Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Тойрог багтаасан тэгш өнцөгт трапец
$a,b$ сууриудтай тэгш өнцөгт трапецэд багтсан тойргийн радиусын урт аль нь вэ?
A. $\dfrac{ab}{a+b}$
B. $\dfrac{a^2+b^2}{a+b}$
C. $\dfrac{a^2+ab+b^2}{a+b}$
D. $\dfrac{a^3-b^3}{(a+b)^2}$
E. $\dfrac{a^3+b^3}{(a+b)^2}$
Бодлогын төрөл: Сонгох
Амжилтын хувь: 47.06%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: Тойрог багтаасан $ABCD$ дөрвөн өнцөгтийн чанар:
$$AB+CD=AD+BC$$
Бодолт: Багтсан тойргийн радиусыг $r$, гэвэл трапецийн өндөр буюу нэг хажуу тал нь $2r$ байна. Иймд тойрог багтаасан дөрвөн өнцөгтийн чанар ёсоор нөгөө хажуу тал нь $$\ell=a+b-2r$$
байна. Иймд Пифагорын теоремоор
$$(a+b-2r)^2=(2r)^2+(a-b)^2\Leftrightarrow$$
$$a^2+b^2+4r^2+2ab-4ar-4br=4r^2+a^2-2ab+b^2\Leftrightarrow$$
$$4ab=4(a+b)r\Rightarrow r=\dfrac{ab}{a+b}$$
байна.
