Processing math: 100%


МУБИС-ийн олимпиад 2019, 10-р анги

МУБИС-ийн декануудын нэрэмжит олимпиад 2019, 10-р анги   

Бодлогын тоо: 4    Хугацаа: 180 мин


1. a312 ба abc=1 байх a, b, c бодит тоонуудын хувьд a22+b2+c2ab+bc+ca тэнцэтгэл биш биелэхийг батал.

Заавар Бодолт
Заавар. Бүтэн квадрат ашиглах арга ба abc=1, a312a212bc0 тэнцэтгэл бишийг ашигла.

Бодолт. Шинэ-Үе сургуулийн багш Б. Мөнхтулгын ирүүлсэн бодолт.

a312 ба abc=1 гэдгээс a2a=a21bc12 буюу a212bc буюу a212bc0 тэнцэтгэл биш биелэнэ. a22+b2+c2ab+bc+caa22+b2+c2abbcac0 байна. a22+b2+c2abbcac=(a2bc)2+a248bc= =(a2bc)2+a212bc40 болж батлагдав. Тэнцэтгэлдээ хүрэх нөхцөл нь a=312 ба b, c нь x22ax+a212=0 тэгшитгэлийн ялгаатай шийдүүд юм.


2. ACB=90 байх тэгш өнцөгт ABC гурвалжны C оройн өндрийн суурь E, ECB өнцгийн биссектрис AB талыг D цэгт огтолно. Хэрэв AB талыг D цэгт шүргэх тойрог CE өндрийг шүргэдэг бол энэ тойрог ABC гурвалжныг багтаасан тойргийг шүргэхийг батал.

Заавар Бодолт
Заавар.


Бодолт.


3. Аливаа натурал n тооны хувьд квадратуудын нийлбэр нь бүхэл тооны 16 зэрэг байх харилцан ялгаатай n ширхэг натурал тоо олдох уу?


4. X олонлогийн элемент бүр нь ядаж n дэд олонлогт агуулагдаж байхаар X олонлогийн дэд олонлогууд өгөгдөв. Хэрэв эдгээр дэд олонлогуудын аль ч 2 нь хамгийн ихдээ 1 ерөнхий элементтэй бол ижил тооны элементтэй n дэд олонлог олдохыг батал.