МУБИС-ийн декануудын нэрэмжит олимпиад 2019, 12-р анги   

1. Аливаа натурал $n$, $k$ тоонуудын хувьд квадратуудын нийлбэр нь бүхэл тооны $2^k$ зэрэг болох $n$ ширхэг ялгаатай натурал тоонууд олдох уу?

2. $a+b+c=1$ байх $a$, $b$, $c$ бодит тоонуудын хувьд $$21\sqrt{2+a^2}+4\sqrt{1+7b^2}+7\sqrt{2 + 9c^2} \ge \dfrac{142}{3}$$ тэнцэтгэл биш биелэхийг батал

3. $ABC$ гурвалжны $B$ оройн гадаад өнцгийн биссектрис түүний багтаасан тойргийг $D$ цэгт огтолно. Хэрэв $AC$ талын дундаж $M$, $ABM$ ба $CBM$ гурвалжинд багтсан тойргийн төвүүд $E$ ба $F$ бол $B$, $E$, $F$, $D$ цэгүүд нэг тойрог дээр оршино гэж батал.

4. $n$ хүн шатар тоглоход нийт $3n$ тоглолт гарав. Тэгвэл аль ч хоёр нь тоглоогүй нийт гурвалын тоо $n(n - 7)(n - 14)/6$-ээс цөөнгүй гэж батал.