Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

Шулуунууд нэг цэгээр огтлолцох нөхцөл

  1. Дөрвөн өнцөгтийн эсрэг талуудын дунджийг холбосон хэрчмүүд, диагоналиудын дунджийг холбосон хэрчимтэй нэг цэгт огтлолцохыг батал.
  2. $ABC$ гурвалжны $BC$, $CA$, $AB$ талууд дээр харгалзан $D$, $E$, $F$ цэгүүдийг авъя. $ABC$ болон $DEF$ гурвалжнуудын хүндийн төвүүд давхцах үед $BD:DC=CE:EA=AF:FB$ биелэхийг батал.


Бодлогын төрөл: Уламжлалт
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан

Бодолт

Заавар:
Бодолт:
  1. $A$, $B$, $C$, $D$ цэгүүдийн радиус векторуудыг харгалзан $\vec{\mathstrut{a}}$, $\vec{\mathstrut{b}}$, $\vec{\mathstrut{c}}$, $\vec{\mathstrut{d}}$ гэе. Тэгвэл $AB$, $CD$-ийн дунджийг дайрсан хэрчмийн дундаж цэгийн радиус вектор

    $$\dfrac12\left(\dfrac{\vec{\mathstrut{a}}+\vec{\mathstrut{b}}}{2}+\dfrac{\vec{\mathstrut{c}}+\vec{\mathstrut{d}}}{2}\right)=\dfrac 14(\vec{\mathstrut{a}}+\vec{\mathstrut{b}}+\vec{\mathstrut{c}}+\vec{\mathstrut{d}})$$ болно. Мөн $AD$, $BC$-ийн дунджийг дайрсан хэрчмийн дундаж цэгийн радиус вектор

    $$\dfrac12\left(\dfrac{\vec{\mathstrut{a}}+\vec{\mathstrut{d}}}{2}+\dfrac{\vec{\mathstrut{b}}+\vec{\mathstrut{c}}}{2}\right)=\dfrac 14(\vec{\mathstrut{a}}+\vec{\mathstrut{b}}+\vec{\mathstrut{c}}+\vec{\mathstrut{d}})$$ болно. Мөн $AC$, $BD$ диагоналиудын дунджийг дайрсан хэрчмийн дундаж цэгийн радиус вектор

    $$\dfrac12\left(\dfrac{\vec{\mathstrut{a}}+\vec{\mathstrut{c}}}{2}+\dfrac{\vec{\mathstrut{b}}+\vec{\mathstrut{d}}}{2}\right)=\dfrac 14(\vec{\mathstrut{a}}+\vec{\mathstrut{b}}+\vec{\mathstrut{c}}+\vec{\mathstrut{d}})$$ болно. Иймд эдгээр гурван хэрчмүүд дундаж цэгүүдээрээ огтлолцоно.
  2. $\overrightarrow{AB}=\vec{\mathstrut{b}}$, $\overrightarrow{AC}=\vec{\mathstrut{c}}$ гэе. Бодлогын нөхцлөөс $\overrightarrow{AF}=h\vec{\mathstrut{b}}$, $\overrightarrow{AE}=k\vec{\mathstrut{c}}$, $\overrightarrow{AD}=\vec{\mathstrut{b}}+l(\vec{\mathstrut{c}}-\vec{\mathstrut{b}})$ гэж үзээд $ABC$, $DEF$ гурвалжны хүндийн төвүүдийн радиус векторыг олж тэнцүүлбэл $$\dfrac13(\vec{\mathstrut{b}}+\vec{\mathstrut{c}})=\dfrac13\left(h\vec{\mathstrut{b}}+k\vec{\mathstrut{c}}+\vec{\mathstrut{b}}+l(\vec{\mathstrut{c}}-\vec{\mathstrut{b}})\right)$$

    болох ба хялбарчилбал $(l-h)\vec{\mathstrut{b}}+(1-k-l)\vec{\mathstrut{c}}=\vec{\mathstrut{0}}$ болно. Түүнчилэн $\vec{\mathstrut{b}}\ne \vec{\mathstrut{0}}$, $\vec{\mathstrut{c}}\ne\vec{\mathstrut{0}}$, $\vec{\mathstrut{b}}\not\parallel \vec{\mathstrut{c}}$ учираас $l-h=0$, $1-k-l=0$ буюу $k=1-h$, $h=l$ болно. Иймд $BD:DC=CE:EA=AF:FB$ боллоо.

Сорилго

Энэ бодлого ямар нэг сорилгод ороогүй.

Түлхүүр үгс