Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js


Бүсийн олимпиад 2018, 4-р анги

Бүсийн олимпиад 2018, 4-р анги   

Бодлогын тоо: 4    Хугацаа: 120 мин


1. Бат өдөр бүр өмнөх өдрөөс 1-ээр олон чихэр иддэг. Цэцэг өдөр бүр өмнөх өдрөөс 2-оор олон чихэр иддэг. Дорж өдөр бүр өмнөх өдрөөс 3-аар олон чихэр иддэг. Өнөөдөр тэр гурав тус бүр 100 чихэр иджээ. Бат Цэцгээс 30-аар олон чихэр идсэн тэр өдөр Дорж хэдэн чихэр идсэн бэ?

Заавар Бодолт
Заавар.

Бодолт. Бат, Цэцэг хоёрын чихрийн зөрөө өдөрт нэгээр багасах тул өчигдөр Бат Цэцгээс 1-ээр олон чихэр, уржигдар 2-оор олон чихэр гэх мэт 30 өдрийн өмнө 30-аар олон чихэр иджээ. Харин Дорж 30 өдрийн өмнө 100330=10 чихэр идсэн.


2. ¯БАГШ=¯БИׯБИШ үсэгт тааврыг бод.

Заавар Бодолт
Заавар.

Бодолт. Б>1 бол (Б+1)1000<Б10Б100<¯БИׯБИШ болох тул Б=1 байх ёстой. Түүнчлэн сүүлийн цифрийг тооцвол И=1 эсвэл Ш=0 байх ёстой тул Ш=0 юм. И-ийн оронд 2-оос 9 цифрүүдийг орлуулж бодвол: 12×120=144013×130=169014×140=196015×150=2250 тул А=6, Г=9 эсвэл А=9, Г=6 гэсэн хоёр шийдтэй болох нь харагдаж байна. Иймд 1690=13×130,1960=14×140 гэсэн хоёр шийд олдов.


3. Будилуу сурагч хоёр тоог нэмэхдээ, нэг нэмэгдэхүүний сүүлийн цифрийг хаяж нэмээд 8012 гаргахыг 2018 гаргажээ. Тэр ямар тоонууд нэмэх ёстой байсан бэ?

Заавар Бодолт
Заавар.

Бодолт. Цифрийг нь хассан тоог ¯abcd гэвэл ¯abcd¯abc=80122018=5994 тул 900a+90b+9c+d=5994 байна. 5994 тоо 9-д хуваагдах тул d тоо 9-д хуваагдах тул d=0, d=9 байх боломжтой.

d=0 бол 100a+10b+c=666 тул нэг тоо нь 6660, нөгөө тоо нь 80126660=1352.

d=9 бол 100a+10b+c=665 тул нэг тоо нь 6659, нөгөө тоо нь 80126659=1353.

Иймд 6660, 1352 эсвэл 6659, 1353.


4. Муу сурлагатай Бат 2 цифрт дургүй. Анх түүний ном 200-аас их 300-аас цөөн нүүртэй байжээ. Бат номноос дугаарт нь 2 цифр орсон бүх хуудсыг урж хаяв. (Жишээ нь, 12-р нүүрийг урахад 11-р нүүр түүнтэй хамт урагдана). Тэгэхэд номын бүх нүүрийн тал нь үлдсэн бол анх түүний ном хэдэн нүүртэй байсан бэ?

Заавар Бодолт
Заавар.

Бодолт. Эхлээд 200-аас хэтрэхгүй дугаартай нүүрүүдийг авч үзье. Зөвхөн нэг нүүрэнд нь 2-ийн цифр орсон хуудсууд нь (1,2), (11,12), (19,20), (29,30), (31,32), (41,42), (51,52), (61,62), (71,72), (81,82), (91,92) ба эдгээр дээр 100-г нэмэхэд гарах хуудсууд мөн (199,200) байна. Хоёр нүүрэнд нь 2-ийн цифр орсон хуудсууд нь (21,22), (23,24), (25,26), (27,28) ба эдгээр дээр 100-г нэмэхэд гарах хуудсууд байна. Иймд нийт 2×11+1+2×4=31 хуудас буюу 62 нүүр урах шаардлагатай. Иймд үлдэх 20062=138 нүүр урагдахгүй. Нөгөө талаас эдгээр нь бүх үлдсэн нүүр буюу нийт нүүрийн тал нь юм. Иймд ном 2×138=276 нүүртэй байжээ.