Бүс, дүүрэг 2019, намар, 5-р анги
Бодлогын тоо: 4 Хугацаа: 120 мин
1. Сургуулийн аялалд явсан сурагч бүрээс ангийнх нь хэдэн сурагч хамт явсныг асуухад 10 хүүхэд дөрөв, 12 хүүхэд гурав, 6 хүүхэд хоёр, 4 хүүхэд нэг гэж хариулжээ. Сурагч бүр ангийн багштайгаа хамт явсан бөгөөд ангийнх нь аль нэг сурагч нь аялалд явсан тохиолдолд л багш нь аялалд оролцсон бол хэдэн сурагч, хэдэн багш аялалд явсан бэ?
Заавар Бодолт
Заавар.
Бодолт. Нэг ангийн хүүхдүүдийг ирмэгээр холбон граф үүсгэвэл
$K_5$, $K_5$, $K_4$, $K_4$, $K_4$, $K_3$, $K_3$, $K_2$, $K_2$ үүснэ. Нийт хүүхдийн тоо хариулт өгсөн хүүхдийн тоо тул
$$10+12+6+4=32$$
байна. Харин ангийн тоо нь $2+3+2+2=9$ тул 9 багш аялалд явжээ.
2. Гурван тоорой ширээ тойрон суугаад самар цөмж гэнэ. Ахмад тооройг 3 самар цөмөхөд дунд тоорой 4 самар цөмдөг, харин дунд тооройг 3 самар цөмөхөд отгон тоорой 5 самар цөмдөг байв. Тэд гурвуулаа нийлээд 2460 самар цөмсөн бол дунд тоорой хэдэн самар цөмсөн бэ?
Заавар Бодолт
Заавар.
Бодолт. Хариу: $720$ самар цөмнө.
Ахмад тоорой $3\times 3=9$ самар цөмөхөд дунд тоорой $4\times 3=12$ самар цөмнө. Харин отгон тоорой $5\times 4=20$ самар цөмнө. Тэр гурав хамтдаа $9+12+20=41$ самар цөмнө. $2460\div 41=60$. Иймд дунд тоорой $60\times 12=720$ самар цөмнө.
Ахмад тоорой $3\times 3=9$ самар цөмөхөд дунд тоорой $4\times 3=12$ самар цөмнө. Харин отгон тоорой $5\times 4=20$ самар цөмнө. Тэр гурав хамтдаа $9+12+20=41$ самар цөмнө. $2460\div 41=60$. Иймд дунд тоорой $60\times 12=720$ самар цөмнө.
3. Самбарт анх $a$ гэсэн натурал тоо бичигдсэн байв. $a$ тоог арчаад оронд нь $2\times a$ тоог эсвэл $2\times a+1$ тоог бичиж болно. Энэ үйлдлийг хийсээр байгаад $2019$-ийг бичиж болдог бол $a$ тоог "онцгой" тоо гэе. Хэдэн онцгой тоо байгаа вэ?
Заавар Бодолт
Заавар.
Бодолт. Хариу: 10 онцгой тоо байгаа.
$2019\leftarrow 2\times 1009+1$, $1009\leftarrow 2\times 504+1$, $504\leftarrow 2\times 252$, $252\leftarrow 2\times 126$, $126\leftarrow 2\times 63$, $63\leftarrow 2\times 31+1$, $31=2\times15+1$, $15=2\times7+1$, $7=2\times3+1$, $3=2\times1+1$ тул $2019$ нь $$1009, 504, 252, 126, 63, 31, 15, 7, 3, 1$$ гэсэн 10 онцгой тооноос л үүсч болно.
$2019\leftarrow 2\times 1009+1$, $1009\leftarrow 2\times 504+1$, $504\leftarrow 2\times 252$, $252\leftarrow 2\times 126$, $126\leftarrow 2\times 63$, $63\leftarrow 2\times 31+1$, $31=2\times15+1$, $15=2\times7+1$, $7=2\times3+1$, $3=2\times1+1$ тул $2019$ нь $$1009, 504, 252, 126, 63, 31, 15, 7, 3, 1$$ гэсэн 10 онцгой тооноос л үүсч болно.
4. Багш самбарт таван цифрийн үржвэрийг бодсон жишээ бичсэн байжээ. Бат жишээний хоёр цифрийг нь арчаад оронд нь хоёр цифр бичиж
$$4\times 5\times 4\times 5\times 4=2247$$
гэсэн илэрхийлэл гаргажээ. Тэгвэл багш анх самбарт ямар жишээ бичсэн байсан бэ?
Заавар Бодолт
Заавар.
Бодолт. Хариу: Самбарт анх
$$4\times 5\times 4\times 7\times 4=2240$$
эсвэл
$$4\times 7\times 4\times 5\times 4=2240$$
гэсэн жишээ байсан. Сүүлд гарсан илэрхийллийн хувьд гурван ширхэг тэгш үржигдэхүүнтэй байгаа тул анх байсан илэрхийллийн дор хаяж нэг үржигдэхүүн тэгш байсан. Иймд үржвэрийн утга тэгш тоо гарах ёстой. Өөрөөр хэлбэл хамгийн сүүлийн 7 цифрийг шинээр бичсэн. Энэ тохиолдолд хоёр ширхэг 5 цифрийн ядаж нэг нь анх байсан тул үржвэр нь 10-д хуваагдана. Иймд сүүлийн цифр нь $0$ байжээ. Хэрвээ үржигдэхүүнүүдийн аль нэгийг шинээр бичээгүй гэвэл анх
$$4\times 5\times 4\times 5\times 4=1600$$
гэсэн жишээ байх ёстой. Гэтэл энэ нь боломжгүй юм. Иймд сүүлийн $0$ цифрээс өөр цифр үржвэрээс өөрчлөгдөөгүй. Иймд үржвэр нь $2240$ байсан бөгөөд аль нэг $5$ цифрийг шинээр бичсэн. Эндээс зөвхөн
$$4\times 5\times 4\times 7\times 4=2240$$
эсвэл
$$4\times 7\times 4\times 5\times 4=2240$$
гэсэн хоёр боломж байгаа нь харагдаж байна.