МУБИС-ийн олимпиад 2019, 10-р анги
Бодлогын тоо: 4 Хугацаа: 180 мин
1. a3≥12 ба abc=1 байх a, b, c бодит тоонуудын хувьд
a22+b2+c2≥ab+bc+ca
тэнцэтгэл биш биелэхийг батал.
Заавар Бодолт
Заавар. Бүтэн квадрат ашиглах арга ба abc=1, a3≥12⇒a2−12bc≥0 тэнцэтгэл бишийг ашигла.
Бодолт. Шинэ-Үе сургуулийн багш Б. Мөнхтулгын ирүүлсэн бодолт.
a3≥12 ба abc=1 гэдгээс a2⋅a=a2⋅1bc≥12 буюу a2≥12bc буюу a2−12bc≥0 тэнцэтгэл биш биелэнэ. a22+b2+c2≥ab+bc+ca⇔a22+b2+c2−ab−bc−ac≥0 байна. a22+b2+c2−ab−bc−ac=(a2−b−c)2+a24−8bc= =(a2−b−c)2+a2−12bc4≥0 болж батлагдав. Тэнцэтгэлдээ хүрэх нөхцөл нь a=3√12 ба b, c нь x2−2ax+a212=0 тэгшитгэлийн ялгаатай шийдүүд юм.
a3≥12 ба abc=1 гэдгээс a2⋅a=a2⋅1bc≥12 буюу a2≥12bc буюу a2−12bc≥0 тэнцэтгэл биш биелэнэ. a22+b2+c2≥ab+bc+ca⇔a22+b2+c2−ab−bc−ac≥0 байна. a22+b2+c2−ab−bc−ac=(a2−b−c)2+a24−8bc= =(a2−b−c)2+a2−12bc4≥0 болж батлагдав. Тэнцэтгэлдээ хүрэх нөхцөл нь a=3√12 ба b, c нь x2−2ax+a212=0 тэгшитгэлийн ялгаатай шийдүүд юм.
2. ∡ACB=90∘ байх тэгш өнцөгт ABC гурвалжны C оройн өндрийн суурь E, ∡ECB өнцгийн биссектрис AB талыг D цэгт огтолно. Хэрэв AB талыг D цэгт шүргэх тойрог CE өндрийг шүргэдэг бол энэ тойрог ABC гурвалжныг багтаасан тойргийг шүргэхийг батал.
3. Аливаа натурал n тооны хувьд квадратуудын нийлбэр нь бүхэл тооны 16 зэрэг байх харилцан ялгаатай n ширхэг натурал тоо олдох уу?
4. X олонлогийн элемент бүр нь ядаж n дэд олонлогт агуулагдаж байхаар X олонлогийн дэд олонлогууд өгөгдөв. Хэрэв эдгээр дэд олонлогуудын аль ч 2 нь хамгийн ихдээ 1 ерөнхий элементтэй бол ижил тооны элементтэй n дэд олонлог олдохыг батал.