Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

$O(0, 0)$ ба $O$-г дайрсан шулуун дээр $O$-ийн нэг талд орших $P(x, y)$, $Q(X, Y)$ цэгүүдийн хувьд $OP\cdot OQ=2$ байв.

Бодлогын төрөл: Уламжлалт

Заавар:

$O$, $P$, $Q$ цэгүүд нэг шулуун дээр орших тул хэрчмийг харьцаанд хуваасан цэгийн чанараар $x=kX$, $y=kY$ $(k\geq 0)$ байх ёстой.
$P(x,y)$-ийн хувьд $x+2y=1$ тул $x,y$-ийг $X, Y$-ээр илэрхийлээд $x+2y=1$ тэгшитгэлд орлуулж $X, Y$-ийн хамаарлыг олно.

Бодолт:

$O$, $P$, $Q$ цэгүүд нэг шулуун дээр орших учир $x=kX$, ${y=kY \boldsymbol{\cdots}(1),}$ $k>0 \boldsymbol{\cdots}(2)$ байх ёстой. $OP\cdot OQ=2$ тул $$(x^2+y^2)(X^2+Y^2)=4\boldsymbol{\cdots}(3)$$ болно. (1)-ийг (3)-т орлуулбал $k^2(X^2+Y^2)=4$ буюу $(k>0)$ $k=\dfrac2{X^2+Y^2}$ болно. Үүнийг (1)-д орлуулбал $x=\dfrac{2X}{X^2+Y^2}$, $y=\dfrac{2Y}{X^2+Y^2}$ байна.
$P(x, y)$ нь $x+2y=1$ шулуунд харъяалагдах учир (1)-ийг ашиглавал $\dfrac{2X}{X^2+Y^2}+2\cdot \dfrac{2Y}{X^2+Y^2}=1$ болно. Эндээс $2X+4Y=X^2+Y^2$ буюу $(X-1)^2+(Y-2)^2=5$ болно. $X^2+Y^2\ne 0$ тул $(0,0)$ цэг $Q$ цэгийн геометр байрт харъяалагдахгүй.