Тусгаар тогтнолын олимпиад, VIII олимпиад   

1. $P(x)=x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_n\in\mathbb Z[x]$ олон гишүүнтийн хувьд:

(a) Уг олон гишүүнт $n$ ширхэг бүхэл язгууртай

(b) $|a_{n-1}| < a_n=2022$

(c) $a_{n-1}$ нь бүтэн куб

Тэгвэл $a_{n-1}$ ямар утгууд авах боломжтой вэ?

2. $2022$ элементтэй олонлогийн $3$ элементтэй олонлогуудын заримаас нь тогтох $\mathcal F$ бүл байв. Энэ бүлийн аль ч гурвынх нь ядаж хоёр нь хоосон биш огтлолцолтой бол $|\mathcal F|\le 2020\cdot 2021$ гэж батал.

3. $\triangle ABC$-ийн $BC$ тал дээр $E$, $F$ цэгүүдийг $B$, $E$, $F$, $C$ дарааллаар авав. $\angle ABC$, $\angle ACB$, $\angle AEB$, $\angle AFC$, $\angle AEF$, $\angle AFE$-ийн биссектрисүүдийг харгалзан $\ell_1$, $\ell_2$, $\ell_3$, $\ell_4$, $\ell_5$, $\ell_6$ гэж тэмдэглэе. $\ell_3\cap\ell_6=D$, $\ell_4\cap\ell_5=G$, $\ell_1\cap GD=N$, $\ell_2\cap GD=M$, $\ell_1\cap\ell_4=L$, $\ell_1\cap\ell_5=Q$, $\ell_2\cap\ell_3=K$, $\ell_2\cap\ell_6=P$, $AK\cap FD=R$, $CM\cap BN=I$, $AL\cap EG=T$ болог. $NT$, $MR$, $AI$ шулуунууд нэг цэгт огтлолцоно гэж батал.

4. $(n,30)=1$, $n\in\mathbb N$ байг. $a\in\mathbb Z$ тооны хувьд $n\mid x^2-a$ байх $x$ бүхэл тоо олддог бол $a$-г квадрат суутгал гэе. Тэгвэл $1,2,\dots,n-1$ тоонуудаас дэс дараалсан хоёр квадрат суутгал олдохыг батал.