ММО-24, 10-р анги
Бодлогын тоо: 6 Хугацаа: 540 мин
1. {x3−y3−z3=3xyzx2=4(y+z)
системийн бүх сөрөг биш, бүхэл шийдийг ол.
Заавар Бодолт
Заавар.
Бодолт. x=0 бол y=−z ба хоёул эерэг тул (0,0,0) байна.
x>0 бол x3⩾ тул 3yz\leqslant 4(y+z) болно. y\leqslant z гэж үзье. Тэгвэл 3yz\leqslant 8z тул y\leqslant \dfrac{8}{3} байна. Иймд y=0,1,2 байх боломжтой.
y=0 бол x^3=z^3\Rightarrow x=z ба x^2=4x\Rightarrow x=4 тул (x,y,z)=(4,0,4).
y=1 бол \left\{\begin{array}{c} x^3-z^3=3xz+1\\ x^2=4(1+z) \end{array}\right. болно. x^3-z^3-3xz-1=(x - z - 1) (x^2 + x z + x + z^2 - z + 1)=0 ба x^2 + x z + x + z^2 - z + 1\geqslant z^2-z+1>0 тул x=z+1 болно. Иймд (z+1)^2=4(1+z) ба z+1\neq 0 тул z=3, x=4.
y=2 бол \left\{\begin{array}{c} x^3-z^3=6xz+8\\ x^2=4(2+z) \end{array}\right. болно. x^3-z^3-6xz-8=(x - z - 2) (x^2 + x z + 2 x + z^2 - 2 z + 4)=0 ба x^2 + x z + 2 x + z^2 - 2 z + 4\geqslant z^2-2z+4>0 тул x=z+2 болно. Иймд (z+2)^2=4(2+z) ба z+2\neq 0 тул z=2, x=4.
Хариу: (x,y,z)=(0,0,0)\lor (4,0,4)\lor (4,4,0)\lor (4,1,3)\lor (4,3,1)\lor (4,2,2)
x>0 бол x3⩾ тул 3yz\leqslant 4(y+z) болно. y\leqslant z гэж үзье. Тэгвэл 3yz\leqslant 8z тул y\leqslant \dfrac{8}{3} байна. Иймд y=0,1,2 байх боломжтой.
y=0 бол x^3=z^3\Rightarrow x=z ба x^2=4x\Rightarrow x=4 тул (x,y,z)=(4,0,4).
y=1 бол \left\{\begin{array}{c} x^3-z^3=3xz+1\\ x^2=4(1+z) \end{array}\right. болно. x^3-z^3-3xz-1=(x - z - 1) (x^2 + x z + x + z^2 - z + 1)=0 ба x^2 + x z + x + z^2 - z + 1\geqslant z^2-z+1>0 тул x=z+1 болно. Иймд (z+1)^2=4(1+z) ба z+1\neq 0 тул z=3, x=4.
y=2 бол \left\{\begin{array}{c} x^3-z^3=6xz+8\\ x^2=4(2+z) \end{array}\right. болно. x^3-z^3-6xz-8=(x - z - 2) (x^2 + x z + 2 x + z^2 - 2 z + 4)=0 ба x^2 + x z + 2 x + z^2 - 2 z + 4\geqslant z^2-2z+4>0 тул x=z+2 болно. Иймд (z+2)^2=4(2+z) ба z+2\neq 0 тул z=2, x=4.
Хариу: (x,y,z)=(0,0,0)\lor (4,0,4)\lor (4,4,0)\lor (4,1,3)\lor (4,3,1)\lor (4,2,2)
2. Хавтгай дээр тойрог ба A цэг өгөгджээ. A цэгийг дайрсан огтлогчийн тойрогтой огтлолцсон цэгүүдэд татсан шүргэгчүүдийн огтлолцлын геометр байрыг ол.
3. Хавтгай дээр ерөнхий байршилтай 2n (n\ge 4) ширхэг цэг өгөгджээ. Аль ч цэг нь яг нэг хэрчмийн үзүүр байхаар эдгээр цэгийг n ширхэг хэрчмээр, бүх хэрчмийг нэг шулуунаар огтолж а) болдог б) болдоггүй байхаар холбож болохыг тус тус батал.
Заавар Бодолт
Заавар.
Бодолт. а) Ерөнхий байршилтай цэгүүд тул эдгээр цэгүүдийн алийг нь ч дайраагүй, хоёр талд нь n, n цэг байрлаж байхаар шулуун татаж болно. Хэсэг тус бүрээс 1, 1 цэг аваад хэрчмээр холбоход үүсэх n хэрчим бодлогын нөхцөлийг хангах нь ойлгомжтой.
б) n=4 үед л батлахад хангалттай. Дурын 5 цэгээс гүдгэр 4 өнцөгтийн орой болох 4 цэг сонгож болдог. Иймд өгөгдсөн цэгүүдэд оройтой ямар нэг гүдгэр 4 өнцөгт олдоно. Дөрвөн өнцөгт дотор орших цэг нь дөрвөн өнцөгтийн аль нэг гурван оройн хамт өөр нэг гүдгэр дөрвөн өнцөгтийн орой болж чадна. Иймд бид дотроо өгөгдсөн цэгүүдээс нэгийг нь ч агуулаагүй гүдгэр 4 өнцөгт сонгон авч болно. Уг гүдгэр 4 өнцөгтийг ABCD гээд AC, BD шулуунаар хавтгайг 4 хэсэгт хуваая.
I, II, III, IV хэсгүүдийн аль нэгд нь үлдэх 4 цэгээс хоёр нь ордог байг. Уг хоёр цэг I хэсэгт байдаг гэж үзэхэд явцуурахгүй. Энэ тохиолдолд ABCD дотор өөр цэг байх боломжгүй тул уг хоёр цэгийг холбосон хэрчим болон AD, BC хэрчмийг нэгэн зэрэг огтлох шулуун олдохгүй.
Эсрэг тохиолдолд хэсэг тус бүрд нэг, нэг цэг байна. I хэсэгт харъяалагдах цэгийг E, II хэсэгт харъяалагдах цэгийг F, III хэсэгт харъяалагдах цэгийг G, IV хэсэгт харъяалагдах цэгийг H гэе. Тэгвэл AE, BF, CG, DH хэрчмүүдийг нэгэн зэрэг огтлох шулуун олдохгүй. Учир нь ямар ч шулуун огтлолцсон хоёр шулуунаар үүсэх 4 хэсгийг бүгдийг нь дайрахгүй.
б) n=4 үед л батлахад хангалттай. Дурын 5 цэгээс гүдгэр 4 өнцөгтийн орой болох 4 цэг сонгож болдог. Иймд өгөгдсөн цэгүүдэд оройтой ямар нэг гүдгэр 4 өнцөгт олдоно. Дөрвөн өнцөгт дотор орших цэг нь дөрвөн өнцөгтийн аль нэг гурван оройн хамт өөр нэг гүдгэр дөрвөн өнцөгтийн орой болж чадна. Иймд бид дотроо өгөгдсөн цэгүүдээс нэгийг нь ч агуулаагүй гүдгэр 4 өнцөгт сонгон авч болно. Уг гүдгэр 4 өнцөгтийг ABCD гээд AC, BD шулуунаар хавтгайг 4 хэсэгт хуваая.

Эсрэг тохиолдолд хэсэг тус бүрд нэг, нэг цэг байна. I хэсэгт харъяалагдах цэгийг E, II хэсэгт харъяалагдах цэгийг F, III хэсэгт харъяалагдах цэгийг G, IV хэсэгт харъяалагдах цэгийг H гэе. Тэгвэл AE, BF, CG, DH хэрчмүүдийг нэгэн зэрэг огтлох шулуун олдохгүй. Учир нь ямар ч шулуун огтлолцсон хоёр шулуунаар үүсэх 4 хэсгийг бүгдийг нь дайрахгүй.

4. x_1=4, x_{n+1}=7x_n+4\sqrt{3x_n^2+1} (n\ge 1) дарааллын гишүүн бүр тэгш натурал тоо байхыг батал.
Заавар Бодолт
Заавар.
Бодолт. Өгөгдсөн рекуррент томьёоноос
(x_{n+1}-7x_n)^2=48x_n^2+16
буюу
x_{n+1}^2-14 x_{n+1}x_n +x_n^2-16=0
байна. Иймд
x_n^2-14 x_nx_{n-1} +x_{n-1}^2-16=0,\quad n\geqslant 2
байна. Эдгээрийг хасвал
(x_{n+1}^2-x_{n-1}^2)-14x_n(x_{n+1}-x_{n-1})=0
буюу
(x_{n+1}-x_{n-1})(x_{n+1}-14x_n+x_{n-1})=0
болно. x_n дараалал эрс өсдөг дараалал гэдэг нь илт тул
x_{n+1}=14x_n-x_{n-1}
рекуррент томьёо биелнэ.
x_2=7\cdot 4+16\sqrt{3\cdot 4^2+1}=140
тул бүх гишүүд нь тэгш натурал тоо болно.
5. ABC гурвалжны AB, BC талууд дээр \angle BCN=\dfrac13\angle BCA, \angle BAM=\dfrac13\angle BAC байхаар N ба M цэгийг сонгон авчээ. Хэрэв CN=AM бол ABC гурвалжин адил хажуут гэж батал.
6. 5^n (n\ge 1) радиустай тойрог дээр аль ч хоёрын нь хоорондох зай бүхэл байхаар n+1 ширхэг цэг сонгон авч болохыг батал.
Заавар Бодолт
Заавар.
Бодолт. R радиустай тойрог дээр байрлах \alpha төв өнцгийн төгсгөлийн хоёр цэгийн хоорондох зай d=2R\sin(\alpha/2) байдгийг саная.
\cos\varphi=\dfrac{3}{5}, \sin\varphi=\dfrac{4}{5} байх \varphi өнцөг авъя. Тэгвэл Муаврын томьёогоор \cos m\varphi+i\sin m\varphi=\left(\dfrac{3}{5}+\dfrac{4}{5}i\right)^m тул \sin m\varphi=\sum_{k=0}^{[m/2]}(-1)^k\binom{m}{2k+1}\dfrac{3^{m-2k-1}\cdot 4^{2k+1}}{5^m} байна. R=5^n радиустай тойрог дээр A_k=\big(R\cos (2\varphi k), R\sin (2\varphi k)\big), k=\overline{0,n} гэсэн n+1 ширхэг цэг авъя. Тэгвэл 0\leqslant i < j\leqslant n байх A_i, A_j цэгүүдийн хоорондох зай |A_iA_j|=2\cdot 5^n\sin(j-i)\varphi=2\cdot 5^{n-m}\sum_{k=0}^{[(j-i)/2]}(-1)^k\binom{m}{2k+1}3^{m-2k-1}\cdot 4^{2k+1}\in\mathbb Z тул аль ч хоёрынх нь хоорондох зай бүхэл байна.
\cos\varphi=\dfrac{3}{5}, \sin\varphi=\dfrac{4}{5} байх \varphi өнцөг авъя. Тэгвэл Муаврын томьёогоор \cos m\varphi+i\sin m\varphi=\left(\dfrac{3}{5}+\dfrac{4}{5}i\right)^m тул \sin m\varphi=\sum_{k=0}^{[m/2]}(-1)^k\binom{m}{2k+1}\dfrac{3^{m-2k-1}\cdot 4^{2k+1}}{5^m} байна. R=5^n радиустай тойрог дээр A_k=\big(R\cos (2\varphi k), R\sin (2\varphi k)\big), k=\overline{0,n} гэсэн n+1 ширхэг цэг авъя. Тэгвэл 0\leqslant i < j\leqslant n байх A_i, A_j цэгүүдийн хоорондох зай |A_iA_j|=2\cdot 5^n\sin(j-i)\varphi=2\cdot 5^{n-m}\sum_{k=0}^{[(j-i)/2]}(-1)^k\binom{m}{2k+1}3^{m-2k-1}\cdot 4^{2k+1}\in\mathbb Z тул аль ч хоёрынх нь хоорондох зай бүхэл байна.