Заавар.

Бодолт. Тэгш $n$-ийн хувьд сүүлийн цифр нь 3 юмуу 7 байна. Харин сондгой $n$-ийн хувьд 3-д хуваахад 2 үлдэгдэгдэл өгнө.

Заавар.

Бодолт. $A$-г дайрсан $QS$-тэй параллел шулуун $BC$ шулуунтай $E$ цэгт, $A$-г дайрсан $PR$-тай параллел шулуун $CD$ шулуунтай $F$ цэгт огтлолцдог байг. Тэгвэл $AS=EQ$, $AP=RF$ учраас $AP+AS+CQ+CR=EC+CF=2a$ буюу $EC=2a-CF$ болно. $BE=a-EC=a-(2a-CF)=CF-a=CF-CD=DF$, $AB=AD$, $\angle ABE=\angle ADF=90^{\circ}$ учраас $\triangle ABE= \triangle ADF$ болох ба $AE=AF$ байна. Эндээс $SQ=PR$ байна.

Заавар.

Бодолт. $5$ нүдтэй булан дүрс $1\times 3$ хэмжээтэй тэгш өнцөгтийг агуулна. $8\times 8$ хүснэгтийн дурын мөрийг өгөгдсөн 3 өнгөөр, уг мөрийн хаана ч $1\times 3$ тэгш өнцөгт авахад тэгш өнцөгтийг $3$ нүд өөр, өөр өнгөтэй байхаар будах ялгаатай аргын тоо $6$-тай тэнцүү. Иймд Иймд $8\times 8$ хүснэгтийн аль ч мөрийн $1\times 3$ тэгш өнцөгтийн $3$ нүд өөр, өөр өнгөтэй байхаар будах ялгаатай аргын тоо нь $6^8$-тэй тэнцүү. Ийм будалт бодлогын нөхцөлийг хангах нь ойлгомжтой. Эндээс $n\ge 6^8$ болно.

Заавар.

Бодолт. Хариу: 999 тоо.

Хэрэв эдгээр 2000 тоон дотор хоорондоо ялгаатай 1000 тоо байдаг гэвэл тэдгээрийг $$a_1 < a_2 < \dots < a_{1000}$$ гэж эрэмбэлсэн гэе. Үлдсэн 1000 тоог мөн $$b_1 \le b_2 \le \dots \le b_{1000}$$ гэж эрэмбэлье. Дараа нь $$(a_1,b_1), (a_2,b_2),\dots,(a_{1000}, b_{1000})$$ гэж 1000 хос үүсгэе. Тэгвэл $$a_1+b_1 < a_2+b_2 < \dots < a_{1000}+b_{100}$$ болоход хүрч зөрчилд хүрнэ. Иймд эдгээр 2000 тоон дотор 1000-аас цөөн тооны ялгаатай тоонууд байна. Харилцан ялгаатай тоонууд нийт 999 байж болох жишээ нь $$\underbrace{1,1,\ldots,1}_{1002},2,3,4,\dots,998,999$$ гэсэн 2000 тоо юм.