Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Бодлого №13
Let $A=a\begin{pmatrix}
1 & -1\\
1 & \hfill 1
\end{pmatrix}$ $(a>0)$ and $I=\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix}$ satisfy $A^4+I=\begin{pmatrix}
0 & 0\\
0 & 0
\end{pmatrix}$.
Answer the following questions and write your answers in the boxes provided.
- Find $a$.
- Find the minimum positive integer $n$ such that $A^n\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}.$
- Find $A^{2014}$.
Бодлогын төрөл: Уламжлалт
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: $A=a\begin{pmatrix}
1 & -1\\
1 & \hfill 1
\end{pmatrix}$ $(a>0)$ ба $I=\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix}$ нь $A^4+I=\begin{pmatrix}
0 & 0\\
0 & 0
\end{pmatrix}$ байх матрицууд байг.
Дараах асуултуудад хариул.
Дараах асуултуудад хариул.
- $a$-г ол.
- $A^n\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}$ байх хамгийн бага $n$ натурал тоог ол.
- $A^{2014}$-г ол.
Бодолт:
- Бодлогын нөхцлөөс $A^4=-I$ тул $(\det A)^4=1$ буюу $$[a^2\cdot(1\cdot1-(-1)\cdot1)]^4=1$$ байна. Эндээс $a>0$ тул $a=\dfrac{\sqrt2}{2}$ байна.
\begin{align*} A\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}&= \dfrac{\sqrt2}{2}\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 1 & \hfill 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}\\ &=\dfrac{\sqrt2}{2}\begin{pmatrix} 1\cdot 0+(-1)\cdot1\\ 1\cdot 0+1\cdot1 \end{pmatrix}\\ &=\dfrac{\sqrt2}{2}\begin{pmatrix} -1\\ \hfill 1 \end{pmatrix}\\ A^2\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}&=A\cdot A\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}\\ &=\dfrac{\sqrt2}{2}\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 1 & \hfill 1 \end{pmatrix}\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}\begin{pmatrix} -1\\ \hfill 1 \end{pmatrix}\\ &=\dfrac12\begin{pmatrix} 1\cdot(-1)+(-1)\cdot1\\ 1\cdot(-1)+1\cdot 1 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} -1\\ \hfill 0 \end{pmatrix} \end{align*} $A^4=-I$ тул $$A^6\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}=A^4 A^2\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}=-I\begin{pmatrix} -1\\ \hfill 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}$$ байна.- $A^4=-I$ тул $$A^{2014}=A^{2012} A^2=(A^4)^{503} A^2=$$ $$=(-I)^{503} A^2=-A^2$$ байна. Нөгөө талаас \begin{align*} A^2&=\dfrac{\sqrt2}{2}\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 1 & \hfill 1 \end{pmatrix}\dfrac{\sqrt2}{2}\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 1 & \hfill 1 \end{pmatrix}\\ &=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 1\cdot 1+(-1)\cdot1 & 1\cdot(-1)+(-1)\cdot 1\\ 1\cdot 1+1\cdot1 & 1\cdot(-1)+1\cdot 1\\ \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & \hfill 0 \end{pmatrix} \end{align*} тул $A^{2014}=-A^2=\begin{pmatrix} \hfill 0 & 1\\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ байна.