ММО-25 Монгол Бодлогын Сан

ММО-25, 9-р анги

Монголын математикийн 25-р олимпиад, 9-р анги, 1989 он.

Бодлогын тоо: 6 Хугацаа: 540 мин

$\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}=\dfrac{1}{\sqrt{1989}}$ тэгшитгэлийн бүх натурал шийдийг ол.

$ABC$ гурвалжны

$AC$ тал дээр

$X$ цэг авч түүнээс

$BA$ ,

$BC$ талууд дээр буулгасан перпендикуляруудын суурийг харгалзан

$M$ ,

$N$ гэе.

$XMYN$ дөрвөн өнцөгт параллелограмм байх

$Y$ цэгийг байгуулав.

$1$ ,

$2$ ,

$3$ цифрүүдийг ашиглан цифрүүдийн нийлбэр нь

$25$ байх тоо хэдийг бичиж болох вэ?

4. Хэрэв эерэг

$x$ ,

$y$ ,

$z$ гурван тоо

$xyz>5.14;\quad x+y+z<\dfrac1x+\dfrac1y+\dfrac1z$ нөхцлүүдийг хангадаг бол эдгээрийн яг нэг нь нэгээс бага гэж батал.

5. Гурвалжны талбай

$S=\dfrac34R^2\sin2\gamma$ байдаг бол түүнийг багтаасан

$R$ радиустай тойрог гурвалжны

$\gamma$ өнцгийн оройг өндрүүдийн огтлолцолтой холбосон хэрчмийн дунджийг дайрна гэж батал.

$A_1,A_2,\dots,A_7$ гэсэн ялгаатай долоон цэг тойрог дээр өгөгдөв. Аливаа ялгаатай

$A_iA_j$ хос цэгийг

$\overrightarrow{A_iA_j}$ эсвэл

$\overrightarrow{A_jA_i}$ вектороор холбоё.