Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

$\sin^2\theta=\cos\theta$ бол $\dfrac1{1+\cos\theta}+\dfrac1{1-\cos\theta}$-ийн утгыг ол.
$\sin20^{\circ}+\cos160^{\circ}+\sin200^{\circ}+\cos(-20^{\circ})$-ийн утгыг ол.

Бодлогын төрөл: Уламжлалт

Заавар:

$\cos\theta=c$, $\sin\theta=s$ гэж орлуулбал $s^2=c$ үед $\dfrac1{1+c}+\dfrac 1{1-c}$ илэрхийллийн утгыг олох болно. $s^2=1-c^2$ тул $1-c^2=c$ үед $\dfrac{2}{1-c^2}$ илэрхийллийн утга ол.
$160^{\circ}=180^{\circ}-20^{\circ}, 200^{\circ}=180^{\circ}+20^{\circ}$ гэж хар.

Бодолт:

$\cos\theta=c$ гэвэл $-1\leq c\leq 1.$ $\sin^2\theta=\cos\theta\Rightarrow$ $1-c^2=c$, $c^2+c-1=0.$ Тэгшитгэлийг бодож $\cos\theta$-ийг олбол $c_{12}=\dfrac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$ болох ба $\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}< -1$ тул $c=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$.

$$\dfrac1{1+c}+\dfrac1{1-c}=\dfrac2{1-c^2}=\dfrac2c=\dfrac{2\cdot 2}{\sqrt{5}-1}=\dfrac{4(\sqrt{5}+1)}{5-1}=\sqrt{5}-1.$$
$\begin{aligned}[t] & \sin20^{\circ}+\cos160^{\circ}+\sin200^{\circ}+\cos(-20^{\circ})=\\ & =\sin20^{\circ}+\cos(180^{\circ}-20^{\circ})+\sin(180^{\circ}+20^{\circ})+\cos20^{\circ}\\ & =\sin20^{\circ}-\cos20^{\circ}-\sin20^{\circ}+\cos20^{\circ}=0 \end{aligned}$

Энэ бодлого ямар нэг сорилгод ороогүй.