Бүс, дүүрэг 2019, намар Монгол Бодлогын Сан

Бүс, дүүрэг 2019, намар, 7-р анги

Бүс, дүүрэг 2019, 7-р анги

Бодлогын тоо: 4 Хугацаа: 150 мин

$1^2, 2^2, 3^2,\dots,2018^2,2019^2$ гэсэн тоонууд дотор аравтын орны цифр нь сондгой байдаг хэдэн тоо байх вэ?

Заавар Бодолт

Заавар.

Бодолт. Хариу: 404 тоо.

$A=\overline{ab\ldots cd}=\overline{ab\ldots c}\cdot 10+d$ болог. Тэгвэл

$A^2=(10k+d)^2=20(5k^2+kd)+d^2$ тул

$A^2$ тооны 10-тын орны цифр нь сондгой байх бүрэн нөхцөл нь

$d^2$ -ийн аравтын орны цифр сондгой байх болно. Ийм байх хоёр л цифр байгаа.

$d=4$ ,

$d=6$ . Эндээс

$1$ -ээс

$2019$ хүртэлх тоонууд дотор

$4$ эсвэл

$6$ цифрээр төгссөн хэдэн тоо байгааг тоолоход хангалттай юм.

$4,14,24,34,\dots,2014$ дараалалд

$202$ ш тоо,

$6,16,26,36,\ldots,2016$ дараалалд мөн

$202$ ш тоо нийт

$202+202=404$ ширхэг тоо байна.

$2019\times2019$ хүснэгтийн бүх нүдэнд бүхэл тоонуудыг бичив. Эдгээр нь бүгд нэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш байсан бол аль ч

$2\times 2$ ба

$3\times 3$ хүснэгт дотор бичигдсэн тоонуудын нийлбэр тэгтэй тэнцүү байж болох уу?

Заавар Бодолт

Заавар.

Бодолт. Хариу: Болно.

$1$	$-1$	$1$	$-1$	$1$	$-1$	$\dots$
$-1$	$1$	$-1$	$1$	$-1$	$1$	$\dots$
$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$\dots$
$1$	$-1$	$1$	$-1$	$1$	$-1$	$\dots$
$-1$	$1$	$-1$	$1$	$-1$	$1$	$\dots$
$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$\dots$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\ddots$

$a$ талтай

$ABCD$ квадратын

$AB$ тал дээр

$P$ цэгийг,

$BC$ тал дээр

$Q$ цэгийг,

$CD$ тал дээр

$R$ цэгийг,

$AD$ тал дээр

$S$ цэгийг тус тус авав. Хэрэв

$AP+AS+CQ+CR=2a$ байсан бол

$PR=QS$ гэж батал.

Заавар Бодолт

Заавар.

Бодолт.

$A$ -г дайрсан

$QS$ -тэй параллел шулуун

$BC$ шулуунтай

$E$ цэгт,

$A$ -г дайрсан

$PR$ -тай параллел шулуун

$CD$ шулуунтай

$F$ цэгт огтлолцдог байг. Тэгвэл

$AS=EQ$ ,

$AP=RF$ учраас

$AP+AS+CQ+CR=EC+CF=2a$ буюу

$EC=2a-CF$ болно.

$BE=a-EC=a-(2a-CF)=CF-a=CF-CD=DF$ ,

$AB=AD$ ,

$\angle ABE=\angle ADF=90^{\circ}$ учраас

$\triangle ABE= \triangle ADF$ болох ба

$AE=AF$ байна. Эндээс

$SQ=PR$ байна.

4. Цифр бүр нь өөртэйгээ тэнцүү удаа орсон 7 оронтой тоо хэдэн ширхэг байх вэ? Жишээ нь

$1224444$ тоонд 1 цифр 1 удаа, 2 цифр 2 удаа, 4 цифр 4 удаа орсон байна.

Заавар Бодолт

Заавар.

Бодолт. Хариу:

$169$

7 нь ялгаатай тоонуудын нийлбэрт

$1+2+4=7$ ,

$1+6=7$ ,

$2+5=7$ ,

$3+4=7$ ,

$7=7$ гэж 4 янзаар задарна. Эхний тохиолдолд дөрвөн ширхэг 4 цифрийг

$C_7^4=\dfrac{7!}{3!4!}=35$ , хоёр ширхэг

$2$ цифрийг

$C_3^2=3$ янзаар, үлдэх нэг ширхэг

$1$ цифрийг

$1$ янзаар байрлуулах тул

$35\cdot 3=105$ боломж бий.

$1+6=7$ бол нэг ширхэг 1 цифрийг

$7$ янзаар байрлуулна.

$2+5=7$ гэвэл хоёр ширхэг 2 цифрийг

$C_7^2=21$ янзаар байрлуулна.

$3+4=7$ бол

$C_7^3=35$ ширхэг тоо үүснэ.

$7=7$ үед

$7777777$ гэсэн

$1$ ширхэг тоо байна. Иймд бодлогын нөхцөлийг хангах

$105+7+21+35+1=169$ ширхэг тоо байна.

Бүс, дүүрэг 2019, намар, 7-р анги

Санал хүсэлт: