Processing math: 72%


МУБИС-ийн олимпиад 2019, Дунд ангийн багш

МУБИС-ийн декануудын нэрэмжит олимпиад 2019, Дунд ангийн багш   

Бодлогын тоо: 4    Хугацаа: 180 мин

1. L=√9x2+9y2−6x+1+√225x2+225y2−90x−120y+25 илэрхийллийн хамгийн бага утгыг ол.

2. Хоёр тооны ялгаврын модулийг тэдгээрийн хороонд дахь зай гэе. Дараалсан 33 натурал тооноос a, b тоонууд хүртэлх зайнуудын нийлбэр харгалзан 3168 ба 924 болог. a+b=120 бол a тооны боломжит бүх утгуудыг ол.

3. AC=BC=1 байх ABC тэгш өнцөгт гурвалжин суурьтай ABCA1B1C1 шулуун призмийн AC ирмэгтэй параллел A1C1 ирмэг дээр A1D:DC1=2:1 байх D цэг өгөгдөв. Призмийн өндөр 1 бол AB1CD гурвалжин пирамидад багтсан бөмбөрцгийн радиусийг ол.

4. lim хязгаар бод.

Заавар Бодолт
Заавар.
  1. \lim\limits_{\Delta x\to0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=f'(x), (a^x)'=a^x\ln a, \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{2}=1;
  2. \displaystyle\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}\left(1+\sqrt{1+\dfrac{1}{n}}+\sqrt{1+\dfrac{2}{n}}+\cdots+\sqrt{1+\dfrac{n-1}{n}}\right)=\int_0^1\sqrt{1+x}\,\mathrm{d}x.


Бодолт. Я. Лхагвагэрэл багшийн ирүүлсэн бодолт. \begin{align*} \text{Хязгаар}&=\lim\limits_{n\to\infty}n(\sqrt[n]{2}-\sqrt[n+1]{2})\left(1+\sqrt{1+\dfrac{1}{n}}+\sqrt{1+\dfrac{2}{n}}+\dots+\sqrt{1+\dfrac{n-1}{n}}\right)\\ &=\lim\limits_{n\to\infty}n^2(2^{\frac1{n}}-2^{\frac1{n+1}})\cdot\dfrac1n\left(1+\sqrt{1+\dfrac{1}{n}}+\sqrt{1+\dfrac{2}{n}}+\dots+\sqrt{1+\dfrac{n-1}{n}}\right)\\ &=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{2^{\frac1{n}}-2^{\frac1{n+1}}}{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}\cdot n^2\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\cdot\dfrac1n\left(1+\sqrt{1+\dfrac{1}{n}}+\sqrt{1+\dfrac{2}{n}}+\dots+\sqrt{1+\dfrac{n-1}{n}}\right)\\ &=\ln 2\cdot 1\cdot 1\cdot\int_0^1\sqrt{1+x}\,\mathrm{d}x\\ &=\dfrac{\ln 4}{3}\cdot(2\sqrt2-1) \end{align*}