Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

Парабол ба шүргэгчүүдээр хашигдсан талбай

$y=x^2$ параболын $A, B$ цэгүүд дээрх шүргэгч шулуунуудын огтлолын цэгийг $P$ гэе. Эдгээр 2 шулуун ба параболоор зааглагдсан дүрсийн талбай $S$ нь тогтмол 2 байхаар $A, B$ цэгүүд хөдлөхөд $P$ цэгийн геометр байрыг ол.


Бодлогын төрөл: Уламжлалт
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан

Бодолт

Заавар: $P$ цэгийн геометр байрыг олохдоо $P(X, Y)$ гэж үзээд $X, Y$-ийн хамааралыг олох ёстой.
Бодолт: $A(a, a^2), B(b, b^2)$, $(a< b), P(X, Y)$ гэе. $A$, $B$ цэгүүд дээрх шүргэгчүүд харгалзан $y=2ax-a^2$, $y=2bx-b^2$ байна. $P$ нь эдгээр шулуунуудын огтолцол учир $$\begin{array}{ll} Y=2aX-a^2 & \boldsymbol{\cdots}(1)\\ Y=2bX-b^2 & \boldsymbol{\cdots}(2) \end{array}$$

байна. $S=\mathop{\int\limits_{a}^{X}}(x^2-(2ax-a^2))\,\textrm{d}x+\mathop{\int\limits_{X}^{b}}(x^2-(2bx-b^2))\,\textrm{d}x= \mathop{\int\limits_{a}^{X}}(x-a)^2\,\textrm{d}x+\mathop{\int\limits_{X}^{b}}(x-b)^2\,\textrm{d}x=\left. \dfrac{(x-a)^3}{3}\right|_{a}^{X}+\left.\dfrac{(x-b)^3}{3}\right|_{X}^{b}=\dfrac{(X-a)^3}{3}-\dfrac{(X-b)^3}{3}$болно. $S=2$ тул $$(X-a)^3-(X-b)^3=6 \boldsymbol{\cdots}(3)$$ болно. (1), (2), (3) тэнцэтгэлүүдээс $a, b$-г зайлуулж $X, Y$-ийн хамааралыг олох хэрэгтэй. Үүний тулд (1), (2)-оос $a, b$-г $X, Y$-ээр илэрхийлбэл $$a=X-\sqrt{X^2-Y}, b=X+\sqrt{X^2-Y}$$ болно. Үүнийг (3)-т орлуулбал $2(\sqrt{X^2-Y})^3$=6 буюу $X^2-Y=\sqrt[3]{9}$ гэж гарна. Иймд олох геометр байр маань $y=x^2-\sqrt[3]{9}$ парабол байна.

Сорилго

Аналитик геометр 

Түлхүүр үгс