Ханой, 2007 он   

1. $a_1,a_2,\dots,a_n$ бодит тоон дараалал өгөгдөв. $i$ $(1\le i\le n)$ тоо бүрийн хувьд $$d_i=\max\{a_j : 1\le j\le i\}-\min\{a_j : i\le j\le n\}$$ ба $$d=\max\{d_i : 1\le i\le n\}$$ гэж тодорхойлъё.

1. Аливаа $x_1\le x_2\le\dots\le x_n$ бодит тоонуудын хувьд $$\max\{|x_i-a_i| : 1\le i\le n\}\ge\dfrac{d}{2}\qquad(1)$$ болохыг батал.
2. $(1)$ тэнцэтгэл биш тэнцэлдээ хүрдэг байх $x_1\le x_2\le \ldots\le x_n$ дараалал оршин байхыг харуул.

2. $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ таван цэгийн хувьд $ABCD$ дөрвөн өнцөгт параллелограмм, $BCED$ дөрвөн өнцөгт тойрогт багтдаг байв. $A$ цэгийг дайрсан $\ell$ шулуун $DC$, $BC$ хэрчмүүдийг харгалзан $F$, $G$ цэгт огтолдог гэе. $EF=EG=EC$ гэж үзье. Тэгвэл $\ell$ шулуун $DAB$ өнцгийн биссектрис болохыг батал.

3. Математикийн олимпиадад оролцогсодын зарим нь өөр хоорондоо найзууд байв. Найзууд харилцан бие биенээ танина. Аль ч хоёр нь найз байдаг хэсэг оролцогсодыг нөхөрлөл, нөхөрлөлийн гишүүдийн тоог түүний хэмжээ гэе.

Хамгийн олон гишүүнтэй нөхөрлөлийн хэмжээ тэгш гэдэг нь мэдэгдэж байв. Тэгвэл оролцогсодыг 2 өрөөнд, өрөө тус бүрийн хамгийн олон гишүүнтэй нөхөрлөлийн хэмжээ нь тэнцүү байхаар байрлуулж болохыг батал.

4. $ABC$ гурвалжны $C$ өнцгийн биссектрис багтаасан тойрог ба $BC$, $CA$ талуудын дундаж перпендикуляруудыг харгалзан $R$, $P$, $Q$ цэгүүдэд огтолдог. $BC$, $CA$ талуудын дундажууд нь харгалзан $S$, $T$ байг. $RQT$, $RPS$ гурвалжнуудын талбай тэнцүү болохыг батал.

5. $a$ ба $b$ натурал тоонууд. $(4a^2-1)^2$ тоо $4ab-1$-д хуваагддаг бол $a=b$ болохыг батал.

6. $n>1$ нь бүхэл тоо байг. Огторгуйн $$S=\big\{(x,y,z)\mid x,y,z\in\{0,1,\ldots,n\}, x+y+z>0\big\}$$ дэд олонлогийг авч үзье. Нэгдэл нь $S$ олонлогийн бүх $(n+1)^3-1$ цэгийг агуулдаг аль нь ч координатын эхийг дайрдаггүй хамгийн цөөн хавтгайн тоог ол.