Монгол Бодлогын Сан

Заавар: Ромбын диагоналиудыг $2e$, $2f$ гэвэл багтсан тойргийн радиус нь $e$, $f$ катетуудтай тэгш өнцөгт гурвалжны өндөртэй тэнцүү байна. Гүдгэр 4 өнцгтийн диагоналиудын урт нь $d_1$, $d_2$ ба хоорондох өнцөг нь $\alpha$ бол $$S=\dfrac12d_1d_2\sin\alpha$$ байдаг.

Бодолт: $2S=ef=ch$ тул $e,f$ катетуудтай тэгш өнцөгт гурвалжны тэгш өнцгийн оройгоос татсан өндрийн урт нь $$h=\dfrac{ef}{c}=\dfrac{ef}{\sqrt{e^2+f^2}}$$ байна. Ромбын талбай $\dfrac12\cdot(2e\cdot 2f)=2ef$. Багтсан квадратын диагональ $2h$ тул талбай нь $$\dfrac12(2h)^2=2h^2=\dfrac{2e^2f^2}{e^2+f^2}$$ байна. Иймд талбайн харьцаа нь $$2ef:\dfrac{2e^2f^2}{e^2+f^2}=\dfrac{e^2+f^2}{ef}=4$$ буюу $\dfrac{e}{f}+\dfrac{f}{e}=4$ болно. Нөгөө талаас $\tg\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{f}{e}$ тул $$\tg^2\dfrac{\alpha}{2}-4\tg\dfrac{\alpha}{2}+1=0$$ болно. Эндээс $\tg\dfrac{\alpha}{2}=2\pm\sqrt{3}$ тул $$\sin\alpha=\dfrac{2\tg\frac{\alpha}{2}}{1+\tg^2\frac{\alpha}{2}}=\dfrac{2(2\pm\sqrt3)}{1+(2\pm\sqrt3)^2}=\dfrac12$$ буюу $\alpha=30^\circ, 150^\circ$ байна.