Эхлэл 2018-2019   

1. $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{d}+\dfrac{d}{e}+\dfrac{e}{a}$ бүхэл тоо байх хос хосоороо харилцан анхны байх $(a,b,c,d,e)$ бүхэл тоон тавт төгсгөлгүй олон олдох уу?

2. $ABC$ гурвалжны $AB$, $AC$ талууд дээр $P$, $Q$ цэгүүдийг $PQ\parallel BC$ байхаар авав. $BQ$ ба $CP$ хэрчмүүд $O$ цэгт огтлолцоно. $A$ цэгийн $BC$ талын хувьд тэгш хэмтэй цэг нь $A'$ байг. $A'O$ цацраг $APQ$ гурвалжныг багтаасан $\omega$ тойрогтой огтлолцох эхний цэгийг $S$ гэвэл $BSC$ гурвалжныг багтаасан тойрог болон $\omega$ тойргууд $S$ цэгээр шүргэлцэнэ гэж батал.

3. $f(1)=1$ ба дурын $x$, $y$ бодит тоонуудын хувьд $f(f(x)+y^2)=f(f(x))+yf(y)$ нөхцөл биелдэг байх бүх $f\colon\mathbb R\to\mathbb R$ функцийг ол.

4. $5\times 5$ хүснэгтийн зарим нүдийг хараар тэмдэглэв. 4 нүднээс тогтох, яг 2 нүд нь цагаан, 2 нүд нь хар байдаг Т хэлбэрийн дүрс хамгийн олондоо хэчнээн байж болох вэ?