Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Бодлого №648
$\sin(\arctg x)=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ томьёог батлаж биелэх мужийг заа.
Бодлогын төрөл: Уламжлалт
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар:
Бодолт: $t=\arctg x$ гэвэл $x=\tg t$ ба $t\in[-\pi/2;\pi/2]$ байна.
\begin{align*}
\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}&=\dfrac{\tg t}{\sqrt{1+\tg^2t}}=\dfrac{\tg t}{\sqrt{1/\cos^2t}}\\
&=\dfrac{\tg t}{|1/\cos t|}=\dfrac{\sin t/\cos t}{1/\cos t}\\
&=\sin t=\sin(\arctg x) & &\color{red} {\leftarrow\cos t\ge 0\Rightarrow |1/\cos t|=1/\cos t}
\end{align*}