Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
ЭЕШ 2014 A №26
$(3+\sqrt5)\sin^218^\circ=?$
A. $\dfrac12$
B. $\dfrac{\sqrt3}{2}$
C. $\dfrac14$
D. $2\sqrt3$
E. $1$
Бодлогын төрөл: Сонгох
Амжилтын хувь: 34.50%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: $18^\circ$, $36^\circ$, $54^\circ$, $72^\circ$, $144^\circ$ зэрэг өнцгүүд оролцсон бодлогуудад нилээд өргөн тохиолддог бөгөөд эдгээрийн утгууд нь хоорондоо холбоотой байдаг.
$\sin54^{\circ}=\cos36^{\circ}$ тул $\theta=18^{\circ}$ гэвэл $\sin3\theta=\cos2\theta$ болно. Энэхүү тэгшитгэл болон $0<\sin18^{\circ}<\dfrac12$ болохыг ашиглан $\sin18^{\circ}$ утгыг олж болдог.
Давхар өнцгийн томьёо ашиглан хялбарчилбал $$3\sin\theta-4\sin^3\theta=1-2\sin^2\theta\Rightarrow$$ $$4\sin^3\theta-2\sin^3\theta-3\sin\theta+1=(\sin\theta-1)(4\sin^2\theta+2\sin\theta-1)=0$$ болно. $0<\sin18^{\circ}<1$ болохыг тооцвол $\sin18^{\circ}=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{4}$ байна.
$\sin54^{\circ}=\cos36^{\circ}$ тул $\theta=18^{\circ}$ гэвэл $\sin3\theta=\cos2\theta$ болно. Энэхүү тэгшитгэл болон $0<\sin18^{\circ}<\dfrac12$ болохыг ашиглан $\sin18^{\circ}$ утгыг олж болдог.
Давхар өнцгийн томьёо ашиглан хялбарчилбал $$3\sin\theta-4\sin^3\theta=1-2\sin^2\theta\Rightarrow$$ $$4\sin^3\theta-2\sin^3\theta-3\sin\theta+1=(\sin\theta-1)(4\sin^2\theta+2\sin\theta-1)=0$$ болно. $0<\sin18^{\circ}<1$ болохыг тооцвол $\sin18^{\circ}=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{4}$ байна.
Бодолт: Зааварт олсон утгыг шууд орлуулаад бодвол
\begin{gather*}
(3+\sqrt5)\sin^218^\circ=(3+\sqrt5)\bigg(\dfrac{-1+\sqrt{5}}{4}\bigg)^2=(3+\sqrt5)\bigg(\dfrac{3-\sqrt5}{8}\bigg)\\
=\dfrac{(3+\sqrt5)(3-\sqrt5)}{8}=\dfrac{3^2-(\sqrt5)^2}{8}=\dfrac12
\end{gather*}
Сорилго
ЭЕШ 2014 A
2016-12-23
ЭЕШ-2014 A alias
Тригонометр илэрхийлэл 3
тригонометр
Тригонометр
ЭЕШ 2014 A тест
ЭЕШ 2014 A тест
Тригонометр ЭЕШ-ын Жиших тест \Сэдэвчилсэн\
Function
ЭЕШ 2014 A тест тестийн хуулбар