Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

Векторын хэрэглээ

  1. $ABC$ гурвалжны периметр $36$ нэгж ба түүнд багтсан тойргийн радиус 3 нэгж байв. Тэгвэл $Q$ цэг нь $6\overrightarrow{AQ}+3\overrightarrow{BQ}+2\overrightarrow{CQ}=\overrightarrow{0}$ нөхцлийг хангадаг бол $QBC$ гурвалжны талбайг ол.
  2. Хавтгайд $ABC$ гурвалжны дотор $P$ цэг өгөгдөв. $ABP$, $BPC$, $CPA$ гурвалжнуудын хүндийн төвүүд харгалзан $D$, $E$, $F$ бол $ABC$, $DEF$ гурвалжнуудын талбайн харьцааг ол.


Бодлогын төрөл: Уламжлалт
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан

Бодолт

Заавар:
Бодолт:
  1. Өгсөн нөхцөл $6\overrightarrow{AQ}+3\overrightarrow{BQ}+2\overrightarrow{CQ}=\overrightarrow{0}$-ийг хувирган $\overrightarrow{BQ}$, $\overrightarrow{CQ}$-г $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AQ}$-р илэрхийлэн эмхэтгэе. $6\overrightarrow{AQ}+3(\overrightarrow{AQ}-\overrightarrow{AB})+2(\overrightarrow{AQ}-\overrightarrow{AC})=\overrightarrow{0}$ $\Rightarrow$ $11\overrightarrow{AQ}=3\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}$ $\Rightarrow$ $\overrightarrow{AQ}=\dfrac5{11}\cdot\left(\dfrac 35\overrightarrow{AB}+\dfrac 25{AC}\right)$ болно. $ABC$ гурвалжны талбайг $\boldsymbol{S=r\cdot p}$ томъёог ашиглан олбол $S_{ABC}=3\cdot \dfrac{36}{2}=54.$ $QS:AS=6:11$ $\Rightarrow$ $S_{BQC}=\dfrac6{11}S_{ABC}=\dfrac6{11}\cdot 54=\dfrac{324}{11}$ болно.
  2. $O$ туйл сонгон авахад $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, $P$ цэгүүдийн радиус векторуудыг харгалзан $\vec{\mathstrut{a}}$, $\vec{\mathstrut{b}}$, $\vec{\mathstrut{c}}$, $\vec{\mathstrut{d}}$, $\vec{\mathstrut{e}}$, $\vec{\mathstrut{f}}$, $\vec{\mathstrut{p}}$ гэе. Тэгвэл $\vec{\mathstrut{d}}$, $\vec{\mathstrut{e}}$, $\vec{\mathstrut{f}}$ хүндийн төвийн радиус векторууд гэдгээс $\vec{\mathstrut{d}}=\dfrac{\vec{\mathstrut{a}}+\vec{\mathstrut{b}}+\vec{\mathstrut{p}}}{3}, $ $\vec{\mathstrut{e}}=\dfrac{\vec{\mathstrut{b}}+\vec{\mathstrut{p}}+\vec{\mathstrut{c}}}{3}, $ $\vec{\mathstrut{f}}=\dfrac{\vec{\mathstrut{c}}+\vec{\mathstrut{p}}+\vec{\mathstrut{a}}}{3}$ болно. $\overrightarrow{DF}=\vec{\mathstrut{f}}-\vec{\mathstrut{d}}=\dfrac{\vec{\mathstrut{c}}+\vec{\mathstrut{p}}+\vec{\mathstrut{a}}}{3}-\dfrac{\vec{\mathstrut{a}}+\vec{\mathstrut{b}}+\vec{\mathstrut{p}}}{3}=\dfrac 13({\vec{\mathstrut{c}}-\vec{\mathstrut{b}}})=\dfrac 13\overrightarrow{BC}.$ $\overrightarrow{ED}=\vec{\mathstrut{d}}-\vec{\mathstrut{e}}=\dfrac{\vec{\mathstrut{a}}+\vec{\mathstrut{b}}+\vec{\mathstrut{p}}}{3}-\dfrac{\vec{\mathstrut{b}}+\vec{\mathstrut{p}}+\vec{\mathstrut{c}}}{3}=\dfrac 13({\vec{\mathstrut{a}}-\vec{\mathstrut{c}}})=\dfrac 13\overrightarrow{CA}.$ $\overrightarrow{FE}=\vec{\mathstrut{e}}-\vec{\mathstrut{f}}=\dfrac{\vec{\mathstrut{b}}+\vec{\mathstrut{p}}+\vec{\mathstrut{c}}}{3}-\dfrac{\vec{\mathstrut{c}}+\vec{\mathstrut{p}}+\vec{\mathstrut{a}}}{3}=\dfrac 13({\vec{\mathstrut{b}}-\vec{\mathstrut{a}}})=\dfrac 13\overrightarrow{AB}$ болно. Дээрх гурван тэнцэлээс $ABC$ ба $EFD$ гурвалжнууд төсөөтэй ба төсөөгийн коэффициент нь 3 байна. Иймд $\dfrac{S_{ABC}}{S_{EFD}}=\left(\dfrac 31\right)^2=\dfrac91$ $\Rightarrow$ $S_{ABC}:S_{EFD}=9:1$ болно.

Сорилго

Хавтгай дахь вектор 

Түлхүүр үгс