Энхболд XV, 5-р анги
Бодлогын тоо: 4 Хугацаа: 150 мин
1. $\overline{AB}\times\overline{AC}=\overline{DEDF}$ үсэгт тааврын $C=B+1$, $F=E+1$ байх бүх хариуг ол.
Заавар Бодолт
Заавар. $\overline{AB}\times(\overline{AB}+1)=101\times\overline{DE}+1$ байна. Дараалсан 2 тооны үржвэр зөвхөн $0$, $2$, $6$ цифрүүдээр төгсдөг ба $E<9$ юм. Иймд $E=1$ эсвэл $E=5$ байна. $D$ цифрийн боломжит 9 утгад гарах 18 ширхэг тооноос дараалсан хоёр тооны үржвэр болохыг нь ол.
Бодолт. $D=6$, $E=1$ үед $78\cdot 79=6162$ байна.
2. Тойрог дээр 4 хар цэг, аль ч хоёр хар цэгийн хооронд 8 улаан цэг байв. Аль нэг улаан цэгийг хөрш хоёр цэгийнх нь хамт арилгаж болно. Энэ үйлдлийг хийсээр тойрог дээр 6 цэг үлдээжээ. Хэдэн хар, хэдэн улаан цэг үлдсэн бэ? Бүх боломжийг олж, өөр боломж байхгүйг тайлбарла.
Заавар Бодолт
Заавар. Хар цэгүүдийн хоорондох улаан цэгийн тоо 3-д хуваахад 2 үлдэгдэл өгөхийг харуул.
Бодолт. Анх аль ч хоёр хар цэгийн хооронд 3-д хуваахад 2 үлдэгдэл өгөх ширхэг улаан цэг байсан. Хэрвээ аль нэг хоёр хар цэгийн хоорондох 3 улаан цэгийг арилгавал энэ чанар мэдээж хадгалагдана. Хэрвээ аль нэг хар цэгийг арилгасан гэвэл сонгосон улаан цэгтэй хэсгийн улаан цэгийн тоо 3-д хуваагдах болох ба арилгасан хар цэгийн нөгөө талд байгаа хэсэг нь 3-д хуваахад 2 үлдэгдэл өгөх тооны улаантай байх тул нийлбэр нь 3-д хуваахад 2 үлдэгдэл өгнө.
Мэдээж нэг ч хар цэг үлдээхгүйгээр үйлдэл хийж болох нь ойлгомжтой. 1 хар цэг ба 2 хар цэг үлдээгээд үйлдэл хийх ч төвөгтэй биш.
З ба түүнээс дээш хар цэг байх боломжгүй. Учир нь энэ тохиолдолд хар цэгүүдийн хооронд дор хаяж 2 цэг байх шаардлагатай бөгөөд нийт цэгийн тоо дор хаяж 9 байхад хүрч зөрчил үүснэ.
Мэдээж нэг ч хар цэг үлдээхгүйгээр үйлдэл хийж болох нь ойлгомжтой. 1 хар цэг ба 2 хар цэг үлдээгээд үйлдэл хийх ч төвөгтэй биш.
З ба түүнээс дээш хар цэг байх боломжгүй. Учир нь энэ тохиолдолд хар цэгүүдийн хооронд дор хаяж 2 цэг байх шаардлагатай бөгөөд нийт цэгийн тоо дор хаяж 9 байхад хүрч зөрчил үүснэ.
3. Дөрвөлжин, цэцэг, бунд, гил гэсэн дөрвөн өнгийн 10, боол, хатан, ноён, тамга гэсэн 5 төрлийн 20 хөзөр байжээ. Хөзрийн 10 нь 1 оноо, боол нь 2 оноо, хатан нь 4 оноо, ноён нь 8 оноо, тамга нь 16 оноо гэж тооцогддог. Эдгээр хөзрөөс нийт оноо нь 100 байх хөзрүүдийг хэдэн янзаар авч болох вэ?
Заавар Бодолт
Заавар. $N(n,s)$-ээр $4$ өнгийн $1,2,4,\ldots,2^n$ тоонуудыг тус бүр нэгээс олонгүй удаад ашиглан нийлбэр нь $s$ тоог гарч байхаар нийлбэр зохиох боломжийн тоог тэмдэглэе. Нэмэгдэхүүний байрыг солиход ялгаатай боломж үүсэхгүй гэж үзвэл
$$N(n,s)=N(n-1,s)+C_4^1\cdot N(n-1,s-2^n)+C_4^2\cdot N(n-1,s-2\cdot 2^n)+C_4^3\cdot N(n-1,s-3\cdot 2^n)+C_4^4\cdot N(n-1,s-4\cdot 2^n)$$
байна.
Бодолт. $(1+2+4+8)\cdot 4=60$ тул
\begin{align*}
N(4;100)&=N(3;100)+C_4^1\cdot N(3;84)+C_4^2\cdot N(3;68)+C_4^3\cdot N(3;52)+N(3;36)\\
&=C_4^3\cdot N(3;52)+N(3;36)
\end{align*}
$(1+2+4)\cdot 4=28$ тул
\begin{align*}
N(3;52)&=N(2;52)+C_4^1\cdot N(2;44)+C_4^2\cdot N(2;36)+C_4^3\cdot N(2;28)+N(2;20)\\
&=C_4^3\cdot N(2;28)+N(2;20)=4+N(2;20)\\
N(3;36)&=N(2;36)+C_4^1\cdot N(2;28)+C_4^2\cdot N(2;20)+C_4^3\cdot N(2;12)+N(2;4)\\
&=4+C_4^2\cdot N(2;20)+C_4^3\cdot N(2;12)+N(2;4)\\
\end{align*}
$(1+2)\cdot 4=12$ тул
\begin{align*}
N(2;20)&=N(1;20)+C_4^1\cdot N(1;16)+C_4^2\cdot N(1;12)+C_4^3\cdot N(1;8)+N(1;4)\\
&=6+C_4^3\cdot N(1;8)+N(1;4)\\
N(2;12)&=N(1;12)+C_4^1\cdot N(1;8)+C_4^2\cdot N(1;4)+C_4^3\cdot N(1;0)\\
&=1+C_4^1\cdot N(1;8)+C_4^2\cdot N(1;4)+C_4^3\cdot N(1;0)\\
N(2;4)&=N(1;4)+4\cdot N(1;0)
\end{align*}
Түүнчлэн
\begin{align*}
N(1;8)&=N(0;8)+C_4^1\cdot N(0;6)+C_4^2\cdot N(0;4)+C_4^3\cdot N(0;2)+C_4^4\cdot N(0,0)\\
&=6+C_4^3\cdot C_4^2+1=31\\
N(1;4)&=N(0;4)+C_4^1\cdot N(0;2)+C_4^2\cdot N(0;0)\\
&=1+C_4^1\cdot C_4^2+6=31\\
N(1;0)&=1
\end{align*}
Иймд
\begin{align*}
N(4;100)&=C_4^3\cdot N(3;52)+N(3;36)\\
&=4\cdot(4+N(2;20))+4+C_4^2\cdot N(2;20)+C_4^3\cdot N(2;12)+N(2;4)\\
&=20+10\cdot N(2;20)+4\cdot N(2;12)+N(2;4)\\
&=20+10\cdot \big(6+C_4^3\cdot N(1;8)+N(1;4)\big)+4\cdot\big(1+C_4^1\cdot N(1;8)+C_4^2\cdot N(1;4)+C_4^3\cdot N(1;0)\big)\\
&{~~~~~~~}+N(1;4)+4\cdot N(1;0)\\
&=84+56\cdot N(1;8)+35\cdot N(1;4)+20\cdot N(1;0)\\
&=84+56\cdot 31+ 35\cdot 31+20\cdot 1=2925
\end{align*}
байна.
4. Олимпиадад 3 бодлого ирсэн бөгөөд бодлого тус бүрийг 0-ээс 6 хүртэлх бүхэл оноогоор дүгнэнэ. Олимпиадад оролцсон аль ч хоёр сурагч хамгийн олондоо нэг бодлого дээр ижил оноо авсан байв. Энэ олимпиадад хамгийн олондоо хэдэн сурагч оролцсон бэ?
Заавар Бодолт
Заавар. Эхний хоёр бодлого дээрээ адил оноо авсан 2 сурагч байхгүй.
Бодолт. Эхний хоёр оноо нь $49$ ялгаатай боломжтой тул сурагчдын тоо $49$-өөс хэтрэхгүй. Онооны нийлбэр нь $7$-д хуваагддаг хоёр хүүхдийн оноо эсвэл ижил эсвэл ядаж хоёр тоогоороо зөрнө.
Үүнийг ашиглан жишээ байгуулбал $(0,0,0)$, $(0,1,6)$, $(0,2,5)$, $(0,3,4)$, $(0,4,3)$, $(0,5,2)$, $(0,6,1)$, $(1,0,6)$, $(1,1,5),\ldots,(6,0,1)$, $(6,1,0)$, $(6,2,6)$, $(6,3,5)$, $(6,4,4)$, $(6,5,3)$, $(6,6,2)$ болно.
Үүнийг ашиглан жишээ байгуулбал $(0,0,0)$, $(0,1,6)$, $(0,2,5)$, $(0,3,4)$, $(0,4,3)$, $(0,5,2)$, $(0,6,1)$, $(1,0,6)$, $(1,1,5),\ldots,(6,0,1)$, $(6,1,0)$, $(6,2,6)$, $(6,3,5)$, $(6,4,4)$, $(6,5,3)$, $(6,6,2)$ болно.