Заавар. 9 цифр байрлах нүд тус бүр дээр бод.

Бодолт. байна.

Одоо үлдсэн 2 нүдэнд 9 байрлах үед шидэт квадрат байхаар бөглөж чадахгүй гэж баталъя. Зүүн доод буланд 9 байх үед баталъя. Нөгөө тохиолдолд яг адил аргаар батлагдана. Голын нүдэнд $a$ тоо байсан гэе. Мөр, багана ба диагоналын элементүүдийн нийлбэр тэнцүү $S$ байг. Тэгээд мөр баганы нийлбэрээс хоосон нүднүүдийг олвол болох ба диагоналын элементийн нийлбэрийг бодоход $$9+a+S-a-7=S-16=S$$ болж зөрчил гарна.

Заавар. $s(n)\equiv n\pmod{9}$ болохыг ашигла.

Бодолт. $s(n^2)+2s(n-1)=2019$ тул $$s(n^2)+2s(n-1)\equiv n^2+2s(n-1)\equiv 2019\equiv 3\pmod{9}$$ буюу $$(n+1)^2\equiv 6\pmod{9}$$ байна. Гэвч бүхэл тооны квадратыг 9-д хуваахад $0,1,4,7$ үлдэгдэл л өгөх боломжтой тул бодлогын нөхцөлийг хангах натурал $n$ тоо олдохгүй.

Заавар. Болохгүй гэдгийг харуул. Тоонууд тэнцүү байж болохыг санаарай.

Бодолт. Тийм будалт байхгүй гэж харуулъя. Эсрэгээс нь тийм будалт олддог гэе. Энэ будалтанд 1 улаанаар будагдсан гэж үзье. Тэгээд цаашид $n$ тоо улаанаар будагдсан бол $n^R$, хөх бол $n^B$ гэнэ. $a+b+c=d$ ижил өнгөөр будагдаагүй гэдгээс $1^R+1^R+1^R=3\Rightarrow 3^B$, $3^B+3^B+3^B=9\Rightarrow 9^R$, $1^R+4+4=9^R\Rightarrow 4^B$. Эндээс $$1^R+1^R+9^R=11\Rightarrow 11^B, 3^B+4^B+4^B=11\Rightarrow 11^R$$ болж зөрчил үүсч байна. Иймд ийм будалт олдохгүй.

Заавар. Рекуррент томьёо үүсгэж тоол.

Бодолт. Дүрсээрээ тухайн дүрсийг хэчнээн янзаар идэж болох тоог тэмдэглэе. Тэгвэл цааш нь гэж задлаад үүсэх дүрсүүдийг төстэйгээр задалж бодъё. Нүд бүр нь хоёроос олонгүй хөрш нүдтэй $k$ нүдтэй дүрсийг $k!$ янзаар идэж болох тул болно. Эндээс өмнөтэй ижил аргаар бодвол $$4\times(5\times5!+3\times(3\times 4!+3\times 3!)+9\times(3\times 4!+3\times 3!))=6720$$ болно.