Processing math: 79%


Бүс, дүүрэг 2019, намар, 12-р анги

Бүс, дүүрэг 2019, 12-р анги   

Бодлогын тоо: 4    Хугацаа: 210 мин


1. O төвтэй ABCD квадратын BC талын дундаж E, AD талын дундаж F байг. EC хэрчим дээр M цэгийг авсан ба AM нь EF-тэй K цэгт огтлолцоно. OM шулууны хувьд E-тэй тэгш хэмтэй цэгийг H гэе. Тэгвэл KH шулуун AB талын дунджийг дайрна гэж батал.

Заавар Бодолт
Заавар.

Бодолт.
AB-ийн дундажийг P гэе. PHEF=L байг. MHAD=T гэе. A-г дайрсан MH-тай параллел шулуун PH-тай S цэгт огтлолцдог байг. HPO=PHO=x, MTA=SAQ=β гэе. HSA=β+x,SPA=18090x=90x, EOH=180EMH=180(180β)=β. PHO-ийн өнцгүүдийн нийлбэр 2x+β+90=180. Эндээс β=902x. HSA=β+x=902x+x=90x=SPASA=PA=AF EM=MH ба EMH=180β=SAFSFEH. SLFHLESFEH=FLLE SAFHMESFEH=AFEM=FKKE Эндээс FLLE=FKKEKL.


2. (2020+561301)m=(56+20201301)n байх m, n натурал тоонууд олдохгүй гэдгийг батал.

Заавар Бодолт
Заавар.

Бодолт. Хэрэв (2020+561301)m=(56+20201301)n бол (2020561301)m=(5620201301)n биелэнэ. Гэтэл энэ тэнцэлийн зүүн гар талын модуль нь 1-ээс бага, баруун гар талын модуль нь 1-ээс их юм.


3. n өгөгдсөн натурал тоо байг. Тэгвэл дараах хоёр нөхцөлийг хангах (x1,y1,z1), (x2,y2,z2), сөрөг биш бүхэл тоон гуравт хамгийн олондоо хэдэн ширхэг байж болох вэ?
  1. Аливаа i дугаарын хувьд xi+yi+zi=n байна.
  2. x1,x2,x3, тоонууд дунд ижил тоо байхгүй; y1,y2,y3, тоонууд дунд ижил тоо байхгүй; z1,z2,z3, тоонууд дунд ижил тоо байхгүй.

Заавар Бодолт
Заавар.

Бодолт. Ийм s ширхэг гуравт байдаг гэе. Тэгвэл нэг талаас S=si=1(xi+yi+zi)=sn ба нөгөө талаас S1=si=1xi,S2=si=1yi,S3=si=1zi нийлбэрүүд дор хаяж 0+1+2++(s1) ба S=S1+S2+S3 тул 3(s1)s2sn болно. s2n3+1 болох ба s бүхэл тоо тул s[2n3]+1 байна. Одоо s=[2n3]+1 болох жишээ байгуулъя.

Хэрвээ n=3k бол s=2k+1 байна. Энэ тохиолдолд (0,k,2k),(2,k1,2k1),(4,k2,2k2),,(2k,0,k) (1,2k,k1),(3,2k1,k2),(5,2k2,k3),(2k1,k+1,0).

Хэрвээ n=3k+1 бол s=2k+1 байна. Өмнөх жишээний гуравтуудын эхний координатыг 1, 1-ээр ихэсгэвэл хүссэн гуравтуудыг өгнө.

Хэрвээ n=3k1 бол s=2k байна. Өмнөх жишээний гуравтуудын эхний координатыг 1, 1-ээр багасгахад хамгийн эхний гуравтаас бусад нь сөрөг биш эерэг тоо тул 2k ширхэг гуравт оршин байна. Иймд хамгийн олондоо [2n3]+1 ширхэг гуравт болов.


4. f(x) функц x=0 цэг дээр тасралтгүй бөгөөд аливаа бодит тоо x-ийн хувьд 20f(19x)=f(x)+x2 тэнцэтгэл биелдэг бол f(x)<x2019 тэнцэтгэл бишийн бүх бүхэл шийдийг ол.

Заавар Бодолт
Заавар.

Бодолт. Хариу: x=1,2,3

x=020f(0)=f(0)f(0)=0 болно. Эндээс f(x) нь x=0 цэг дээр тасралтгүй тул lim. f(19x)=\dfrac{1}{20}\cdot f(x)+\dfrac{1}{20}\cdot x^2 ба x\mapsto\dfrac{x}{19} гэвэл f(x)=\dfrac{1}{20}\cdot f\left(\dfrac{x}{19}\right)+\dfrac{1}{20}\cdot\dfrac{x^2}{19^2}\quad (*) болно. (*) тэнцэтгэлд x\mapsto\dfrac{x}{19} гэсэн орлуулга хийе. Тэгвэл f\left(\dfrac{x}{19}\right)=\dfrac{1}{20}\cdot f\left(\dfrac{x}{19^2}\right)+\dfrac{1}{20}\cdot\dfrac{x^2}{19^4}\quad (*_1) x\mapsto\dfrac{x}{19} гэвэл f\left(\dfrac{x}{19^2}\right)=\dfrac{1}{20}\cdot f\left(\dfrac{x}{19^3}\right)+\dfrac{1}{20}\cdot\dfrac{x^2}{19^6}\quad (*_2) гэх мэтээр f\left(\dfrac{x}{19^{n-1}}\right)=\dfrac{1}{20}\cdot f\left(\dfrac{x}{19^n}\right)+\dfrac{1}{20}\cdot\dfrac{x^2}{19^{2n}}\quad (*_{n-1}) болно.

(*_1)-ийг \dfrac{1}{20}-ээр, (*_2)-ийг \dfrac{1}{20^2}-ээр гэх мэтээр (*_{n-1})-ийг \dfrac{1}{20^{n-1}}-ээр тус тус үржүүлэхэд гарсан тэнцэтгэлүүдээ нэмбэл f(x)=\dfrac{1}{20^n}\cdot f\left(\dfrac{x}{19^n}\right)+x^2\cdot\left(\dfrac{1}{20\cdot 19^2}+\dfrac{1}{(20\cdot 19^2)^2}+\cdots+\dfrac{1}{(20\cdot 19^2)^n}\right) болох ба n\to\infty үед хязгаарт шилжвэл f(x)=0\cdot f(0)+x^2\cdot\dfrac{\dfrac{1}{20\cdot 18^2}}{1-\dfrac{1}{20\cdot 18^2}}=\dfrac{x^2}{7219} болов. Эндээс f(x)<\dfrac{x}{2019}\Leftrightarrow x\cdot\left(x-\dfrac{7210}{2019}\right)<0 ба энэ тэнцэтгэл бишийн бүхэл шийдүүд x=1,2,3 болно.