Заавар. $\underbrace{11\ldots1}_{n-1}\underbrace{22\ldots2}_{n}5$ тоо ямар тооны квадрат болох вэ?

$n=1$ үед $25=5^2$, $n=2$ үед $1225=35^2$, $n=3$ үед $112225=335^2$ болохыг шалгахад төвөггүй. Эндээс $$\underbrace{11\ldots1}_{2017}\underbrace{22\ldots2}_{2018}5=\underbrace{33\ldots3}_{2017}5^2$$ гэсэн таамаглал дэвшүүлж болохоор байна.

Бодолт. $$\underbrace{11\ldots1}_{n-1}\underbrace{22\ldots2}_{n}5=\underbrace{33\ldots3}_{n-1}5^2$$ гэж баталъя. Нэг талаас $$\begin{align*} \underbrace{11\ldots1}_{n-1}\underbrace{22\ldots2}_{n}5&=\dfrac{10^{n-1}-1}{9}\cdot 10^{n+1}+2\cdot\dfrac{10^{n}-1}{9}\cdot 10+5\\ &=\dfrac{10^{2n}-10^{n+1}}{9}+\dfrac{2\cdot 10^{n+1}-20}{9}+\dfrac{45}{9}\\ &=\dfrac19(10^{2n}+10^{n+1}+25) \end{align*}$$ Нөгөө талаас $$\begin{align*} \underbrace{33\ldots3}_{n-1}5^2&=(\underbrace{33\ldots3}_{n-1}\cdot 10+5)^2\\ &=(\underbrace{33\ldots3}_{n-1}\cdot 10)^2+2\cdot\underbrace{33\ldots3}_{n-1}\cdot 10\cdot 5+25\\ &=\left(\dfrac{10^{n-1}-1}{3}\cdot 10\right)^2+\dfrac{10^{n-1}-1}{3}\cdot 10^2+25\\ &=\left(\dfrac{10^{n-1}-1}{3}\cdot 10\right)^2+\dfrac{10^{n-1}-1}{3}\cdot 10^2+25\\ &=\dfrac{(10^n-10)^2}{9}+\dfrac{3\cdot 10^{n+1}-300}{9}+\dfrac{225}{9}\\ &=\dfrac19(10^{2n}-2\cdot 10^{n+1}+100+3\cdot 10^{n+1}-300+225)\\ &=\dfrac19(10^{2n}+10^{n+1}+25) \end{align*}$$ тул $$\sqrt{\underbrace{11\ldots1}_{2017}\underbrace{22\ldots2}_{2018}5}=\underbrace{33\ldots3}_{2017}5$$ тул цифрүүдийн нийлбэр нь $$3\cdot 2017+5=6056$$ байна.

Заавар. $\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z^2}{x+y}=0$ болохыг батал.

Бодолт. $$\begin{align*} \text{Илэрх.}&=\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z^2}{x+y}\\ &=\dfrac{x^2}{y+z}+x+\dfrac{y^2}{z+x}+y+\dfrac{z^2}{x+y}+z-(x+y+z)\\ &=\dfrac{x(x+y+z)}{y+z}+\dfrac{y(x+y+z)}{z+x}+\dfrac{z(x+y+z)}{x+y}-(x+y+z)\\ &=(x+y+z)\left(\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{z}{x+y}-1\right)\\ &=(x+y+z)\cdot 0=0 \end{align*}$$

Заавар. $D$ цэг ба $BC$ талын дундаж цэгийг дайруулж татсан шулуун $AC$-д перпендикуляр гэж батал.

Бодолт. $Q$ нь $BC$ талын дундаж цэг ба $DQ\cap AC=D'$, $EQ\cap AB=C'$ гэе. $P$ цэгээс татсан шүргэгчүүд тул $PB=PC$ байна. Иймд $\triangle BPC$ нь адил хажуут гурвалжин тул $BC$ талын дундаж $Q$ нь $BPC$ гурвалжны $P$ оройгоос татсан өндрийн суурь болно. $\angle PQB=\angle PDB=90^\circ$ тул $BQPD$ дөрвөн өнцөгт тойрогт багтана. Иймд $$\angle BPD=\angle BQD=\angle CQD'$$ байна. Нөгөө талаас $AB$ нумд тулсан $\angle ACB$ нь $B$ цэгт татсан шүргэгчээр үүсэх $\angle PBD$ өнцөгтэй тэнцүү тул $\triangle PBD\sim\triangle CD'Q$ болно. Иймд $\angle QD'E=\angle BDE=90^\circ$ болов. Иймд $DD'$ нь $AED$ гурвалжны өндөр болов. Яг адилаар $EC'$ нь өндөр болох ба эдгээр дээр $Q$ цэг орших тул $Q$ цэг $AED$ гурвалжны орто центр болж батлах зүйл батлагдав.