Монгол Бодлогын Сан

Заавар:

Бодолт: $|\vec{\mathstrut{a}}+t\vec{\mathstrut{b}}|^2=|\vec{\mathstrut{b}}|^2\cdot t^2+2\cdot (\vec{\mathstrut{a}}\cdot \vec{\mathstrut{b}})\cdot t+|\vec{\mathstrut{a}}|^2$ болох ба $t$-ийн хувьд бүтэн квадрат ялгавал $$|\vec{\mathstrut{a}}+t\vec{\mathstrut{b}}|^2=|\vec{\mathstrut{b}}|^2\left(t+\dfrac{\vec{\mathstrut{a}}\cdot \vec{\mathstrut{b}}}{|\vec{\mathstrut{b}}|^2}\right)^2- \dfrac{(\vec{\mathstrut{a}}\cdot \vec{\mathstrut{b}})^2}{|\vec{\mathstrut{b}}|^2}+1$$ болно. Энд $|\vec{\mathstrut{a}}+t\vec{\mathstrut{b}}|\geq 0$ ба $|\vec{\mathstrut{a}}+t\vec{\mathstrut{b}}|^2$ нь хамгийн бага утгаа авах үед $|\vec{\mathstrut{a}}+t\vec{\mathstrut{b}}|$ нь ч хамгийн бага утгаа авна. Иймд $|\vec{\mathstrut{a}}+t\vec{\mathstrut{b}}|$ нь $t=-\dfrac{\vec{\mathstrut{a}}\cdot \vec{\mathstrut{b}}}{|\vec{\mathstrut{b}}|^2}$ үед $\sqrt{-\dfrac{(\vec{\mathstrut{a}}\cdot \vec{\mathstrut{b}})^2}{|\vec{\mathstrut{b}}|^2}+1}$ гэсэн хамгийн бага утгаа авна. Иймд өгсөн нөхцлөөс $-\dfrac{\vec{\mathstrut{a}}\cdot \vec{\mathstrut{b}}}{|\vec{\mathstrut{b}}|^2}=2 \boldsymbol{\cdots}(1) $ $-\dfrac{(\vec{\mathstrut{a}}\cdot \vec{\mathstrut{b}})^2}{|\vec{\mathstrut{b}}|^2}+1=\left(\dfrac1{\sqrt{3}}\right)^2$ $ \boldsymbol{\cdots}(2)$ гэж гарна. $(1)$-ээс $\vec{\mathstrut{a}}\cdot \vec{\mathstrut{b}}=-2|\vec{\mathstrut{b}}|^2$ гэдгийг $(2)$-д орлуулбал $\dfrac{-4|\vec{\mathstrut{b}}|^4}{|\vec{\mathstrut{b}}|^2}+1=\dfrac 13$ $\Rightarrow$ $-4|\vec{\mathstrut{b}}|^2+1=\dfrac 13$ $\Rightarrow$ $|\vec{\mathstrut{b}}|^2=\dfrac 16$ $\Rightarrow$ $|\vec{\mathstrut{b}}|=\dfrac1{\sqrt{6}}$, $\vec{\mathstrut{a}}\cdot \vec{\mathstrut{b}}=-\dfrac 13$ болно. Энэ үед $(\vec{\mathstrut{a}}+t\vec{\mathstrut{b}})\cdot \vec{\mathstrut{b}}=\vec{\mathstrut{a}}\cdot \vec{\mathstrut{b}}+t\cdot |\vec{\mathstrut{b}}|^2=-\dfrac 13+2\cdot \dfrac 16=0$ $\Rightarrow$ $(\vec{\mathstrut{a}}+t\vec{\mathstrut{b}})\perp \vec{\mathstrut{b}}$ гэдгээс $(\vec{\mathstrut{a}}+t\vec{\mathstrut{b}})$ ба $\vec{\mathstrut{b}}$-ийн хоорондох өнцөг нь $90^{\circ}$ байна.