IMO-50, Bremen, Germany   

1. Натурал тоо $n$ ба $\{1,2,\ldots,n\}$ олонлогийн $a_1,a_2,\ldots,a_k$ $(k\geqslant 2)$ ялгаатай тоонууд өгсөн ба $i=1,\ldots,k-1$ бүрийн хувьд $a_i(a_{i+1}-1)$ нь $n$-д хуваагдаж байв. $a_k(a_1-1)$ нь $n$-д хуваагдахгүй гэж батал.

2. $ABC$ гурвалжныг багтаасан тойргийн төв $O$ байг. $P$ ба $Q$ цэгүүд харгалзан $CA$ ба $AB$ талуудын дотоод цэгүүд. $k$ тойрог $BP$, $CQ$, $PQ$ хэрчмүүдийн дундаж цэгийг дайрдаг. Хэрвээ $PQ$ шулуун $k$ тойргийг шүргэдэг бол $OP=OQ$ байна гэж батал.

3. Натурал тоонуудын эрс өсөх дараалал $s_1,s_2,s_3,\ldots$ өгөгдсөн ба $$s_{s_1}, s_{s_2}, s_{s_3},\dots\text{ ба }s_{s_1+1}, s_{s_2+1}, s_{s_3+1},\dots$$ дэд дарааллууд нь арифметик прогресс үүсгэдэг байг. $s_1,s_2,s_3,\ldots$ дараалал мөн арифметик прогресс гэж батал.

4. $ABC$ гурвалжны $AB=AC$ байг. $A$ ба $B$ өнцгийн биссектрисүүд $BC$ ба $AC$ талуудтай харгалзан $D$ ба $E$ цэгт огтлолцоно. $ADC$ гурвалжинд багтсан тойргийн төв $K$ гэе. $\angle BEK=45^\circ$ гэж үзье. $\angle BAC$-ийн боломжит бүх утгыг ол.

Заавар Бодолт

5. Натурал тоон олонлогийг натурал тоонуудын олонлогт буулгасан аливаа $x$, $y$ натурал тоонуудын хувьд $$x,\quad f(y),\quad f(y+f(x)-1)$$ тоонууд үл бөхөх гурвалжны талууд болдог бүх $f$ функцийг ол.

6. $n$ сөрөг биш бүхэл тоо байг. Дэвхрэг бодит тоон шулуун дээр үсэрдэг. Тэрээр $0$ цэг дээрээс эхлэн баруун тийш өөрийн дураар $a_1,a_2,\ldots,a_{n+1}$ урттай нийт $n+1$ удаа үсэрнэ. $M$ нь $a_1+a_2+\dots+a_{n+1}$-ээс бага $n$ ширхэг натурал тооноос тогтох тоон олонлог байв. Тэгвэл дэврхрэг $M$ олонлогийн нэг ч цэг дээр буухгүй байхаар үсрэлтүүдээ хуваарилж чадна гэж батал.

Заавар Бодолт