ММО-55, II даваа Монгол Бодлогын Сан

ММО-55, II даваа, 9-р анги

9-р анги

Бодлогын тоо: 6 Хугацаа: 540 мин

1. Зарим натурал тоог сайн тоо гэх ба сайн тоонууд дараах чанаруудтай гэе. Үүнд:

а)

$55$ сайн тоо.

б)

$n$ сайн тоо бол

$n$ тооны бүх хуваагч сайн тоо.

в)

$n > m > 1$ сайн тоонууд бол

$nm + 1$ сайн тоо.

$2019$ сайн тоо гэж батал.

Заавар Бодолт

Заавар. 9 цифр байрлах нүд тус бүр дээр бод.

Бодолт.

$55$ сайн тоо тул

$5$ ,

$11$ сайн тоо болно. Иймд

$56 = 5\cdot 11 + 1$ сайн тоо болох тул

$2$ ,

$4$ ,

$7$ ,

$8$ сайн тоо болно.

$36 = 5\cdot 7 + 1$ сайн тоо тул

$6$ сайн тоо болно. Иймд

$25 = 4 \cdot 6 + 1$ ,

$126 = 5 \cdot 25 + 1$ сайн тоо болох бөгөөд

$1009 = 8 \cdot 126 + 1$ сайн гэдгээс

$2019 = 2 \cdot 1009 + 1$ тул

$2019$ сайн тоо болов.

$\measuredangle ABC = 120^\circ$ байх адил хажуут гурвалжин өгөгдөв. Хавтгай дээр

$\measuredangle ADB = 60^\circ$ байх

$D$ цэг,

$AC$ тал дээр

$AF = 2FC$ байхаар

$F$ цэг авав. Хэрэв

$DC$ хэрчмийн дундаж цэг

$E$ бол

$\measuredangle BEF$ өнцгийг ол.

Заавар Бодолт

Заавар.

$D$ ба

$C$ цэгүүд

$AB$ шулууны хоёр өөр талд байх тохиолдолд бод.

Бодолт.

$n$ тооны бүх хуваагчдыг өсөх эрэмбээр нь

$1 < d_1 < d_2 < \dots < d_k < n$ гэж тэмдэглэе. Тэгвэл

$1 < d_1 + 1 < d_2 + 1 < \dots < d_k + 1 < m$ тоонууд

$m$ тооны бүх хуваагчид болдог байх бүх

$(n, m)$ хосыг ол.

Заавар Бодолт

Заавар. Болохгүй гэдгийг харуул. Тоонууд тэнцүү байж болохыг санаарай.

Бодолт. Тийм будалт байхгүй гэж харуулъя. Эсрэгээс нь тийм будалт олддог гэе. Энэ будалтанд 1 улаанаар будагдсан гэж үзье. Тэгээд цаашид

$n$ тоо улаанаар будагдсан бол

$n^R$ , хөх бол

$n^B$ гэнэ.

$a+b+c=d$ ижил өнгөөр будагдаагүй гэдгээс

$1^R+1^R+1^R=3\Rightarrow 3^B$ ,

$3^B+3^B+3^B=9\Rightarrow 9^R$ ,

$1^R+4+4=9^R\Rightarrow 4^B$ . Эндээс

$1^R+1^R+9^R=11\Rightarrow 11^B, 3^B+4^B+4^B=11\Rightarrow 11^R$ болж зөрчил үүсч байна. Иймд ийм будалт олдохгүй.

4. Аль ч таван тооных нь нийлбэр үлдсэн хоёр тоондоо хуваагддаг 7 натурал тоо өгөгдсөн бол эдгээр тоонууд дотор хамгийн олондоо хэдэн ялгаатай тоо байх вэ?

Заавар Бодолт

Заавар. Зөвхөн 2 ялгаатай тоо байж болохыг харуул.

Бодолт.

$1$ ,

$5$ тоонууд бодлогын нөхцөл хангах тул

$2$ ялгаатай тоотой жишээ олдоно. Одоо 2-оос хэтрэхгүй гэж харуулъя. Тоонуудаа

$a_1\le a_2\le\dots\le a_7$ гэе.

$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5$ ба

$a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6$ нийлбэрүүд

$a_7$ -д хуваагдах тул

$a_6-a_1$ ялгавар

$a_7$ -д хуваагдана.

$a_6-a_1 < a_7$ гэдгээс

$a_1 = a_6$ болно. Иймд

$a_1=\dots= a_6$ байна.

$AC=CB$ байх

$ABC$ адил хажуут гурвалжны

$AB$ суурь дээр

$M$ ,

$N$ цэгүүдийг

$2\measuredangle MCN = \measuredangle ACB$ байхаар сонгов.

$AM$ ,

$MN$ ,

$NB$ хэрчмүүд ямар нэг гурвалжны талууд болно гэж батал.

Заавар Бодолт

Заавар. Өгсөн хэрчмүүдээр гурвалжин байгуул.

Бодолт.

$ACB$ гурвалжны гадна

$A'$ цэгийг

$MA=A'B$ ,

$MC=A'C$ ,

$\angle AMC=\angle BA'C$ байхаар авъя. ТӨТ шинжээр

$\triangle AMC=\triangle BA'C$ болно. Өгсөн нөхцөлөөс

$\angle NCA'=\angle NCB+\angle NCB+\angle ACM=\angle ACB-\angle MNC=\angle MNC$ болно. Эндээс

$MC=CA'$ ,

$\angle MCN=\angle BCA'$ ,

$MC=CA'$ тул ТӨТ шинжээр

$MN=BA'$ болно.

$AM$ ,

$MN$ ,

$NB$ хэрчмүүдээр гурвалжин байгуулж болох нь батлагдав.

6. 2019-с хэтэрдэггүй 1515 ширхэг ялгаатай натурал тоо өгөгдөв. 3 оронтой ямар ч тоог хоёр өгөгдсөн тооны ялгавар хэлбэртэй бичиж чадахыг харуул.

Заавар Бодолт

Заавар.

Бодолт.

$100\le N<1000$ нь гурван оронтой тоо болог. Үлдэгдэлтэй хуваах дүрмээр

$2019=2Np+r$ ,

$0\le r<2N$ гэж бичье.

$2N<2000$ тул

$p\ge 1$ баи на. Иймд

$2019<2Np+2N \le 4Np$ байх ба эндээс

$Np>504$ буюу

$Np+r = 2019-Np<1515\quad(*)$ байна. Одоо

$A = \{1,2,\dots,2Np\}, B = \{2Np + 1,\dots,2019\}$ гээд

$A$ олонлогийг

$Np$ ширхэг олонлогт дараах байдлаар хуваая.

$1 \le i \le N$ ба

$0 \le j \le p-1$ хувьд

$A_{ij} =\{2jN+i,(2j+1)N+i\}$ гэвэл

$A$ нь

$A_{ij}$ олонлогуудын үл огтлолцох нэгдэл болно.

$\{1, 2,\dots, 2019\} = A \cup B$ ба B олонлог

$r$ элементтэй тул өгөгдсөн

$1515$ тооноос ядаж

$1515 - r$ нь

$A$ олонлогт агуулагдана.

$(*)$ -с

$Np<1515-r$ тул Дирихлейн зарчмаар ямар нэг

$A_{ij}$ олонлог 2 өгөгдсөн тоо агуулах ба энэ 2 тооны ялгавар

$N$ байна.

ММО-55, II даваа, 9-р анги

Санал хүсэлт: