2018.10.07   

1. Зөв таван өнцөгт дотор байрлуулсан хэрчим нь таван өнцөгтийн бүх оройгоос ижил өнцгөөр харагддаг байж болох уу? ($A$ цэгээс $XY$ хэрчмийн харагдах өнцөг гэдэг нь $\angle XAY$ өнцөг юм.)

(3 оноо)

2. $1,2,3,\dots,2n$ тоонуудыг $2$, $2$-оор нь хос болгон хувааж, хос тус бүрийн $2$ тооны нийлбэрийг боджээ. Ямар натурал $n$ тооны хувьд олсон бүх нийлбэрүүдийн үржвэр нь бүтэн квадрат тоо гарч болох вэ?

(4 оноо)

3. Хурц $A$ өнцөгтэй $ABCD$ параллелограммын $AB$ тал дээр $N$ цэгийг $CN=AB$ байхаар сонгож авчээ. $CBN$ гурвалжныг багтаасан тойрог $AD$ шулууныг шүргэдэг бол шүргэх тэр цэг нь $D$ цэг байхыг харуул.

(4 оноо)

4. Бүх цифр нь ялгаатай есөн оронтой тоог сайхан тоо гэж нэрлэе. 37-д хуваагддаг сайхан тоонууд 2018-аас цөөнгүй олдохыг харуул.

(5 оноо)

5. Бат $100\times 50$ хэмжээтэй шатрын хөлөг дээр бие биеэ идэхгүй $500$ ширхэг ноён байрлуулах болжээ. Харин Цэцэг $100\times100$ хэмжээтэй шатрын хөлгийн зөвхөн цагаан өнгийн буудлууд дээр бие биеэ идэхгүй байхаар $500$ ширхэг ноён байрлуулах болжээ. Хэн нь илүү олон боломжтой вэ?

(5 оноо)