Сайн гараа 2018, 3-р анги
Бодлогын тоо: 4 Хугацаа: мин
1. Сайнаа $4\times 4$ хэмжээтэй хүснэгтийн нүд бүрд тоо бичиж мөр болон баганын дагуух 4 тооны нийлбэрийг олжээ. Ижил дүрс ижил тоо бол эхний баганад бичигдсэн 4 тооны нийлбэр хэд вэ?
Заавар Бодолт
Заавар. Гурвалжин ба дөрвөлжин дүрсийн нийлбэр нь хэд вэ?
Бодолт. 1-р мөрний 2 ширхэг гурвалжин 2 ширхэг дөрвөлжин дүрсийн тоонуудын нийлбэр 48 тул 1 ширхэг гурвалжин, 1 ширхэг дөрвөлжин дүрсийн тоонуудын нийлбэр нь $48:2=24$ байна.
2-р баганад 1 ширхэг гурвалжин, 3 ширхэг дөрвөлжин дүрс байна. 1 гурвалжин ба 1 дөрвөлжин нь 24 тул үлдэх 2 дөрвөлжин нь нийтдээ $50-24=26$ байх ёстой. Иймд нэг дөрвөлжин дүрс нь $26:2=13$ ба гурвалжин дүрс нь $24-13=11$ болно.
3-р мөрд 3 ширхэг дугуй 1 ширхэг гурвалжин дүрс байна. 3 дугуй дүрс нь $38-11=27$ тул нэг дугуй дүрс нь $27:3=9$ болно.
3-р баганад 1 дөрвөлжин, 1 зургаалжин, 2 дугуй байгаа тул зургаалжин нь $43-13-2\cdot 9=12$ байна. Иймд эхний баганад байгаа тоонуудын нийлбэр $11+12+2\cdot 9=41$ байна.
2-р баганад 1 ширхэг гурвалжин, 3 ширхэг дөрвөлжин дүрс байна. 1 гурвалжин ба 1 дөрвөлжин нь 24 тул үлдэх 2 дөрвөлжин нь нийтдээ $50-24=26$ байх ёстой. Иймд нэг дөрвөлжин дүрс нь $26:2=13$ ба гурвалжин дүрс нь $24-13=11$ болно.
3-р мөрд 3 ширхэг дугуй 1 ширхэг гурвалжин дүрс байна. 3 дугуй дүрс нь $38-11=27$ тул нэг дугуй дүрс нь $27:3=9$ болно.
3-р баганад 1 дөрвөлжин, 1 зургаалжин, 2 дугуй байгаа тул зургаалжин нь $43-13-2\cdot 9=12$ байна. Иймд эхний баганад байгаа тоонуудын нийлбэр $11+12+2\cdot 9=41$ байна.
2. Дүрсийг тус бүр нь 2 од агуулсан байхаар дөрвөн ижил дүрсэд хуваа.
3. Самбарт $1,2,3,\ldots,2018$ тоонууд бичсэн байв. Эхлээд бүх сондгой тоонуудыг арчиж, үлдсэн тоонуудаас сондгой байранд байрлах тоонуудыг арчих гэх мэтээр нэг ширхэг тоо үлдтэл нь үргэлжлүүлэв. Самбарт ямар тоо үлдэх вэ?
Заавар Бодолт
Заавар. Эхлээд бүх сондгой тоонуудыг, дараа нь 2-т хуваагддаг боловч 4-д хуваагддаггүй тоонуудыг арчина гэх мэтчилэн үргэлжилнэ.
Бодолт. 2-д хуваагаад гарсан тоо нь тэгш тоо бол дахин 2-д хуваах үйлдлийг хамгийн олон удаа давтан хийж болох тоо нь хамгийн сүүлийн тоо байна.
Өгөгдсөн тоонуудаас 2-д хамгийн олон удаа хуваагддаг тоо нь 1024 тул хамгийн сүүлд үлдэх тоо нь 1024 байна.
4. 1-ээс 12 хүртэлх тоонуудыг 3 мөр, 4 баганатай хүснэгтийн нүднүүдэд нэг мөрөнд буй аль ч хоёр тооны ялгавар 3-т хуваагддаг ба нэг баганад байгаа аль ч хоёр тооны ялгавар 4-т хуваагддаг байхаар хэдэн янзаар байрлуулж болох вэ? Нэг боломжийг байрлуулж үзүүл.
Заавар Бодолт
Заавар. 3-д хуваахад ижил үлдэгдэл өгдөг тоонууд нэг мөрөнд, 4-д хуваахад ижил үлдэгдэл өгдөг тоонууд нэг баганад байрлана.
Бодолт. Ялгавар нь 3-д хуваагдахын тулд 1, 4, 7, 10 тоонууд нэг мөрөнд байрлана. Түүнчлэн ялгавар нь 4-д хуваагдахын тул 1, 5, 9 тоонууд нэг баганад байрлана. Яг адилаар 2, 5, 8, 11 ба 3, 6, 9, 12 тоонууд нэг мөрөнд, 4, 8, 12; 3, 7, 11; 2, 6, 10 тоонууд нэг баганад байрлана. Жишээ нь
Мөр ба багануудын байрыг солиход бодлогын нөхцөл биелэх чанар нь хадгалагдах ба бусад бүх байрлуултыг жишээнээс мөр ба багануудын байрыг солих аргаар гарган авч болно. Мөрүүдийн байрыг $3!=6$ аргаар сольж болох бөгөөд тухай бүрд нь багануудын байрыг $4!=24$ аргаар сольж болно. Иймд нийт $6\cdot 24=144$ ялгаатай хүснэгт бодлогын нөхцөлийг хангана.