Монгол Бодлогын Сан

Заавар:

Бодолт: $0< a< 1$ учир $\log_aa^6\geq \log_a x^2y^3\geq \log_a a^3$ буюу $6\geq 2 \log_ax+3 \log_ay\ge3$ болно. $\log_ax=X, \log_ay=Y$ гэвэл $0< x\leq 1, 0< y\leq 1, 0< a\leq 1$ учир $\log_ax=X\geq 0; \log_ay=Y\geq 0$ болно. Иймд бид $X\geq 0, Y\geq 0, 3\leq 2X+3Y\leq 6$ нөхцөл биелэх үед $F=X^2+Y^2$ функцийн хамгийн их, бага утгыг олох ёстой. $P$ цэг зурааслагдсан мужид байх цэг ба $P(X, Y)$ гэвэл $OP^2=X^2+Y^2=F$ болно. $OP\leq OK$ учир $P\equiv K$ үед $K(3, 0)$ цэг дээр $F=OP^2$ хамгийн их утгатай болох ба $F=3^2+0^2=9$ болно. $OH\leq OP$ учир $P\equiv H$ үед $F=OP^2=OH^2$ хамгийн бага утгатай болно. $OH$ бол $O(0, 0)$ цэгээс $2X+3Y-3=0$ шулуун хүртэлх зай буюу $OH=\dfrac{|2\cdot 0+3\cdot 0-3|}{\sqrt{2^2+3^2}}=\dfrac{3}{\sqrt{13}}.$ $F=OH^2=\dfrac{9}{13}$ болно. $\log_ax=X=\dfrac{6}{13}, \log_ay=Y=\dfrac{9}{13}$ гэдгээс $(x, y)=(a^{\frac{6}{13}}, a^{\frac{9}{13}})$ үед $F$ хамгийн бага утга $\dfrac{9}{13}$-г авна.