IMO-49, Мадрид 2008   

1. Хурц өнцөгт $ABC$ гурвалжны өндрүүдийн огтлолцлын цэг нь $H$. $BC$ талын дундач цэг дээр төвтэй $H$ цэгийг дайрсан тойрог $BC$ шулууныг $A_1$ ба $A_2$ цэгүүдэд огтолно. Мөн адилаар $CA$ талын дундач цэг дээр төвтэй $H$ цэгийг дайрсан тойрог $CA$ шулууныг $B_1$ ба $B_2$ цэгүүдэд огтолно, $AB$ талын дундач цэг дээр төвтэй $H$ цэгийг дайрсан тойрог $AB$ шулууныг $C_1$ ба $C_2$ цэгүүдэд огтолно. $A_1$, $A_2$, $B_1$, $B_2$, $C_1$, $C_2$ цэгүүд нэг тойрог дээр оршихыг батал.

Заавар Бодолт

2. (a) $xyz=1$ байх аливаа $x,y,z\neq1$ тоонуудын хувьд $$\dfrac{x^2}{(x-1)^2}+\dfrac{y^2}{(y-1)^2}+\dfrac{z^2}{(z-1)^2}\ge 1$$ тэнцэтгэл биш биелэхийг батал.

(b) Дээрх тэнцэтгэл биш тэнцэлдээ хүрдэг байх рационал тоонуудын $x$, $y$, $z$ гуравт төгсгөлгүй олон олдоно гэдгийг харуул.

3. $n^2+1$ тоо $2n+\sqrt{2n}$-ээс их анхны тоон хуваагчтай байх $n$ төгсгөлгүй олон олдоно гэж батал.

4. $pq=rs$ байх аливаа $p, q, r, s>0$ тоонуудын хувьд $$\dfrac{f(p)^2+f(q)^2}{f(r^2)+f(s^2)}=\dfrac{p^2+q^2}{r^2+s^2}$$ байх бүх $f\colon(0,\infty)\to(0,\infty)$ функцийг ол.

5. $n$, $k$ нь тэгш сондгойгоороо ижил натурал тоонууд ба $k\ge n$ байг. Бидэнд $1,2,\ldots, 2n$ гэж дугаарлагдсан $2n$ ширхэг чийдэн өгөгдсөн ба эхэндээ бүх чийдэн унтраалттай байжээ. Бид $k$ алхамтай дараалал сонирхоё. Алхам тутамд чийдэнгүүдийн аль нэгийн төлвийг өөрчилнө (унтраалттай чийдэнг асааж, асаалттай чийдэнг унтраана).

$N$ нь $1,\ldots,n$ чийдэнгүүд асаалттай, $n+1,\ldots, 2n$ чийдэнгүүд унраалттай байх төлөвт шилжих $k$ алхамын тоо гэе.

$M$ нь $n+1,\ldots, 2n$ чийдэнгүүдийн төлвийг огт өөрчилөхгүйгээр өмнөхтэй ижил төлөвт шилжих $k$ алхамын тоо гэе.

Тэгвэл $N/M$ харьцааг ол.

6. $ABCD$ гүдгэр дөрвөн өнцөгтийн $AB\neq BC$. $ABC$, $ADC$ гурвалжинд багтсан тойргууд харгалзан $\omega_1$, $\omega_2$. $ABC$ өнцөгт багтсан $AD$, $CD$ талуудын үргэлжлэлүүдийг шүргэдэг $\omega$ тойрог оршин байдаг гэе. $\omega_1$, $\omega_2$ тойргуудын гадаад ерөнхий шүргэгч $\omega$ тойрог дээр огтлолцоно гэж батал.