Монгол Бодлогын Сан

Заавар: (A) Адилтгал $A=B$-г батлахын тулд $A$-г хувиргаж $B$-г гарган авах, эсвэл $A-B$-г хувиргаж $0$-г гаргаж авдаг. (B) $\cos(\alpha-\beta)$ ба $\sin\alpha+\sin\beta$, $\cos\alpha+\cos\beta$ илэрхийллүүдийг харьцуулж хар. Нөхцөлт илэрхийллүүдийг квадрат зэрэгт дэвшүүлж нэм.

Бодолт:

1. $A=B$ $\Leftrightarrow$ $A-B=0$-ийг ашиглая. $$\begin{aligned} \sin&(\alpha+\beta)\cdot \sin(\alpha-\beta)-(\sin^2\alpha-\sin^2\beta)=\\ &=(\sin\alpha\cdot\cos\beta+\cos\alpha\cdot \sin\beta)(\sin\alpha\cdot \cos\beta-\cos\alpha\cdot \sin\beta)-(\sin^2\alpha-\sin^2\beta)\\ &=(\sin^2\alpha\cos^2\beta-\cos^2\alpha\sin^2\beta)- (\sin^2\alpha-\sin^2\beta)\\ &=\sin^2\alpha(\cos^2\beta-1)+\sin^2\beta(\cos^2\alpha-1)\\ &=\sin^2\alpha(-\sin^2\beta)+\sin^2\beta(-\sin^2\alpha)=0 \end{aligned}$$
2. Өгөгдсөн илэрхийлэл тус бүрийг квадрат зэрэгт дэвшүүлж нэмбэл: $$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha+\sin^2\beta+ \cos^2\beta+2(\sin\alpha\cdot \sin\beta+ \cos\alpha\cdot \cos \beta)=\dfrac 14+\dfrac 49.$$ Иймд $2+2\cos(\alpha-\beta)=\dfrac{25}{36}$ гэдгээс $\cos(\alpha-\beta)=-\dfrac{47}{72.}$