарчил.

A. $2\tg t$     B. $2$     C. $-2$     D. $2\ctg t$     E. $-2\ctg t$    
$\dfrac{1-\cos 2t+\sin 2t}{1+\cos 2t+\sin 2t}\cdot \tg \left(\dfrac{\pi}{2}-t\right)$-хялбарчил.

A. $2\tg t$     B. $-1$     C. $1$     D. $\tg 2t$    
$\dfrac{1+\cos40^{\circ}+\cos80^{\circ}}{\sin 80^{\circ}+\sin 40^{\circ}}\cdot \tg 40^{\circ}$-хялбарчил.

A. $0$     B. $1$     C. $\dfrac 12$     D. $\dfrac 32$     E. $\dfrac 23$    
$\sqrt{4\cos^4\alpha-6\cos2\alpha+3}$-хялбарчил.

A. $2\cos^2\alpha+1$     B. $1+2\sin^2\alpha$     C. $2(\cos^2\alpha+1)$     D. $2(1+\sin^2\alpha)$    
$\sqrt{\sin^4\alpha+\cos2\alpha}+\sqrt{\cos^4\alpha-\cos2\alpha}$-хялбарчил.

A. $2$     B. $2|\cos\alpha|$     C. $2|\sin\alpha|$     D. $1$    
$\dfrac{(\sin\beta+\cos\beta)(1-\sin\beta\cdot \cos\beta)}{\sin\beta\cdot \tg\beta+\cos\beta\cdot \ctg\beta}$-хялбарчил.

A. $\tg\beta\cdot \sin\beta$     B. $\frac 12\sin2\beta$     C. $\ctg\beta\cdot \cos\beta$     D. 1    
$\dfrac{\cos\alpha\cdot \ctg\alpha-\sin\alpha\tg\alpha}{1+\sin\alpha\cdot \cos\alpha}$-хялбарчил.

A. $\tg\alpha-\ctg\alpha$     B. $\tg\alpha+\frac1{\tg\alpha}$     C. $\frac1{\sin\alpha}-\frac1{\cos\alpha}$     D. $\sin\alpha-\cos\alpha$    
$\sin^6\alpha+\cos^6\alpha+3\sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha$-хялбарчил.

A. $\dfrac43$     B. $\dfrac32$     C. $\dfrac23$     D. $1$     E. $\dfrac12$    
$\sin^2\alpha+\cos\left(\dfrac{\pi}{3}-\alpha\right)\cdot \cos\left(\dfrac{\pi}{3}+\alpha\right)$-хялбарчил.

A. $-\frac 14$     B. $\frac 34$     C. $\frac 12$     D. $\frac 14$    
$\sin 2x=\dfrac 45$ бол $\sin^6x+\cos^6x=?$

A. $\dfrac{12}{25}$     B. $\dfrac{13}{25}$     C. $\dfrac{24}{25}$     D. $\dfrac{7}{25}$     E. $\dfrac{8}{25}$    
$\cos 2x=-\dfrac 35$ бол $\sin^8x-\cos^8x=?$

A. $\dfrac{51}{125}$     B. $\dfrac{57}{125}$     C. $\dfrac{13}{25}$     D. $-\dfrac{12}{25}$     E. $-\dfrac{51}{125}$    
$\sin t\cdot \cos t=-0.5$ бол $\sin^4t+\cos^4t=?$

A. $\dfrac14$     B. $\dfrac18$     C. $\dfrac12$     D. $\dfrac1{16}$     E. $\dfrac32$    
$\tg t-\ctg t=-\dfrac7{12}$ ба $0< t< \dfrac{\pi}{2}$ бол $\sin t+\cos t=?$

A. $\dfrac 75$     B. $\dfrac 76$     C. $\dfrac 54$     D. $\dfrac 43$     E. $\dfrac 32$    
$\tg\alpha+\ctg\alpha=m$ бол $\tg^2\alpha+\ctg^2\alpha=?$

A. $m^2-1$     B. $m^2-m$     C. $m^2-2$     D. $m^2+1$     E. $m^2+2$    
$\tg\alpha+\ctg\alpha=m$ бол $\tg^3\alpha+\ctg^3\alpha=?$

A. $m^3-m;$     B. $m^3-3m;$     C. $m^3-2m;$     D. $m^3-m^2;$    
$\tg\alpha=-2$ бол $\dfrac{\sin^3\alpha+\cos^3\alpha}{3\cos\alpha-\sin\alpha}=?$

A. $-\frac75$     B. $\frac7{25}$     C. $-\frac7{25}$     D. $\frac{21}{5}$     E. $-\frac{21}{5}$    
$\ctg\alpha=2$ бол $\dfrac{\cos\alpha+3\sin\alpha}{\cos^3\alpha-\sin^3\alpha}=?$

A. $\dfrac 73$     B. $\dfrac{25}{2}$     C. $\dfrac{25}{4}$     D. $\dfrac{25}{7}$     E. $\dfrac{16}{7}$    
$\dfrac{\cos(-13)^{\circ}\sin 77^{\circ}+\cos(-77^{\circ})\sin 167^{\circ}}{0.1}+\dfrac{\tg^245^{\circ}}{0.002}=\fbox{abc}.$
$\dfrac{\cos 93^{\circ}\tg 267^{\circ}+\sin 87^{\circ}}{0.1}+16\sin^415^{\circ}\cdot \cos^415^{\circ}=\dfrac{\fbox{c}}{\fbox{ab}}.$
$\sin \dfrac x2-\cos\dfrac x2=\sqrt{0.1}$ бол $\tg x=\pm \dfrac{\fbox{a}}{\sqrt{\fbox{bc}}}$ байна.
$\sin \dfrac x2+\cos\dfrac x2=\sqrt{0,3}$ бол $\ctg x=\pm \dfrac{\sqrt{\fbox{ab}}}{\fbox{c}}$ байна.
$\sin\alpha-\cos\alpha=1.2$ бол $\cos^3\alpha-\sin^3\alpha=-\fbox{a.bcd}$ байна.
$\sin\alpha+\cos\alpha=0.8$ бол $\sin^3\alpha+\cos^3\alpha=\fbox{a.bcd}$ байна.
$\dfrac{2\sin^220^{\circ}-1}{3\ctg 65^{\circ}\cdot \cos^2205^{\circ}}=-\dfrac{\cos \fbox{ab}^{\circ}}{3\tg \fbox{cd}^{\circ}\cdot \cos^2\fbox{ef}^{\circ}}=-\dfrac{\fbox{g}}{\fbox{h}}.$
$\dfrac{2\sin^270^{\circ}-1}{\tg 115^{\circ}\cdot \cos^2 115^{\circ}}=\dfrac{\cos \fbox{abc}^{\circ}}{\tg \fbox{de}^{\circ}\cdot \cos^2\fbox{fg}^{\circ}}=-\fbox{h}.$
$\dfrac{\sqrt{2}-\sin \alpha-\cos\alpha}{\sin \alpha-\cos\alpha}=\tg\left(\dfrac{\alpha}{\fbox{a}}-\dfrac{\pi}{\fbox{b}}\right).$
$\sin 165^{\circ}=\dfrac{\sqrt{\fbox{a}}-\sqrt{\fbox{b}}}{\fbox{c}}.$
$\sin 162^{\circ}=\dfrac{\sqrt{\fbox{a}}-\fbox{b}}{\fbox{c}}$.
$3\cos 2x+5\cos 2y-8\sin xcos x-24\sin y\cos y=18$ бол $\sin 2x-\sin 2y=\dfrac{\fbox{c}}{\fbox{ab}},$ $\dfrac{\tg x+1}{\tg y+1}=\fbox{d,e}$ байна.
$12\cos\varphi-10\sin \dfrac{\varphi}{2}\cos \dfrac{\varphi}{2}-a=\cos\psi+b\tg^2\psi$ гэж өгөгдөв.

1) $a=14, b=1$ бол $\sin\varphi\cdot \cos \psi =\dfrac{\fbox{c}}{\fbox{ab}}$ байна.

2) $a=-14, b=-2$ бол $\cos \varphi+\cos\psi=\dfrac{1}{\fbox{de}}$ байна.
$0^{\circ}< \theta< 90^{\circ}$ ба $4\cos\theta\cdot \sin \theta\cdot \sin 3\theta=\cos3\theta$ нөхцлийг хангадаг бол $\cos \theta$, $\cos 2\theta$, $\cos 4\theta$-ийн утгыг ол.
  1. $\sin(\alpha+\beta)\cdot \sin(\alpha-\beta)=\sin^2\alpha-\sin^2\beta$ адилтгалыг батал.
  2. $\sin\alpha+\sin\beta=\dfrac 12$, $\cos \alpha+\cos\beta=\dfrac 23$ бол $\cos(\alpha-\beta)$-ийн утгыг ол.
  1. $\dfrac{\sin \theta}{1+\cos+\theta}+\dfrac 1{\tg+\theta}=\dfrac 1{\sin \theta}$ адитгалыг батал.
  2. $\sin \theta+\cos \theta=\dfrac 13$ бол $\sin^3 \theta+\cos^3 \theta$-ийн утгыг ол.
  1. $\cos 5\theta=f(\cos \theta)$ нөхцлийг хангах $f(x)$ функцийг ол.
  2. $\alpha=18^{\circ}$ бол $\cos \alpha\cos 3\alpha\cos7\alpha=\dfrac5{16}$ болохыг батал.
$a=\sin^236^{\circ}$, $b=\sin^272^{\circ}$ гэвэл $a+b$ болон $a\cdot b$ нь рациональ тоо болохыг батал.
  1. $\sin^2\theta=\cos\theta$ бол $\dfrac1{1+\cos\theta}+\dfrac1{1-\cos\theta}$-ийн утгыг ол.
  2. $\sin20^{\circ}+\cos160^{\circ}+\sin200^{\circ}+\cos(-20^{\circ})$-ийн утгыг ол.
Илэрхийлэл хялбарчил.

  1. $(\sin\theta+2\cos\theta)^2+(2\sin\theta-\cos \theta)^2$
  2. $\dfrac{\sin 4\theta+4\cos^2\theta-\cos^4 \theta+1}{3(1+\cos^2\theta)}$

  3. $\dfrac{1+\sin \theta}{\cos\theta}+\dfrac{\cos \theta}{1+\sin \theta}$
$\sin \theta+\cos\theta=\dfrac 12$ бол $\sin \theta\cdot \cos \theta=\ebox$, $\sin\theta-\cos\theta=\ebox.$ $\sin \theta\cdot\cos\theta=\dfrac 12$ бол $\cos \theta+ \sin \theta=\ebox$, $\sin^3\theta+\cos^3\theta=\ebox.$
$\theta$ нь III мужийн өнцөг ба $\tg\theta=\sqrt{2}$ бол дараах илэрхийллийн утгыг ол.
  1. $\dfrac{\cos^2\theta}{1+2\sin\theta\cdot \cos\theta}$
  2. $\dfrac{1-\sin\theta}{\cos\theta}+\dfrac{\cos\theta}{1-\sin\theta}$
$-45^{\circ}\leq \theta\leq 60^{\circ}$ гэе. $g(\theta)=2+\sin\theta-\cos^2\theta$, $f(\theta)=\dfrac3{g(\theta)}$ бол $g(\theta)$, $f(\theta)$-ийн хамгийн их, хамгийн бага утгыг ол.
Илэрхийллийн утгыг ол.
  1. $\sin(-\theta)+\sin(90^{\circ}-\theta)-\sin(90^{\circ}+\theta)+\sin(180^{\circ}-\theta);$
  2. $\cos(-10^{\circ})+\cos 80^{\circ}+\cos100^{\circ}+\cos170^{\circ}+\cos260^{\circ}+\cos280^{\circ}.$
$-90^{\circ}\leq \theta\leq 90^{\circ}$ үед $2a\cos\theta+2-\sin^2\theta$-илэрхийллийн хамгийн их, хамгийн бага утгыг ол.
$\triangle ABC$-ны дотоод өнцөг $\alpha$, $\beta$, $\gamma$-ийн хувьд $\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma+ 2\cos\alpha\cos\beta\cos \gamma$ илэрхийллийн утгыг ол.
Дараах илэрхийллийг хялбарчил.

  1. $\cos \theta\cdot \cos (\theta+120^{\circ})\cdot \cos (\theta-120^{\circ})$
  2. $\sin (\theta-60^{\circ})+\sin \theta+ \sin (\theta+60^{\circ})$
$-90^{\circ}< \theta< 90^{\circ}$ ба $2\cos \theta+\sin 2\theta=1$ бол $\tg \theta$-ийн утгыг ол.
$\sin2\alpha\cdot \ctg\alpha=?$

A. $\sin^2\alpha$     B. $2\sin^2\alpha$     C. $\cos^2\alpha$     D. $2\cos^2\alpha$     E. $1$    
$\tg\Big(\alpha+\dfrac{\pi}{4}\Big)=?$

A. $\dfrac{1-\tg\alpha}{1+\tg\alpha}$     B. $\dfrac{1+\tg\alpha}{1-\tg\alpha}$     C. $\dfrac{\tg\alpha-1}{1+\tg\alpha}$     D. $\dfrac{1+\tg\alpha}{\tg\alpha-1}$     E. $-1$    
$\dfrac{\tg3\alpha+\tg\alpha}{\tg3\alpha-\tg\alpha}=?$

A. $2$     B. $\sin2\alpha$     C. $2\cos2\alpha$     D. $-\sin2\alpha$     E. $2\sin2\alpha$    
$\dfrac{1+\cos250^\circ}{\sin35^\circ\cos55^\circ}$ илэрхийллийн утгыг ол.

A. $0.5$     B. $1$     C. $1.5$     D. $2$     E. $4$    
$\sin(\alpha+\beta)=0.8$, $\cos(\alpha-\beta)=0.3$ бол $$(\sin\alpha-\cos\alpha)(\sin\beta-\cos\beta)$$ илэрхийллийн утгыг ол.

A. $1.1$     B. $0.5$     C. $-0.5$     D. $0.73$     E. $0.24$    
$4\sin18^\circ\cos36^\circ=?$

A. $-1$     B. $1$     C. $\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$     D. $\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$     E. $-2$    
$2\cos^215^\circ-1=?$

A. $\dfrac12$     B. $\dfrac{\sqrt3}2$     C. $-\dfrac12$     D. $-\dfrac{\sqrt3}2$     E. $1$    
$\dfrac{\cos50^\circ+\cos10^\circ}{\cos20^\circ}$

A. $-\sqrt3$     B. $\sqrt3$     C. $-\dfrac{\sqrt3}2$     D. $\dfrac{\sqrt3}2$     E. $\dfrac12$    
  1. $\cos165^\circ=-\dfrac{\sqrt{\fbox{a}}}{\fbox{b}}(\sqrt{\fbox{c}}+1)$
  2. $\cos162^\circ=-\dfrac{\sqrt{\fbox{de}+\fbox{f}\sqrt{5}}}{4}$
$\sin50^\circ\cdot\cos10^\circ+2\sin10^\circ\cdot\sin20^\circ\cdot\cos20^\circ$

A. $\sin50^\circ$     B. $0.5$     C. $\dfrac{\sqrt3}{2}$     D. $\dfrac{\sqrt2}{2}$     E. $\cos50^\circ$    
$\dfrac{1}{\sin10^\circ}-\dfrac{\sqrt3}{\cos10^\circ}=?$

A. $3$     B. $2$     C. $1$     D. $\sqrt3$     E. $4$    
$\cos^2\dfrac{\pi}{3}-\sqrt3\sin\dfrac{\pi}{6}\cdot\cos\dfrac{5\pi}{6}$ хялбарчил.

A. $0$     B. $\dfrac14+\dfrac{\sqrt3}{2}$     C. $\dfrac{1-\sqrt3}{4}$     D. $1$     E. $-1$    
$\dfrac{\sin75^\circ}{\sin15^\circ}-\dfrac{\cos75^\circ}{\cos15^\circ}=?$

A. $\sqrt3$     B. $2\sqrt3$     C. $3\sqrt3$     D. $-\sqrt3$     E. $-2\sqrt3$    
$\dfrac{\sin20^\circ-\sin30^\circ+\sin40^\circ}{\cos20^\circ-\cos30^\circ+\cos40^\circ}$

A. $\dfrac12$     B. $\dfrac{1}{\sqrt3}$     C. $1$     D. $\dfrac{\sqrt3}{2}$     E. $\dfrac34$    
Хэрэв $\tg\alpha \cdot\ctg\alpha=2$ бол $\dfrac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin(\alpha-\beta)}=?$

A. $1$     B. $2$     C. $\frac12$     D. $3$     E. $\frac23$    
$\dfrac{\sin^4\alpha+\cos^4\alpha-1}{\sin^6\alpha+\cos^6\alpha-1}$

A. $\dfrac23$     B. $\dfrac13$     C. $\dfrac12$     D. $\dfrac32$     E. $1$    
Хэрэв $\tg\alpha\cdot\ctg\beta=2$ бол $\dfrac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin(\alpha-\beta)}=?$

A. $1$     B. $2$     C. $\dfrac12$     D. $3$     E. $\dfrac23$    
$\sin^2\dfrac{\pi}{6}+\sin\dfrac{\pi}{3}\cdot\cos\dfrac{\pi}{6}$ хялбарчил.

A. $0$     B. $\dfrac14-\dfrac{\sqrt3}{2}$     C. $\dfrac{1+\sqrt3}{4}$     D. $-1$     E. $1$    
$\alpha=-\dfrac{\pi}{36}$ үед $\dfrac{\sqrt3\cos3\alpha}{10(\cos9\alpha+\cos3\alpha)}$ илэрхийллийн утгийг ол.

A. $0$     B. $\dfrac1{10}$     C. $\dfrac12$     D. $1$     E. $-\dfrac12$    
$\cos115^{\circ}-\cos 35^{\circ}+\cos65^{\circ}+\cos 25^{\circ}$ илэрхийллийг хялбарчил.

A. $\cos5^{\circ}$     B. $\sin5^{\circ}$     C. $\cos15^{\circ}$     D. $\sin 35^{\circ}$     E. $\sin105^\circ$    
$\tg\Big(\alpha+\dfrac{\pi}{4}\Big)=?$

A. $\dfrac{1-\tg\alpha}{1+\tg\alpha}$     B. $\dfrac{1+\tg\alpha}{1-\tg\alpha}$     C. $\dfrac{\tg\alpha-1}{1+\tg\alpha}$     D. $\dfrac{1+\tg\alpha}{\tg\alpha-1}$     E. $-1$    
$\alpha=\dfrac{\pi}{36}$ үед $\dfrac{\sqrt3\cos3\alpha}{10(\cos9\alpha+\cos3\alpha)}$ илэрхийллийн утгийг ол.

A. $0$     B. $1$     C. $\dfrac12$     D. $\dfrac1{10}$     E. $-\dfrac12$    
$\alpha=15^{\circ}$ бол $\dfrac{\cos4\alpha+1}{\ctg\alpha-\tg\alpha}$ илэрхийллийн утгыг ол.

A. $\dfrac12$     B. $\dfrac{\sqrt3}4$     C. $\dfrac14$     D. $\dfrac{\sqrt3}2$     E. $1$    
$\dfrac{1-\cos 2t+\sin 2t}{1+\cos 2t+\sin 2t}\cdot \tg \left(\dfrac{\pi}{2}-t\right)$-хялбарчил.

A. $2\tg t$     B. $-1$     C. $1$     D. $\tg 2t$    
$\dfrac{\sin65^\circ\cdot\cos65^\circ}{\sin25^\circ\cdot\cos25^\circ}$ илэрхийллийг хялбарчил.

A. $1$     B. $\dfrac16$     C. $\dfrac12$     D. $0$     E. $-1$    

Тригонометрийн адилтгал

$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ адилтгалыг батал.
$\ctg\alpha-\tg\alpha=2\ctg2\alpha$ адилтгалыг батал.
$\dfrac{1}{\tg^2\alpha}-1=\dfrac{2\cos 2\alpha}{1+\sin\left(2\alpha+\dfrac{3\pi}{2}\right)}$ адилтгалыг батал.
$\tg\beta\left(1+\dfrac{1}{\cos 2\beta}\right)=\tg 2\beta$ адилтгалыг батал.
$\dfrac{\cos2\alpha}{1+\cos2\alpha}=\dfrac{\tg\alpha}{\tg2\alpha}$ адилтгалыг батал.
$\dfrac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\cos\alpha-\sin\alpha}=\tg2\alpha+\sec2\alpha$ адилтгалыг батал.
$\ctg^2\alpha-\ctg^2\beta=\dfrac{\cos^2\alpha-\cos^2\beta}{\sin^2\alpha\sin^2\beta}$ адилтгалыг батал.
$\dfrac{2\sin\left(\dfrac{\pi}{4}+\beta\right)-\sqrt2\sin\beta}{2\cos\left(\dfrac{\pi}{6}+\beta\right)-\sqrt3\cos\beta}$ адилтгалыг батал.
$\tg^2\left(\dfrac{\pi}{4}-\alpha\right)=\dfrac{1-\sin2\alpha}{1+\sin2\alpha}$ адилтгалыг батал.
$\dfrac{2\sin2x+\sin4x}{2(\cos x+\cos3x)}=\tg2x\cdot\cos x$ адилтгалыг батал.
$\dfrac{\sin2x-2\sin x}{\sin2x+2\sin x}=-\tg^2\dfrac{x}{2}$ адилтгалыг батал.
$\dfrac{1+\sin\alpha-2\sin^2\left(45^{\circ}-\dfrac{\alpha}{2}\right)}{4\cos\dfrac{\alpha}{2}}=\sin\dfrac{\alpha}{2}$ адилтгалыг батал.
$\dfrac{1+\sin2\alpha+\cos2\alpha}{1+\sin2\alpha-\cos2\alpha}=\ctg\alpha$ адилтгалыг батал.
$\sin^2(30^{\circ}+\alpha)-\sin^{2}(30^{\circ}-\alpha)=\dfrac{\sqrt3\sin2\alpha}{2}$ адилтгалыг батал.
$\dfrac{2\tg\alpha}{\tg^2\alpha-1}=\dfrac{2\cos^2\alpha\cdot\tg\alpha}{\sin^2(-\alpha)-\cos^2\alpha}$ адилтгалыг батал.
$\dfrac{\sin^2\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}+\dfrac{\sin\alpha+\cos\alpha}{1-\tg^2\alpha}-\sin\alpha=\cos\alpha$ адилтгалыг батал.
$\sin^4\alpha+\cos^4\alpha+\dfrac{1}{2}\sin^22\alpha=1$ адилтгалыг батал.
$\dfrac{\sin\alpha+\sin\dfrac{\alpha}{2}}{1+\cos\alpha+\cos\dfrac{\alpha}{2}}=\tg\dfrac{\alpha}{2}$ адилтгалыг батал.
$\tg\left(\dfrac{\pi}{4}+\alpha\right)=\dfrac{1+\sin2\alpha}{\cos2\alpha}$ адилтгалыг батал.
$(\tg\alpha+\ctg\alpha)^2-(\tg\alpha-\ctg\alpha)^2=4$ адилтгалыг батал.
$\sin^6\alpha+\cos^6\alpha+3\sin^2\alpha\cos^2\alpha=1$ адилтгалыг батал.
$\dfrac{\sin(\pi+x)\cos\Big(\dfrac{3\pi}{2}-x\Big)\tg\Big(x-\dfrac{\pi}{2}\Big)}{\cos\Big(\dfrac{\pi}{2}+x\Big)\cos\Big(\dfrac{3\pi}{2}+x\Big)\tg(\pi+x)}=\ctg^2x$ адилтгалыг батал.
$1+\dfrac{1-\cos^2\alpha+\tg^2\alpha\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}$ илэрхийллийг хялбарчил.
$\dfrac{\sin43^{\circ}+\sin17^{\circ}}{2\cos13^{\circ}+3\sin77^{\circ}}$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\dfrac{\sin(\alpha+\pi)}{\sin(\alpha+\dfrac{3\pi}{2})}+\dfrac{\cos(3\pi-\alpha)}{\cos(\dfrac{\pi}{2}+\alpha)-1}=\dfrac{A}{\cos\alpha}$ адилтгал биелэж байхаар $A$-г ол.
$\dfrac{1+\cos x}{\sin x}=B\tg\dfrac{x}{2}$ адилтгал биелэж байхаар $B$-г ол.
$\sin^4\alpha+\dfrac14\sin^2(2\alpha+\pi)=(\sin\alpha)^k$ адилтгал биелэж байхаар $k$-г ол.
$2\sin4x(\cos^42x-\sin^42x)=\sin kx$ адилтгал биелэж байхаар $k$-г ол.
$\cos^2x+\cos^2(x+\alpha)-2\cos\alpha\cdot\cos x\cdot\cos(x+\alpha)$ илэрхийлэл $x$-ээс хамаарахгүй болохыг батал.
$f(x)=\sin^22x+0.5\cos4x+2\sin^2x+\cos2x$ нь $x$-ээс хамаарахгүй тогтмол утга авахыг харуулж тэр утгийг ол.
$\sin5\alpha\cos\Big(\dfrac{\pi}{2}-4\alpha\Big)+\sin(\pi-4\alpha)\sin3\alpha +\sin2\alpha\cos\Big(\dfrac{7\pi}{2}-\alpha\Big)=2\cos\alpha\sin3\alpha\sin5\alpha$ батал.
$\dfrac{-4\tg\alpha}{\tg^2\alpha-1}=\tg\Big(\alpha+\dfrac{\pi}{4}\Big) +\tg\Big(\alpha-\dfrac{\pi}{4}\Big)$ батал.
$\dfrac{\sin^2\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}+\dfrac{\sin\alpha+\cos\alpha}{1-\tg^2\alpha}-\sin\alpha=\cos\alpha$ батал.
$\dfrac{1+\cos(2\alpha+630^{\circ})+\sin(2\alpha+810^{\circ})} {1-\cos(2\alpha-630^{\circ})+\sin(2\alpha+630^{\circ})}=\ctg\alpha$ батал.
$\cos(\arcsin x)=\sqrt{1-x^2}$ томьёог батлаж биелэх мужийг заа.
$\sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2}$ томьёог батлаж биелэх мужийг заа.
$\tg(\arcsin x)=\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}$, $\tg(\arccos x)=\dfrac{\sqrt{1-x^2}}{x}$ томьёог батлаж биелэх мужийг заа.
$\sin\Big(\dfrac12\arccos x\Big)=\sqrt{\dfrac{1-x}{2}}$ томьёог батлаж биелэх мужийг заа.
$\cos\Big(\dfrac12\arccos x\Big)=\sqrt{\dfrac{1+x}{2}}$ томьёог батлаж биелэх мужийг заа.
$\tg(\arcctg x)=\dfrac1x$, $\ctg(\arcctg x)=\dfrac1x$ томьёог батлаж биелэх мужийг заа.
$\cos(\arcctg x)=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}$, $\sin(\arcctg x)=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ томьёог батлаж биелэх мужийг заа.
$\sin(\arcctg x)=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ томьёог батлаж биелэх мужийг заа.
$2(\sin^6\alpha+\cos^6\alpha)-3(\sin^4\alpha+\cos^4\alpha)+1=0$ томьёог батлаж биелэх мужийг заа.
$\pi< \alpha< 2\pi$ үед $\dfrac{\sqrt{1+\cos\alpha}+\sqrt{1-\cos\alpha}}{\sqrt{1+\cos\alpha}-\sqrt{1-\cos\alpha}}=\ctg\Big(\dfrac{\alpha}{2}+\dfrac{\pi}{2}\Big)$ томьёог батлаж биелэх мужийг заа.
$\dfrac{\ctg\alpha+\ctg(270^{\circ}+\alpha)}{\ctg\alpha-\ctg(270^{\circ}+\alpha)}-2\cos(135^{\circ}+\alpha)\cos(315^{\circ}-\alpha)=2\cos2\alpha$ батал.
$\sin(\alpha-30^\circ)$ нь аль илэрхийлэлтэй тэнцүү вэ?

A. $\sin(30^\circ-\alpha)$     B. $\sin(120^\circ+\alpha)$     C. $\sin(120^\circ-\alpha)$     D. $\cos(120^\circ-\alpha)$     E. $\cos(90^\circ-\alpha)$    
  1. $\sin(\alpha+\beta)\cdot \sin(\alpha-\beta)=\sin^2\alpha-\sin^2\beta$ адилтгалыг батал.
  2. $\sin\alpha+\sin\beta=\dfrac 12$, $\cos \alpha+\cos\beta=\dfrac 23$ бол $\cos(\alpha-\beta)$-ийн утгыг ол.
$\triangle ABC$-ийн өнцгүүд $A$, $B$, $C$ бол дараах адилтгал биелэхийг батал. $$\sin A+\sin B+\sin C=4\cdot \cos \dfrac A2\cdot \cos\dfrac B2\cdot \cos \dfrac C2$$
  1. $\dfrac{\sin \theta}{1+\cos+\theta}+\dfrac 1{\tg+\theta}=\dfrac 1{\sin \theta}$ адитгалыг батал.
  2. $\sin \theta+\cos \theta=\dfrac 13$ бол $\sin^3 \theta+\cos^3 \theta$-ийн утгыг ол.
  1. $\cos 5\theta=f(\cos \theta)$ нөхцлийг хангах $f(x)$ функцийг ол.
  2. $\alpha=18^{\circ}$ бол $\cos \alpha\cos 3\alpha\cos7\alpha=\dfrac5{16}$ болохыг батал.
  1. $90^{\circ}< \alpha< 180^{\circ}$, $\sin\alpha=\dfrac 35$ бол $\cos2\alpha$, $\sin2\alpha$, $\tg\dfrac{\alpha}{2}$-ийн утгыг ол.
  2. $t=\tg\dfrac{\theta}{2}$ бол дараах адилтгалыг батал. $$\sin\theta=\dfrac{2t}{1+t^2}, \cos\theta=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}, \tg\theta=\dfrac{2t}{1-t^2}.$$
Дараах адилтгалыг батал.
  1. $\sin^4 \theta-\cos^4 \theta=1-2\cos^2 \theta$
  2. $\tg^2 \theta-\sin^2 \theta=\tg^2 \theta\cdot \sin^2 \theta$
  3. $\dfrac{\cos \theta}{1+\sin \theta}+\tg\theta=\dfrac1{\cos \theta}$
  4. $\dfrac{\cos \theta}{1+\sin \theta}+\dfrac{\cos \theta}{1-\sin \theta}=\dfrac2{\cos \theta}$
Дараах адилтгалыг батал.
  1. $\cos(\alpha-\beta)\cdot \cos(\alpha+\beta)=\cos^2\alpha-\sin^2\beta=\cos^2\beta-\sin^2\alpha.$
  2. $\cos x\cdot \sin(y-z)+\cos y\cdot \sin(z-x)+\cos z\cdot \sin(x-y)=0.$
Дараах адилтгал биелэхийг батал.
  1. $A+B+C=360^{\circ}$ бол $\sin A+\sin B+\sin C=4\cdot \sin \dfrac A2\cdot \sin \dfrac B2\cdot \sin \dfrac C2.$
  2. $\triangle ABC$-ны дотоод өнцгүүдийн хувьд $$\cos A+\cos B-\cos C=4\cos \dfrac A2\cdot \cos\dfrac B2\cdot \sin \dfrac C2-1 .$$
$\sin x+\sin 3x=a\sin x\cos^2 x$ адилтгал биелэгдэх тогтмол тоо $a$-г ол.
$\sin(\alpha-30^\circ)$ нь аль илэрхийлэлтэй тэнцүү вэ?

A. $\sin(30^\circ-\alpha)$     B. $\sin(120^\circ+\alpha)$     C. $\sin(120^\circ-\alpha)$     D. $\cos(120^\circ-\alpha)$     E. $\cos(90^\circ-\alpha)$    

Үндсэн адилтгал

$\cos\alpha=0.8$ ба $0^{\circ}< \alpha< 90^{\circ}$ бол $\tg\alpha$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\cos\alpha=-0.8$ ба $\alpha\in\Big(\pi;\dfrac{3\pi}{2}\Big)$ бол $\tg\alpha$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\cos\alpha=\dfrac{\sqrt3}{2}$ ба $\dfrac{3\pi}{2}< \alpha< 2\pi$ бол $\sin\alpha$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\tg\alpha=\sqrt{15}$ ба $0^{\circ}< \alpha< 90^{\circ}$ бол $\cos\alpha$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\sin\alpha=-\dfrac{1}{3},\cos\beta=-\dfrac23 $ ба $\pi< \alpha,\beta< \dfrac{3\pi}{2}$ бол $\sin(\alpha+\beta)$-г ол.
$\sin\alpha=\dfrac{8}{17},\sin\beta=\dfrac{15}{17}$ ба $\alpha$, $\beta\in\big(\frac{\pi}{2};\pi\big)$ бол $\sin(\alpha+\beta)$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\tg\alpha=\dfrac{12}{5}$ ба $\pi< \alpha< \dfrac{3\pi}{2}$ бол $\sin\alpha$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\tg\alpha=-4$ ба $-90^{\circ}< \alpha< 90^{\circ}$ бол $5\sqrt{17}\sin\alpha$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\sin\alpha=-\dfrac{12}{13}$, $\cos\beta=\dfrac{24}{25}$ ба $0<\beta<\dfrac{\pi}{2}$, $\pi<\alpha<\dfrac{3\pi}{2}$ бол $\sin(\alpha-\beta)=-0.\fbox{abc}\dots$ байна.
$\sin\alpha=\dfrac45$ ба $\dfrac{\pi}{2}< \alpha< \pi$ бол $\cos\Big(\dfrac{\pi}{3}+\alpha\Big)$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\sin\alpha=a$ ба $\alpha\in\Big[\dfrac{\pi}{2};\pi\Big]$ бол $\cos\Big(\alpha+\dfrac{\pi}{4}\Big)$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\cos\alpha=a$ ба $\alpha\in\Big(0;\dfrac{\pi}{4}\Big)$ бол $\sin2\alpha$, $\cos\Big(2\alpha+\dfrac{\pi}{4}\Big)$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\sin(\pi-x)=a$ ба $x\in\Big[-\pi;-\dfrac{\pi}{2}\Big]$ бол $\ctg\Big(\dfrac{\pi}{2}-x\Big)$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\tg(\pi+x)=a$ ба $x\in\Big[\pi;\dfrac{3\pi}{2}\Big]$ бол $\cos\Big(\dfrac{\pi}{2}-x\Big)$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\cos\alpha=\dfrac{1}{\sqrt3}$ бол $\tg^{-2}\Big(\dfrac{7\pi}{2}+2\alpha\Big)$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\sin\alpha=-\dfrac{5}{13}$ ба $\pi< \alpha< \dfrac{3\pi}{2}$ бол $\ctg\alpha-2\tg\dfrac{\alpha}{2}$ илэрхийллийн утгыг ол.
$\cos2\alpha=\sin\alpha$ ба $\alpha\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)$ бол $\cos\alpha$-г ол.
$\ctg\beta=2$ бол $\dfrac{7\cos\beta}{11\sin^3\beta+3\cos^3\beta}$ илэрхийллийн утгыг ол.

A. $1$     B. $2$     C. $3$     D. $4$     E. $5$    
$\sin\alpha=\dfrac34$ бол $\tg^2\alpha=?$

A. $\dfrac 43$     B. $\dfrac 54$     C. $\dfrac 79$     D. $\dfrac 97$     E. $1$    
$\alpha$ нь I мужийн өнцөг ба $\sin\alpha=\dfrac{5}{13}$, $\beta$ нь III мужийн өнцөг ба $\cos\beta=-\dfrac{3}{5}$ гэе. $\sin(\alpha-\beta)=\dfrac{\fbox{ab}}{\fbox{cd}}$, $\sin(\alpha+\beta)=-\dfrac{\fbox{ef}}{\fbox{gh}}$.
$\theta$ өнцөг нь хурц бөгөөд $\cos\theta=\dfrac{x}{y}$, $x>0$, $y>0$ ба $x\neq y$ бол $\tg\theta=?$

A. $\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$     B. $\dfrac{\sqrt{y^2-x^2}}{\sqrt{x^2+y^2}}$     C. $\dfrac{\sqrt{y^2-x^2}}{x}$     D. $\dfrac{\sqrt{y^2-x^2}}{y}$     E. $\dfrac{x^2+y^2}{xy}$    
Хэрэв $\sin\alpha+\cos\alpha=\dfrac13$ бол $\sin\alpha\cdot\cos\alpha=?$

A. $\dfrac{11}{18}$     B. $-\dfrac49$     C. $-\dfrac34$     D. $\dfrac52$     E. $\dfrac58$    
$\sin^440^\circ-\cos^440^\circ=?$

A. $\cos80^\circ$     B. $\sin80^\circ$     C. $\cos100^\circ$     D. $\sin100^\circ$     E. $1$    
Хэрэв $\alpha\in\big(0;\frac\pi2\big)$ ба $\sin\alpha=\frac35$ бол $\cos\alpha\cdot(\tg\alpha+\ctg\alpha)$ хэдтэй тэнцүү вэ?

A. $\dfrac35$     B. $\dfrac53$     C. $-\dfrac35$     D. $-\dfrac53$     E. $\dfrac45$    
$0< t< \dfrac{\pi}{2}$ ба $\sin(4\pi+t)=\dfrac 35$ бол $\tg (\pi-t)=?$

A. $-\dfrac 54$     B. $-\dfrac34$     C. $-\dfrac 23$     D. $-\dfrac 43$     E. $-\dfrac 12$    
$\dfrac{3\pi}{2}< t< 2\pi$ ба $\cos (2\pi+t)=\dfrac{12}{13}$ бол $\ctg (\pi-t)=?$

A. $\dfrac{13}{5}$     B. $-\dfrac{13}{12}$     C. $-\dfrac{12}5$     D. $\dfrac{12}{5}$     E. $\dfrac{13}{12}$    
$\dfrac{\pi}{2}< \alpha< \pi,$ $\dfrac{\pi}{2}< \beta< \pi,$ $\sin\alpha=\dfrac 45,$ $\cos\beta=-\dfrac{15}{17}$ бол $\sin(\alpha+\beta)=?$

A. $-\frac{84}{85};$     B. $-\frac{7}{17};$     C. $-\frac{28}{85};$     D. $-\frac{12}{17};$    
$0< \alpha< \dfrac{\pi}{2}$, $\dfrac{3\pi}{2}< \beta< 2\pi$, $\sin\alpha=\dfrac{9}{41}$, $\sin\beta=-\dfrac{40}{41}$ бол $\cos(\alpha+\beta)=?$

A. $\dfrac{1600}{1681}$     B. $\dfrac{720}{1681}$     C. $\dfrac{360}{1681}$     D. $\dfrac{369}{1681}$     E. $\dfrac{365}{1681}$    
$\sin\alpha+\sin\beta=1,$ $\cos\alpha+\cos\beta=\sqrt{2}$ бол $\cos(\alpha-\beta)=?$

A. $\dfrac 13$     B. $\dfrac 12$     C. $\dfrac{1-\sqrt{2}}{2}$     D. $\dfrac{\sqrt{2}}{4}$     E. $-\dfrac12$    
$\cos x=\dfrac 14$; $\sin x< \cos x$ бол $\tg x=\fbox{a}\sqrt{\fbox{bc}}$ байна.
$\sin x=\dfrac 35; \cos x< \sin x$ бол $\tg x=\fbox{a}\dfrac{\fbox{c}}{\fbox{b}}$ байна.
$\sin\alpha=-\dfrac 35 \Bigl(|\alpha|< \dfrac{\pi}{2}\Bigr), \cos\beta=\dfrac{5}{13} \Bigl(-\pi< \beta< 0\Bigr)$ бол $\sin(\alpha-\beta)=\dfrac{\fbox{ab}}{\fbox{cd}}$ байна.
$\sin\alpha=-\dfrac 45 \Bigl(|\alpha|< \dfrac{\pi}{2}\Bigr),$ $\sin \beta=-\dfrac{12}{13} \left(\dfrac{\pi}{2}< |\beta|< \pi\right)$ бол $\cos(\alpha+\beta)=-\dfrac{\fbox{cd}}{\fbox{ab}}$ байна.
  1. $180^{\circ}\leq\theta\leq 360^{\circ}$ ба $\cos\theta=-\dfrac{24}{25}$ бол $\sin\theta$, $\tg\theta$-ийн утгыг ол.
  2. $90^{\circ}\leq \theta\leq 270^{\circ}$ ба $\tg \theta=-3$ бол $\sin\theta$, $\cos\theta$-ийн утгыг ол.
$\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tg \theta$-ийн нэг нь өгөгдсөн үед нөгөө хоёрыг ол.

  1. $\sin \theta=-\dfrac 2{\sqrt{5}}, 270^{\circ}< \theta< 360^{\circ}$
  2. $\cos \theta=\dfrac13$, $180^{\circ}< \theta< 360^{\circ}.$

  3. $\tg \theta=2+\sqrt{3}$
$\theta$ нь III мужийн өнцөг ба $\tg\theta=\sqrt{2}$ бол дараах илэрхийллийн утгыг ол.
  1. $\dfrac{\cos^2\theta}{1+2\sin\theta\cdot \cos\theta}$
  2. $\dfrac{1-\sin\theta}{\cos\theta}+\dfrac{\cos\theta}{1-\sin\theta}$
$\alpha$ нь I мужийн өнцөг ба $\sin\alpha=\dfrac5{13}$, $\beta$ нь III мужийн өнцөг ба $\cos\beta=-\dfrac 35$ гэе. $\sin(\alpha-\beta)=\ebox$, $\cos(\alpha+\beta)=\ebox$, $\cos(\alpha-\beta)=\ebox.$
$\alpha$ нь III мужийн өнцөг ба $\tg\alpha=3$ бол $\cos\alpha$ хэд байх вэ?

A. $-\dfrac13$     B. $\dfrac3{10}$     C. $-\dfrac3{10}$     D. $-\dfrac{\sqrt{10}}{10}$     E. $\dfrac{\sqrt{10}}{10}$    
$\alpha$ нь II мужийн өнцөг ба $\tg\alpha=-2$ бол $\cos\alpha$ хэд байх вэ?

A. $-\dfrac13$     B. $\dfrac1{2}$     C. $-\dfrac1{4}$     D. $\dfrac{\sqrt{5}}{5}$     E. $-\dfrac{\sqrt{5}}{5}$    
$\alpha$, $\beta$ нь хурц өнцөг болно. $\cos\alpha=\dfrac{15}{17}$ ба $\cos\beta=\dfrac{3}{5}$ бол $\sin(\alpha+\beta)=?$

A. $\dfrac{84}{85}$     B. $\dfrac{56}{57}$     C. $\dfrac{7}{8}$     D. $\dfrac{37}{38}$     E. $\dfrac{99}{100}$    
$\sin\alpha+\cos\alpha=m$ бол $\sin2\alpha=?$

A. $m^2$     B. $m^2-1$     C. $\dfrac{m^2-1}{2}$     D. $-\dfrac{m^2-1}{2}$     E. $1-m^2$    
$x$ ба $y$ нь II мужийн өнцгүүд ба $\sin x=\dfrac{2}{\sqrt{5}}$, $\sin y=\dfrac{3}{5}$ бол $\sin(x-y)$ хэдтэй тэнцүү вэ?

A. $-\dfrac{2\sqrt{5}}{25}$     B. $-\dfrac{\sqrt{5}}{25}$     C. $-\dfrac{2}{25}$     D. $-\dfrac{\sqrt{5}}{5}$     E. $-\dfrac{22}{25}$    
Хэрэв $\tg\alpha=3$ бол $\dfrac{\sin\alpha}{\sin^3\alpha+\cos^3\alpha}=?$

A. $\dfrac{15}{14}$      B. $\dfrac{7}{9}$      C. $1$      D. $\dfrac{10}{9}$      E. $\dfrac{35}{28}$    
$\dfrac{\pi}2\leq\theta\leq\pi$ байх $\theta$-ийн хувьд $\sin^2\theta-\cos^2\theta=\dfrac13$ бол $\tan\theta$-г ол.

A. $\sqrt2$     B. $\frac1{\sqrt2}$     C. $1$     D. $-\frac1{\sqrt2}$     E. $-\sqrt2$    
$\alpha$ нь 2-р мөчид байрлах ба $\tg\alpha=-\dfrac{15}{8}$ бол $\sin\alpha=?$

A. $\dfrac{8}{17}$     B. $\dfrac{15}{17}$     C. $-\dfrac{17}{15}$     D. $-\dfrac{8}{17}$     E. $\dfrac{8}{15}$    
$\tg\alpha=\dfrac{5}{12}$ ба $\pi<\alpha<\dfrac{3\pi}{2}$ бол $\cos\alpha=?$

A. $-\dfrac45$     B. $\dfrac{12}{13}$     C. $-\dfrac35$     D. $-\dfrac{12}{13}$     E. $-\dfrac{5}{13}$    
$\ctg\alpha=\dfrac{5}{12}$ ба $\pi<\alpha<\dfrac{3\pi}{2}$ бол $\cos\alpha=?$

A. $-\dfrac45$     B. $\dfrac{12}{13}$     C. $-\dfrac35$     D. $-\dfrac{5}{13}$     E. $-\dfrac{12}{13}$    
$\dfrac{3\pi}{2}< t< 2\pi$ ба $\cos (2\pi+t)=\dfrac{12}{13}$ бол $\ctg (\pi-t)=?$

A. $\dfrac{13}{5}$     B. $-\dfrac{13}{12}$     C. $-\dfrac{12}5$     D. $\dfrac{12}{5}$     E. $\dfrac{13}{12}$    
Хэрэв $\tg\alpha=2$ бол $\sqrt{2\ctg\alpha+\dfrac{1}{\sin^2\alpha}}$ илэрхийллийн утгыг ол.

A. $3$     B. $1.5$     C. $1$     D. $\dfrac23$     E. $0$    
$\alpha$, $\beta$ нь хурц өнцөг болно. $\cos\alpha=\dfrac{15}{17}$ ба $\cos\beta=\dfrac{3}{5}$ бол $\cos(\alpha+\beta)=?$

A. $-\dfrac{13}{85}$     B. $-\dfrac{16}{57}$     C. $-\dfrac{3}{8}$     D. $-\dfrac{17}{38}$     E. $-\dfrac{33}{100}$    
$\sin^480^\circ-\cos^480^\circ=?$

A. $\cos20^\circ$     B. $\sin20^\circ$     C. $\cos80^\circ$     D. $\sin80^\circ$     E. $0$    

Илэрхийллийг хялбарчил

$\dfrac{1-\tg2\alpha+\tg^22\alpha}{1-\ctg2\alpha+\ctg^22\alpha}$ илэрхийллийг хялбарчил.

A. $\tg^22\alpha$     B. $\sin2\alpha$     C. $\cos2\alpha$     D. $\ctg\alpha$     E. $1$    
$(3+\sqrt5)\sin^218^\circ=?$

A. $\dfrac12$     B. $\dfrac{\sqrt3}{2}$     C. $\dfrac14$     D. $2\sqrt3$     E. $1$    
$\cos^235^{\circ}+\cos^225^{\circ}-\cos^25^{\circ}$ илэрхийллийн утгыг ол.

A. $\dfrac 12$     B. $\dfrac 23$     C. $\dfrac 34$     D. $\dfrac 13$     E. $\dfrac 14$    
$\dfrac{\sin10^\circ+\sin20^\circ}{1+\cos 10^\circ+\cos 20^\circ}\cdot\ctg10^\circ$-ийг хялбарчил.

A. $\sin10^\circ$     B. $\tg^210^\circ$     C. $\dfrac12$     D. $1$     E. $\dfrac32$    
$\dfrac{\sin36^\circ+\sin18^\circ}{1+\cos18^\circ+\cos36^\circ}\cdot\ctg18^\circ$ хялбарчил.

A. $\sin18^\circ$     B. $\tg^218^\circ$     C. $\dfrac12$     D. $1$     E. $\dfrac32$    
$\dfrac{\sin72^\circ+\sin36^\circ}{1+\cos 36^\circ+\cos 72^\circ}\cdot\ctg36^\circ$-ийг хялбарчил.

A. $\sin36^\circ$     B. $\tg^236^\circ$     C. $\dfrac12$     D. $1$     E. $\dfrac32$    
$\dfrac{\sin14^\circ+\sin7^\circ}{1+\cos 7^\circ+\cos 14^\circ}\cdot\ctg7^\circ$-ийг хялбарчил.

A. $\sin7^\circ$     B. $\tg^27^\circ$     C. $\dfrac12$     D. $1$     E. $\dfrac32$    
$(7+3\sqrt5)\sin^418^\circ=?$

A. $1$     B. $\dfrac{\sqrt3}{2}$     C. $\dfrac14$     D. $\dfrac12$     E. $\dfrac18$    
$\tg\alpha=3$ бол $\dfrac{2\sin2\alpha-3\cos2\alpha}{4\sin2\alpha+5\cos2\alpha}$ илэрхийллийн утгыг ол.
$A=\sin\dfrac{\pi}{7}\cdot\sin\dfrac{2\pi}{7}\cdot\sin\dfrac{3\pi}{7}$ илэрхийллийн утгыг ол.
$2\cos^275^\circ\cdot\tg75^\circ=?$

A. $\dfrac12$     B. $\dfrac{\sqrt3}2$     C. $1$     D. $\dfrac{\sqrt3}4$     E. $\dfrac14$    
$2\cos^222.5^\circ\cdot\tg22.5^\circ=?$

A. $1$     B. $\dfrac{\sqrt2}2$     C. $\dfrac12$     D. $\dfrac{\sqrt3}4$     E. $\dfrac14$    
$\dfrac{\sin2\alpha+\sin6\alpha+\sin10\alpha}{\cos2\alpha+\cos6\alpha+\cos10\alpha}$ илэрхийллийг хялбарчил.

A. $\tg6\alpha$     B. $0$     C. $\cos2\alpha$     D. $2$     E. $\sin10\alpha$    
$\dfrac{\sqrt{2} \cos\alpha -2\cos(45^\circ +\alpha)}{2\sin (45^\circ +\alpha)-\sqrt{2}\sin\alpha}$ хялбарчил.

A. $0$     B. $10$     C. $1$     D. $\ctg \alpha$     E. $\tg \alpha$    

Универсал орлуулга

$x_0$ нь $2-\cos 2x-2\sin 2x=0$ тэгшитгэлийн хамгийн бага эерэг язгуур бол $\tg x_0$ хэд вэ?

A. $1$     B. $3$     C. $\frac14$     D. $4$     E. $\frac13$    
$\tg\alpha=\dfrac{4}{5}$ бол $\cos2\alpha=?$

A. $\dfrac35$     B. $-\dfrac{9}{41}$     C. $\dfrac{15}{17}$     D. $\dfrac{9}{41}$     E. $-\dfrac{15}{17}$    
$\tg\alpha=\dfrac{3}{5}$ бол $\sin2\alpha=?$

A. $\dfrac35$     B. $-\dfrac{9}{41}$     C. $-\dfrac{15}{17}$     D. $\dfrac{9}{41}$     E. $\dfrac{15}{17}$    

Секанс, косеканс, котангес функцүүд