МУБИС-ийн олимпиад 2019, Дунд ангийн багш
Бодлогын тоо: 4 Хугацаа: 180 мин
1. $$L=\sqrt{9x^2 + 9y^2 − 6x + 1} + \sqrt{225x^2 + 225y^2 − 90x − 120y + 25}$$
илэрхийллийн хамгийн бага утгыг ол.
2. Хоёр тооны ялгаврын модулийг тэдгээрийн хороонд дахь зай гэе. Дараалсан 33 натурал тооноос $a$, $b$ тоонууд хүртэлх зайнуудын нийлбэр харгалзан $3168$ ба $924$ болог. $a + b = 120$ бол $a$ тооны боломжит бүх утгуудыг ол.
3. $AC = BC = 1$ байх $ABC$ тэгш өнцөгт гурвалжин суурьтай $ABCA_1B_1C_1$ шулуун призмийн $AC$ ирмэгтэй параллел $A_1C_1$
ирмэг дээр $A_1D : DC_1 = 2 : 1$ байх $D$ цэг өгөгдөв. Призмийн өндөр $1$ бол $AB_1CD$ гурвалжин пирамидад багтсан бөмбөрцгийн радиусийг ол.
4. $$\lim\limits_{n\to\infty}n(\sqrt[n]{2}-\sqrt[n+1]{2})\left(1+\sqrt{1+\dfrac{1}{n}}+\sqrt{1+\dfrac{2}{n}}+\dots+\sqrt{1+\dfrac{n-1}{n}}\right)$$
хязгаар бод.
Заавар Бодолт
Заавар.
- $\lim\limits_{\Delta x\to0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=f'(x)$, $(a^x)'=a^x\ln a$, $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{2}=1$;
- $\displaystyle\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}\left(1+\sqrt{1+\dfrac{1}{n}}+\sqrt{1+\dfrac{2}{n}}+\cdots+\sqrt{1+\dfrac{n-1}{n}}\right)=\int_0^1\sqrt{1+x}\,\mathrm{d}x$.
Бодолт. Я. Лхагвагэрэл багшийн ирүүлсэн бодолт.
\begin{align*}
\text{Хязгаар}&=\lim\limits_{n\to\infty}n(\sqrt[n]{2}-\sqrt[n+1]{2})\left(1+\sqrt{1+\dfrac{1}{n}}+\sqrt{1+\dfrac{2}{n}}+\dots+\sqrt{1+\dfrac{n-1}{n}}\right)\\
&=\lim\limits_{n\to\infty}n^2(2^{\frac1{n}}-2^{\frac1{n+1}})\cdot\dfrac1n\left(1+\sqrt{1+\dfrac{1}{n}}+\sqrt{1+\dfrac{2}{n}}+\dots+\sqrt{1+\dfrac{n-1}{n}}\right)\\
&=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{2^{\frac1{n}}-2^{\frac1{n+1}}}{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}\cdot n^2\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\cdot\dfrac1n\left(1+\sqrt{1+\dfrac{1}{n}}+\sqrt{1+\dfrac{2}{n}}+\dots+\sqrt{1+\dfrac{n-1}{n}}\right)\\
&=\ln 2\cdot 1\cdot 1\cdot\int_0^1\sqrt{1+x}\,\mathrm{d}x\\
&=\dfrac{\ln 4}{3}\cdot(2\sqrt2-1)
\end{align*}