Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

$x^2+y^2=4 \boldsymbol{\cdots}(1)$, $x^2+y^2-8x-4y+4=0 \boldsymbol{\cdots}(2)$ тойргуудын хувьд дараах acуултанд хариул.

Бодлогын төрөл: Уламжлалт

Заавар: $r_1$, $r_2$ радиустай хоёр тойргийн төвүүдийн хоорондын зайг $d$ гэвэл $|r_1-r_2|\leq d\leq r_2+r_1$ үед 2 тойрог огтлолцоно.

Бодолт:

(1) тойргийн төв $(0,0)$, радиус нь 2 учраас $(x-4)^2+(y-2)^2=4^2$ болно. (2) тойргийн төв $(4,2)$, радиус нь $4$ юм. Хоёр төвийн хоорондох зай $$d=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}.$$

Хоёр тойрог огтлолцох нөхцлийг шалгавал $|2-4|< 2\sqrt{5}< 2+4$ тэнцэтгэл биш биелэх тул (1) ба (2) тойргууд огтлолцоно.
(1) ба (2) системийг бодъё.

$$\left\{\begin{array}{l} x^2+y^2=4 \\ x^2+y^2-8x-4y+4=0 \end{array}% \right.$$ -ээс $$\left\{\begin{array}{l} y^2=4-x^2 \\ x^2+(4-x^2)-8x-4y+4=0 \end{array} \right.$$ буюу $$\left\{% \begin{array}{l} y^2=4-x^2 \\ y=-2x+2 \end{array} \right.$$ болно. Эндээс $(-2x+2)^2=4-x^2\Rightarrow 5x^2-8x=0$ буюу $x_1=0$, $x_2=\frac85$ болох ба харгалзан $y_1=2$, $y_2=-\frac65$ байна. Иймд $(0;2)$, $\left(\dfrac85;-\dfrac 65\right)$ цэгүүдэд огтлолцоно.