Бүс, дүүрэг 2019, намар, 12-р анги
Бодлогын тоо: 4 Хугацаа: 210 мин
1. O төвтэй ABCD квадратын BC талын дундаж E, AD талын дундаж F байг. EC хэрчим дээр M цэгийг авсан ба AM нь EF-тэй K цэгт огтлолцоно. OM шулууны хувьд E-тэй тэгш хэмтэй цэгийг H гэе. Тэгвэл KH шулуун AB талын дунджийг дайрна гэж батал.
Заавар Бодолт
Заавар.
Бодолт.
AB-ийн дундажийг P гэе. PH∩EF=L байг. MH∩AD=T гэе. A-г дайрсан MH-тай параллел шулуун PH-тай S цэгт огтлолцдог байг. ∡HPO=∡PHO=x, ∡MTA=∡SAQ=β гэе.
∡HSA=β+x,∡SPA=180∘−90∘−x=90∘−x,
∡EOH=180∘−∡EMH=180∘−(180∘−β)=β.
△PHO-ийн өнцгүүдийн нийлбэр
2x+β+90∘=180∘. Эндээс β=90∘−2x.
∡HSA=β+x=90∘−2x+x=90∘−x=∡SPA⇒SA=PA=AF
EM=MH ба ∡EMH=180∘−β=∡SAF⇒SF∥EH.
⇒△SLF∼△HLE⇒SFEH=FLLE
△SAF∼△HME⇒SFEH=AFEM=FKKE
Эндээс FLLE=FKKE⇒K≡L.

2. (2020+56√1301)m=(56+2020√1301)n байх m, n натурал тоонууд олдохгүй гэдгийг батал.
Заавар Бодолт
Заавар.
Бодолт. Хэрэв
(2020+56√1301)m=(56+2020√1301)n
бол
(2020−56√1301)m=(56−2020√1301)n
биелэнэ. Гэтэл энэ тэнцэлийн зүүн гар талын модуль нь 1-ээс бага, баруун гар талын модуль нь 1-ээс их юм.
3. n өгөгдсөн натурал тоо байг. Тэгвэл дараах хоёр нөхцөлийг хангах (x1,y1,z1), (x2,y2,z2),… сөрөг биш бүхэл тоон гуравт хамгийн олондоо хэдэн ширхэг байж болох вэ?
- Аливаа i дугаарын хувьд xi+yi+zi=n байна.
- x1,x2,x3,… тоонууд дунд ижил тоо байхгүй; y1,y2,y3,… тоонууд дунд ижил тоо байхгүй; z1,z2,z3,… тоонууд дунд ижил тоо байхгүй.
Заавар Бодолт
Заавар.
Бодолт. Ийм s ширхэг гуравт байдаг гэе. Тэгвэл нэг талаас
S=s∑i=1(xi+yi+zi)=sn
ба нөгөө талаас
S1=s∑i=1xi,S2=s∑i=1yi,S3=s∑i=1zi
нийлбэрүүд дор хаяж 0+1+2+⋯+(s−1) ба S=S1+S2+S3 тул
3⋅(s−1)s2≤sn
болно. s≤2n3+1 болох ба s бүхэл тоо тул s≤[2n3]+1 байна. Одоо s=[2n3]+1 болох жишээ байгуулъя.
Хэрвээ n=3k бол s=2k+1 байна. Энэ тохиолдолд (0,k,2k),(2,k−1,2k−1),(4,k−2,2k−2),…,(2k,0,k) (1,2k,k−1),(3,2k−1,k−2),(5,2k−2,k−3),…(2k−1,k+1,0).
Хэрвээ n=3k+1 бол s=2k+1 байна. Өмнөх жишээний гуравтуудын эхний координатыг 1, 1-ээр ихэсгэвэл хүссэн гуравтуудыг өгнө.
Хэрвээ n=3k−1 бол s=2k байна. Өмнөх жишээний гуравтуудын эхний координатыг 1, 1-ээр багасгахад хамгийн эхний гуравтаас бусад нь сөрөг биш эерэг тоо тул 2k ширхэг гуравт оршин байна. Иймд хамгийн олондоо [2n3]+1 ширхэг гуравт болов.
Хэрвээ n=3k бол s=2k+1 байна. Энэ тохиолдолд (0,k,2k),(2,k−1,2k−1),(4,k−2,2k−2),…,(2k,0,k) (1,2k,k−1),(3,2k−1,k−2),(5,2k−2,k−3),…(2k−1,k+1,0).
Хэрвээ n=3k+1 бол s=2k+1 байна. Өмнөх жишээний гуравтуудын эхний координатыг 1, 1-ээр ихэсгэвэл хүссэн гуравтуудыг өгнө.
Хэрвээ n=3k−1 бол s=2k байна. Өмнөх жишээний гуравтуудын эхний координатыг 1, 1-ээр багасгахад хамгийн эхний гуравтаас бусад нь сөрөг биш эерэг тоо тул 2k ширхэг гуравт оршин байна. Иймд хамгийн олондоо [2n3]+1 ширхэг гуравт болов.
4. f(x) функц x=0 цэг дээр тасралтгүй бөгөөд аливаа бодит тоо x-ийн хувьд
20f(19x)=f(x)+x2
тэнцэтгэл биелдэг бол
f(x)<x2019 тэнцэтгэл бишийн бүх бүхэл шийдийг ол.
Заавар Бодолт
Заавар.
Бодолт. Хариу: x=1,2,3
x=0⇒20f(0)=f(0)⇒f(0)=0 болно. Эндээс f(x) нь x=0 цэг дээр тасралтгүй тул lim. f(19x)=\dfrac{1}{20}\cdot f(x)+\dfrac{1}{20}\cdot x^2 ба x\mapsto\dfrac{x}{19} гэвэл f(x)=\dfrac{1}{20}\cdot f\left(\dfrac{x}{19}\right)+\dfrac{1}{20}\cdot\dfrac{x^2}{19^2}\quad (*) болно. (*) тэнцэтгэлд x\mapsto\dfrac{x}{19} гэсэн орлуулга хийе. Тэгвэл f\left(\dfrac{x}{19}\right)=\dfrac{1}{20}\cdot f\left(\dfrac{x}{19^2}\right)+\dfrac{1}{20}\cdot\dfrac{x^2}{19^4}\quad (*_1) x\mapsto\dfrac{x}{19} гэвэл f\left(\dfrac{x}{19^2}\right)=\dfrac{1}{20}\cdot f\left(\dfrac{x}{19^3}\right)+\dfrac{1}{20}\cdot\dfrac{x^2}{19^6}\quad (*_2) гэх мэтээр f\left(\dfrac{x}{19^{n-1}}\right)=\dfrac{1}{20}\cdot f\left(\dfrac{x}{19^n}\right)+\dfrac{1}{20}\cdot\dfrac{x^2}{19^{2n}}\quad (*_{n-1}) болно.
(*_1)-ийг \dfrac{1}{20}-ээр, (*_2)-ийг \dfrac{1}{20^2}-ээр гэх мэтээр (*_{n-1})-ийг \dfrac{1}{20^{n-1}}-ээр тус тус үржүүлэхэд гарсан тэнцэтгэлүүдээ нэмбэл f(x)=\dfrac{1}{20^n}\cdot f\left(\dfrac{x}{19^n}\right)+x^2\cdot\left(\dfrac{1}{20\cdot 19^2}+\dfrac{1}{(20\cdot 19^2)^2}+\cdots+\dfrac{1}{(20\cdot 19^2)^n}\right) болох ба n\to\infty үед хязгаарт шилжвэл f(x)=0\cdot f(0)+x^2\cdot\dfrac{\dfrac{1}{20\cdot 18^2}}{1-\dfrac{1}{20\cdot 18^2}}=\dfrac{x^2}{7219} болов. Эндээс f(x)<\dfrac{x}{2019}\Leftrightarrow x\cdot\left(x-\dfrac{7210}{2019}\right)<0 ба энэ тэнцэтгэл бишийн бүхэл шийдүүд x=1,2,3 болно.
x=0⇒20f(0)=f(0)⇒f(0)=0 болно. Эндээс f(x) нь x=0 цэг дээр тасралтгүй тул lim. f(19x)=\dfrac{1}{20}\cdot f(x)+\dfrac{1}{20}\cdot x^2 ба x\mapsto\dfrac{x}{19} гэвэл f(x)=\dfrac{1}{20}\cdot f\left(\dfrac{x}{19}\right)+\dfrac{1}{20}\cdot\dfrac{x^2}{19^2}\quad (*) болно. (*) тэнцэтгэлд x\mapsto\dfrac{x}{19} гэсэн орлуулга хийе. Тэгвэл f\left(\dfrac{x}{19}\right)=\dfrac{1}{20}\cdot f\left(\dfrac{x}{19^2}\right)+\dfrac{1}{20}\cdot\dfrac{x^2}{19^4}\quad (*_1) x\mapsto\dfrac{x}{19} гэвэл f\left(\dfrac{x}{19^2}\right)=\dfrac{1}{20}\cdot f\left(\dfrac{x}{19^3}\right)+\dfrac{1}{20}\cdot\dfrac{x^2}{19^6}\quad (*_2) гэх мэтээр f\left(\dfrac{x}{19^{n-1}}\right)=\dfrac{1}{20}\cdot f\left(\dfrac{x}{19^n}\right)+\dfrac{1}{20}\cdot\dfrac{x^2}{19^{2n}}\quad (*_{n-1}) болно.
(*_1)-ийг \dfrac{1}{20}-ээр, (*_2)-ийг \dfrac{1}{20^2}-ээр гэх мэтээр (*_{n-1})-ийг \dfrac{1}{20^{n-1}}-ээр тус тус үржүүлэхэд гарсан тэнцэтгэлүүдээ нэмбэл f(x)=\dfrac{1}{20^n}\cdot f\left(\dfrac{x}{19^n}\right)+x^2\cdot\left(\dfrac{1}{20\cdot 19^2}+\dfrac{1}{(20\cdot 19^2)^2}+\cdots+\dfrac{1}{(20\cdot 19^2)^n}\right) болох ба n\to\infty үед хязгаарт шилжвэл f(x)=0\cdot f(0)+x^2\cdot\dfrac{\dfrac{1}{20\cdot 18^2}}{1-\dfrac{1}{20\cdot 18^2}}=\dfrac{x^2}{7219} болов. Эндээс f(x)<\dfrac{x}{2019}\Leftrightarrow x\cdot\left(x-\dfrac{7210}{2019}\right)<0 ба энэ тэнцэтгэл бишийн бүхэл шийдүүд x=1,2,3 болно.