Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

$90^{\circ}< \alpha< 180^{\circ}$, $\sin\alpha=\dfrac 35$ бол $\cos2\alpha$, $\sin2\alpha$, $\tg\dfrac{\alpha}{2}$-ийн утгыг ол.
$t=\tg\dfrac{\theta}{2}$ бол дараах адилтгалыг батал. $$\sin\theta=\dfrac{2t}{1+t^2}, \cos\theta=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}, \tg\theta=\dfrac{2t}{1-t^2}.$$

Бодлогын төрөл: Уламжлалт

Заавар:

$2\alpha$ (давхар өнцөг) ба $\dfrac{\alpha}{2}$ (хагас өнцөг)-ийн утгуудыг олохдоо гол анхаарах зүйл нь тэмдэг байна.
Баруун талын илэрхийллийг хувиргаж зүүн гар талын хялбар илэрхийллийг гаргаж ав.

Бодолт:

$\cos 2\alpha=1-2\sin^2\alpha=1-2\cdot \left(\dfrac 35\right)^2=1-\dfrac{18}{25}=\dfrac7{25}$,

$$\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cdot \cos \alpha=2\cdot \dfrac 35\cdot \left(-\sqrt{1-\left(\dfrac35\right)^2}\right)=-\dfrac{24}{25}$$ энд $90^{\circ}< \alpha< 180^{\circ}$ байх тул $\cos \alpha< 0.$ $\cos\alpha=-\dfrac 45$ ба $45^{\circ}< \dfrac{\alpha}{2}< 90^{\circ}$ тул $\tg\dfrac{\alpha}{2}>0.$ Иймд $$\tg\dfrac{\alpha}{2}=\sqrt{\dfrac{1-\cos\alpha}{1+\cos \alpha}}=3.$$
$\sin\dfrac{\theta}{2}=s$, $\cos\dfrac{\theta}{2}=c$ гэж орлуулбал $t=\dfrac sc$, $s^2+c^2=1$ болно. $\dfrac{2t}{1+t^2}=\dfrac{2\dfrac sc}{1+\dfrac{s^2}{c^2}}=\dfrac{2sc}{c^2+s^2}=\dfrac{\sin \big(2\cdot \frac{\theta}{2}\big)}{1}=\sin\theta.$ $\dfrac{1-t^2}{1+t^2}=\dfrac{c^2-s^2}{c^2+s^2}=\cos\theta$, $$\dfrac{2t}{1-t^2}=\tg \left(2\cdot \dfrac{\theta}{2}\right)=\tg\theta.$$