Заавар. $(35,23)=1$ тул $35x+23y=1$ байх $x$, $y$ бүхэл тоонууд олдоно.

Бодолт. Хэсэг үйлдлийн дараа аль нэг тоог бусдаас нь 1-ээр илүү нэмэгдүүлж чаддаг бол бүх тоог тэнцүү болгож чадах нь ойлгомжтой. Эвклидийн алгоритмаар $35x=23y-1$ байх $x$, $y$ натурал тоонууд оршин байна. Сонгосон тооноос эхлээд тоо бүрийг жигд нэмэгдүүлээд явахад $y-1$ удаа үйлдэл хийсний дараа сонгосон тооноос ялгаатай $22$ тоо $x-1$-ээр, бусад нь $x$-ээр нэмэгдсэн байна. Дараагийн ээлжинд сонгосон тоо болон үлдсэн 22 тоон дээр 1-ийг нэмбэл сонгосон тоо $x+1$-ээр, бусад нь $x$-ээр нэмэгдсэн байна. Иймд бүх тоог тэнцүү болгож чадна.

Заавар.

Бодолт. $$\dfrac{a}{bc}+\dfrac{b}{ac}+\dfrac{c}{ab}\ge\dfrac{2}{a}+\dfrac{2}{b}-\dfrac{2}{c}\Leftrightarrow$$ $$\dfrac{a}{bc}+\dfrac{b}{ac}+\dfrac{2}{c}+\dfrac{c}{ab}\ge\dfrac{2}{a}+\dfrac{2}{b}\Leftrightarrow$$ $$\dfrac{1}{c}\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+2\right)+\dfrac{c}{ab}\ge\dfrac{2}{a}+\dfrac{2}{b}$$ Кошийн тэнцэтгэл бишээр $$\dfrac{1}{c}\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+2\right)+\dfrac{c}{ab}\ge 2\sqrt{\dfrac{1}{c}\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+2\right)\cdot\dfrac{c}{ab}}\ge$$ $$\ge2\sqrt{\dfrac{a^2+b^2+2ab}{ab}\cdot\dfrac{1}{ab}}=2\sqrt{\left(\dfrac{a+b}{ab}\right)^2}=\dfrac{2}{a}+\dfrac{2}{b}$$ Тэнцэлдээ хүрэх нөхцөл нь $$\dfrac{1}{c}\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+2\right)=\dfrac{c}{ab}$$ буюу $c=a+b$ байна.